抓分练9 圆的认识及位置关系-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 9　 圆的认识及位置关系 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. (大庆二模)下列说法正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆是轴对称图形,任何一条直径都是圆 的对称轴 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的弦必相等 2. (西安一模)如图,已知在☉O 中,∠DOA ∶ ∠AOB= 2 ∶1,且∠ACB = 25°,则∠D 的度数 为(　 　 ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,A、B、C、D 四个点均在☉O 上,∠AOD = 50°,AO∥DC,则∠B 的度数为(　 　 ) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 4. (黄石中考)如图,圆内接四边形 ABCD 中, ∠BCD= 105°,连结 OB,OC,OD,BD,∠BOC = 2∠COD. 则∠CBD 的度数是(　 　 ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. (舟山三模)如图是一个弓形暗礁区,灯塔 A,灯塔 B,点 C 分别在圆周上,现在船只正 在安全区航行,若此时∠S = 30°,则∠C 的 大小可能为(　 　 ) A. 50° B. 30° C. 29° D. 25° 6. 如图,M(0,-3)、N(0,-9),半径为 5 的☉A 经过 M、N,则 A 点坐标为(　 　 ) A. ( -5,-6) B. ( -4,-5) C. ( -6,-4) D. ( -4,-6) 7. 生活情境·弓箭 (咸阳三模)如图 1 是小明 制作的一副弓箭,当弓箭不受力时,其弓臂 部分可看成是如图 2 所示的圆弧AB ( (AB ( 所 在圆的圆心为 O),弓弦部分 AB 的长为 4 dm,点 D 是弓臂 AB ( 的中点,OD 交 AB 于点 C,D、C 两点之间的距离为 1 dm,则弓臂 AB ( 所在圆的半径为(　 　 ) A. 2 dm B. 2. 5 dm C. 3 dm D. 4 dm 图 1 　 　 　 图 2 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 设☉O 的半径为 R,圆心 O 到直线 Z 的距离 为 d,若 d、R 是方程 x2 -6x+m= 0 的两根,则 直线 Z 与☉O 相切时,m 的值为　 　 　 　 . 9. 如图,BD 是☉O 的直径,C 是 AB ( 的中点,若 ∠AOD 等于 30°,则∠BOC 的度数为 　 . 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B,PA = 10 cm,C 是劣弧 AB 上的点(不与点 A、B 重合),过点 C 的切线分别交 PA、PB 于点 E、F. 则△PEF 的周长为　 　 　 　 cm. 71 情境期末·ZBH·九年级数学 11. 如图,由小正方形组成的网格中,点 A、B、 C 都在格点上,点 D 不在格点上,以 AB 为 直径的圆经过点 C 和点 D,则 tan∠BDC = 　 　 　 　 . 三、解答题(共 17 分) 12. 新趋势·尺规作图 (9 分)如图,AB 为☉O 的直径,CD 为☉O 的弦,且 CD⊥AB,点 E 为劣弧 AC ( 上一点,且 CE ( = CB ( ,DE 与 AC 交于点 F. (1)尺规作图:作出点 E,并连结 DE(保留 作图痕迹,不写作法); (2)连结 AE,CE,M 为 CE 延长线上一点, 求证:EA 平分∠DEM; (3)求证:FD-FE=EC. 13. 文化情境·传统文化 (8 分)(娄底模拟)辘 轳(图 1)是从杠杆演变来的汲水工具,据 《物原》记载:“史佚始作辘轳”,说明早在 公元前一千一百多年前中国已经发明了 辘轳. 