5.4平行线的性质定理与判定定理（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

5.4平行线的性质定理与判定定理 题型一 平行线的性质的应用 1．如图，已知点B，F，C，D在同一条直线上，且，，．问和相等吗？请说明理由？ 2．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，求的度数． 3．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 平行线的判定的应用 1．如图，已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，．求证：．    3．如图，某工件要求，质检员小李量得，，，则此工件 ．（填“合格”或“不合格”）    题型三 根据证明过程填写依据 1．如图，已知，，，求． 解：∵ ∴（   ） 又∵ ∴（   ） ∴______（   ） ∴（   ） ∵ ∴ 2．几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 3．如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 解：，理由如下：因为， 所以（ ① ） 所以， 所以（ ② ） 所以（ ③ ） 又因为（已知）所以 ④ （等量代换） 所以（ ⑤ ） 1．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 2．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 3．已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 4．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 1．嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下的证明过程，淇淇为保证嘉嘉的证明更严谨，想在“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（    ） 已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线分别交直线，，于点，，． ∵，． 又∵，，． A．嘉嘉的证明严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 2．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 3．已知：如图，点在一条直线上，，从①，②，③中选出其中两个作为补充条件，余下的一个作为结论，组成一个真命题，并写出结论成立的证明过程． (1)你选的补充条件是：_____；结论是：______；（均填写序号） (2)证明： 4．已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； (2)判断这个命题的真假，并证明． 1．如图，已知，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，下列推理中正确的是（      ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 3．如图，下列条件中：①；②；③；④且．能判定的有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4平行线的性质定理与判定定理 题型一 平行线的性质的应用 1．如图，已知点B，F，C，D在同一条直线上，且，，．问和相等吗？请说明理由？ 【答案】相等，理由见解析 【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定和性质，根据题意得到，结合平行线性质得到，证明，再根据全等三角形性质即可证明和相等． 【详解】解：和相等， 理由如下： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 2．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，求的度数． 【答案】/121度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握准确计算是解题的关键． 根据，得，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 3．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 题型二 平行线的判定的应用 1．如图，已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质定理，是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质定理逐项判断即可． 【详解】A、∵， ∴， ∴A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴， ∴C正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴． ∴D不正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，已知，，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据线段的和差求出，根据定理推出，得出，根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明： 在和中，， 3．如图，某工件要求，质检员小李量得，，，则此工件 ．（填“合格”或“不合格”）    【答案】合格 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．作，由平行线的性质得出，求出，得出，由，得出，证出，即可得出结论． 【详解】解：作，如图所示：    则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此工件合格． 故答案为：合格． 题型三 根据证明过程填写依据 1．如图，已知，，，求． 解：∵ ∴（   ） 又∵ ∴（   ） ∴______（   ） ∴（   ） ∵ ∴ 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．由与平行，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两个角互补，即可求出所求角的度数． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， ． 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 2．几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 【答案】垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查利用平行线的判定与性质证明．掌握相关定理内容是解题关键．根据垂线的定义，平行线的判定与性质即可求证． 【详解】证明：连接 ∵， ∴，（垂线定义） ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵ ∴ 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 3．如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 解：，理由如下：因为， 所以（ ① ） 所以， 所以（ ② ） 所以（ ③ ） 又因为（已知）所以 ④ （等量代换） 所以（ ⑤ ） 【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行线的判定方法．根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出，再利用平行线的性质找到相等的角，最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可． 【详解】解：，理由如下：因为， 所以（垂直定义） 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 又因为（已知） 所以（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 1．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据得到，可得，据此可判断①；先证明，进而得到，则，再证明，即可判断②；根据题意得到，则，可得，据此可判断③；由平行线的性质得到，则，据此可判断④；根据，，即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时有， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 若，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 若，则， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 2．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 3．已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 作，同理可得，； （3）解：如图，过点作， 设， ， 平分， ， ， ，， ， ， 平分， ， 作，同理可得，． 4．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 1．嘉嘉在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下的证明过程，淇淇为保证嘉嘉的证明更严谨，想在“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（    ） 已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线分别交直线，，于点，，． ∵，． 又∵，，． A．嘉嘉的证明严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，读懂证明过程是解题的关键；分析证明过程知，根据等量代换，应补充才完整． 【详解】解：作直线分别交直线，，于点，，． ∵， ． 又∵， ， ∴ ． 故应补充； 2．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 3．已知：如图，点在一条直线上，，从①，②，③中选出其中两个作为补充条件，余下的一个作为结论，组成一个真命题，并写出结论成立的证明过程． (1)你选的补充条件是：_____；结论是：______；（均填写序号） (2)证明： 【答案】(1)，或，或， (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）答案不唯一，，或，或，均可． （2）若选的补充条件是，结论是，根据判定即可；若选的补充条件是，结论是，根据判定即可；若选的补充条件是，结论是，根据判定即可． 【详解】（1）解：，或，或， ； （2）证明：若选的补充条件是，结论是， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 若选的补充条件是，结论是， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 若选的补充条件是，结论是， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 4．已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； (2)判断这个命题的真假，并证明． 【答案】(1)，；； (2)该命题为真命题，详见解析 【分析】本题主要考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点， （1）根据题意、结合图形写出已知和求证； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明即可； 熟练掌握命题的真假判断、平行线的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】（1）由图和题意知，，分别平分和，且， 求证：， 故答案为：；；；； （2）该命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∵，分别平分和，， ∴，， ∴， ∴． 1．如图，已知，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据，得出，根据平行线的性质定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故②④符合题意； 由不能判定，，故①③不符合题意； 综上可得：符合条件的有2个． 故选：B． 2．如图，下列推理中正确的是（      ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握各个判定定理是求解的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：A、由只能推出，故错误； B、由，只能推出，故错误；     C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可以推出，故正确． D、由，只能推出，故错误；     故选：C． 3．如图，下列条件中：①；②；③；④且．能判定的有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定条件，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：①∵，∴，不能判断； ②∵，∴； ③∵，∴； ④∵且，∴， ∴， 综上，②③④符合题意． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$