如图 2 是从辘轳抽象出来的几何模 型,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,O 是 AC 边上一点,以 OA 为半径的☉O 与 AB 相交 于点 P,已知 CP=CB. (1)求证:直线 CP 是☉O 的切线; (2)若∠B= 60°,BC= 3 3 ,求☉O 的半径. 图 1 　 　 图 2 81 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】根据点(1,m)和点(3,n)在抛物线 y = ax2 +bx (a>0)上,得出 a+b<0,9a+3b>0,再根据点(-1,y1),(2, y2),(4,y3)在该抛物线上,求出 y1 = a-b,y2 = 4a+2b,y3 = 16a+4b,利用作差法比较大小即可. 三、解答题 10. 解: ( 1 ) 设函数关系式为 y = kx + b, 由题意可得: 260 = 28k+b 240 = 30k+b{ ,解得 k= -10 b= 540{ ,∴ 函数关系式为 y = - 10x +540; (2)由题意可得:w = (x-20) y = (x-20) ( - 10x+ 540) = -10(x-37) 2 +2890. ∵ - 10< 0,∴ 当 x = 37 时,w 有最大 值为 2890,答:当销售单价定为 37 元时,才能使每天的 销售利润最大. 11. 解:(1)把(0,0)代入 y = -x2 +2x+c 得 c = 0,∴ 抛物线解 析式为 y= -x2 +2x. ∵ y= -x2 +2x= -(x-1) 2 +1,∴ 顶点 B 的坐标为(1,1); (2)当 y= 0 时,-x2 +2x= 0,解 x1 = 0,x2 = 2,∴ A(2,0),∴ S△OAB = 1 2 ×2×1 = 1; (3)设 C 点坐标为( t,- t2 + 2t) . ∵ S△OAC = 8,∴ 1 2 × 2 × | -t2 +2t | = 8,即 t2 -2t= 8 或 t2 -2t = -8,解方程 t2 -2t = 8 得 t1 = -2,t2 = 4,∴ C 点坐标为(-2,-8)或(4,-8),方程 t2 -2t= -8 无实数解,综上所述,C 点坐标为( -2,-8)或 (4,-8) . 12. 解:(1)-x2 +6x　 　 　 　 0<x<6 (2)①6. 75　 ②函数图象如图所示: (3)①当 0<x<3 时,y 随 x 的增大而增大(答案不唯一)②3 基础知识抓分练 8 二次函数的应用 一、选择题 1. D　 2. A 3. D　 【解析】设 y = kx+ b,由图象可知, 20k+b= 2030k+b= 0{ ,解得 k= -2 b= 60{ ,∴ y= -2x+60;设销售利润为 p,根据题意得,p = (x-10)(-2x+60)= -2x2 +80x-600. ∵ a= -2<0,∴ p 有最 大值,当 x= - 80-2×2 = 20 时,p最大值 = 200. 即当销售单价为 20 元 / 千克时,每天可获得最大利润 200 元. 故选 D. 4. A 5. C　 【解析】令 h= 0,则 20t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 4,∴ 小 球从飞出到落地用时为 4s,故①正确;h= 20t-5t2 = -5( t2 -4t)= -5( t-2) 2 +20. ∵ -5<0,∴ h 的最大高度为 20m,故 ②正确;令 h= 15,则 20t-5t2 = 15,解得 t1 = 1,t2 = 3,∴ 小 球的飞行高度是 15m 时,小球的飞行时间是 1s 或 3s,故 ③错误. 故选 C. 二、填空题 6. 7　 【解析】∵ OD = 13,∴ 点 D 的坐标为 D(0,13),当 y = 13 时, 4 7 x2 +6 = 13,解得 x = ± 7 2 ,∴ A(- 7 2 ,13),C( 7 2 , 13),∴ AC= 7 2 -(- 7 2 )= 7. 7. -3<m<-2　 【解析】如图所示,过点 B 作直线 y= x+m1,将 直线向下平移,则一次函数 y = x+m 在两条直线之间时, 两个图象有 4 个交点,令 y = -x2 +x+2 = 0,解得 x = -1 或 2,即点 B 坐标(2,0),翻折抛物线的表达式为:y = (x-2) (x+1)= x2 -x- 2,将一次函数与二次函数表达式联立并 整理得 x2 -2x-2-m= 0,由 Δ= b2 -4ac= 4+4(2+m)= 0,解 得:m= -3,当一次函数过点 B 时,将点 B 坐标代入:y = x +m 得:0 = 2+m,解得:m= -2. 综上所述,m 的取值范围为 -3<m<-2. 8. 40 米 三、解答题 9. 解:(1)由题意知,抛物线顶点为(5,3. 2) . 设抛物线的表 达式为 y= a(x-5) 2 +3. 2,将(0,0. 7)代入得 0. 7 = 25a+ 3. 2,解得 a= - 1 10 . ∴ y= - 1 10 (x-5) 2 +3. 2 = - 1 10 x2 +x+ 7 10 , 即抛物线的表达式为 y= - 1 10 x2 +x+ 7 10 ; (2)当 y= 1. 6 时,- 1 10 x2 +x+ 7 10 = 1. 6,解得 x = 1 或 x = 9,3 -1 = 2(m)或 9-3 = 6(m),∴ 她与爸爸的水平距离为 2 米 或 6 米. 10. 解:(1)把点 A( - 2,0),B(4,0)代入抛物线解析式 y = ax2 +bx-4,得 4a-2b-4 = 016a+4b-4 = 0{ ,解得 a= 1 2 b= -1 { . ∴ 抛物线的解 析式为:y= 1 2 x2 -x-4; (2)对称轴 x= - -1 2× 1 2 = 1,把 x= 1 代入抛物线解析式,得 y= - 9 2 . ∴ 点 D(1,- 9 2 ),连结 AD 交 y 轴于点 M,则点 M 为所求点,设直线 AD 的表达式为:y = mx+n,把点 A (-2,0),D(1,- 9 2 )代入,得 0 = -2m+n - 9 2 =m+n{ ,解得 m= - 3 2 n= -3 { , 即直线 AD 的表达式为:y = - 3 2 x-3,当 x = 0 时,y = -3, 则点 M(0,-3); (3)连结 BC,过点 P 作 PH∥y 轴交 BC 于点 H. 由点 B (4,0)、C(0,-4)得,直线 BC 的表达式为:y = x-4. 设点 H(x,x-4),则点 P(x, 1 2 x2 -x-4),∴ PH= (x-4)-( 1 2 x2 -x-4)= - 1 2 x2 +2x. ∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△PBC = 1 2 AB×OC + 1 2 PH×OB = 1 2 × ( 4 + 2) × 4 + 1 2 × ( - 1 2 x2 + 2x) × 4 = -(x-2) 2 +16≤16,故当 x= 2 时,四边形 ABPC 的面积最 大,此时,点 P 的坐标为(2,-4) . 基础知识抓分练 9 圆的认识及位置关系 一、选择题 1. D 2. A　 【解析】∵ ∠ACB = 25°,∴ ∠AOB = 2∠ACB = 50°,又 ∵ ∠DOA ∶∠AOB= 2 ∶1,∴ ∠DOA = 2×50° = 100°. ∵ OA = OD,∴ ∠D= 180° -100° 2 = 40°. 故选 A. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 5 页 3. D　 【解析】连结 AD. ∵ OA=OD,∠AOD = 50°,∴ ∠ADO = 180°-∠AOD 2 = 65°. ∵ AO∥DC,∴ ∠ODC = ∠AOC = 50°, ∴ ∠ADC= ∠ADO+∠ODC= 115°,∴ ∠B = 180°-∠ADC = 65°. 故选 D. 4. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,∴ ∠A +∠BCD= 180°. ∵ ∠BCD= 105°,∴ ∠A= 75°,∴ ∠BOD = 2∠A= 150°. ∵ ∠BOC = 2∠COD,∴ ∠COD = 1 3 × 150° = 50°,∴ ∠CBD= 1 2 ∠COD= 25°. 故选 B. 5. A 6. D　 【解析】过 A 作 AB⊥NM 于 B,连结 AM,由题意,得 MB=NB,∴ MN= 9-3 = 6,AM= 5,∴ BM=BN = 3,OB = 3+3 = 6,由勾股定理得:AB = 52 -32 = 4,∴ 点 A 的坐标为 (-4,-6) . 故选 D. 7. B　 【解析】∵ 点 D 是弓臂 AB ( 的中点,∴ OD⊥AB,∴ AC= 2dm. ∵ CD= 1dm,∴ OC= ( r-1)dm. ∵ OA2 -OC2 = AC2,即 r2 -( r-1) 2 = 22,∴ r= 2. 5(dm) . 故选 B. 二、填空题 8. 9 9. 75°　 【解析】∵ ∠AOD= 30°,∴ ∠BOA= 180°-30° = 150°. ∵ C 是 AB ( 的中点,∴ ∠BOC=∠AOC= 1 2 ∠BOA=75°. 10. 20 11. 2 3 　 【解析】连结 AC,BC. ∵ AB 是圆的直径,∴ ∠ACB = 90°,在Rt△ACB 中,BC = 2,AC = 3,∴ tan∠CAB = BC AC = 2 3 . ∵ ∠BDC = ∠BAC, ∴ tan ∠BDC = tan ∠CAB = BC AC = 2 3 . 三、解答题 12. (1)解:如图,点 E 即为所求: (2)证明:设∠EAC= x,DE 交 AB 于点 H. ∵ AB 为☉O 的 直径,CD⊥AB,CE ( = CB ( , ∴ DB ( = CB ( = CE ( , ∴ ∠EAC = ∠CAB= ∠EDC= x,∠DEC = 2x,∴ ∠EAB = 2x,∠DHB = 90°-x= ∠AHE,在△AEH 中,∠AEH = 180° - 2x-( 90° - x)= 90°-x,∴ ∠AEM = 180° -( 90° -x) - 2x = 90° -x,∴ ∠AEH= ∠AEM,∴ EA 平分∠DEM; (3)证明:连结 BD,由(2)可知∠AEH = ∠AHE,∴ AE = AH,即△AEH 是等腰三角形. ∵ ∠EAC = ∠CAB,∴ EF = HF. ∵ CE ( = BC ( ,∴ ∠EDC = ∠CDB. ∵ CD⊥AB,∴ DH = BD. ∵ DB ( =CB ( =CE ( ,∴ EC =BD =DH,∴ FD-FH =BD,即 FD-EF=EC. 13. (1)证明:连结 OP. ∵ OA = OP,∴ ∠BAC = ∠APO. ∵ CP =CB,∴ ∠B = ∠BPC,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∴ ∠BAC+∠B = 90°,∴ ∠APO+ ∠BPC = 90°,∴ ∠OPC = 180°-90° = 90°,∴ OP⊥CP,∵ OP 为☉O 的半径,∴ 直 线 CP 是☉O 的切线; (2) 解:在 Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠B = 60°,BC = 3 3 ,∴ AC= 9,∵ CP =CB,∴ PC = 3 3 ,设☉O 的半径为 r,在 Rt△OPC 中,r2 +(3 3 ) 2 = (9-r) 2 ,解得 r= 3,∴ ☉O 的半径为 3. 基础知识抓分练 10 圆中的计算问题、正多边形和圆 一、选择题 1. D 2. A　 【解析】连结 OB、OC. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边 形,∴ ∠BOC= 60°,OB=OC= 4,∴ △OBC 是等边三角形, ∴ BC = OB = OC = 4. ∵ OM ⊥ BC, ∴ BM = CM = 2, 在 Rt△OBM 中,OM= OB2 -BM2 = 2 3 . 故选 A. 3. B　 【解析】连结 OB、OC. ∵ 正方形 ABCD 内接于☉O,∴ ∠BOC= 90°, ∴ BC ( 所对的圆心角为 90°, ∴ ∠BPC = 1 2 ∠BOC= 45°. 故选 B. 4. A　 5. C 6. C　 【解析】由题意,得扇形弧长是120π ×15 180 = 10πcm,设 圆锥的底面半径是 rcm,则 2πr= 10π,解得 r= 5. 故选 C. 7. A　 【解析】∵ 底面圆的半径为 5 米,圆锥高为 2 米,∴ 圆 锥的母线长= 22 +52 = 29(米),所以圆锥的侧面积 = 1 2 ·2π·5· 29 = 5 29 π(平方米);圆柱的侧面积 = 2π·5·3 = 30π(平方米),所以需要毛毡的面积= (30π+ 5 29 π)平方米. 故选 A. 二、填空题 8. 20π　 【解析】过 O 作 OE⊥AB 于 E,当扇形的半径为 OE 时扇形 OCD 最大. ∵ OA = OB = 60cm,∠AOB = 120°,∴ ∠A= ∠B = 30°,∴ OE = 1 2 OA = 30cm,∴ 弧 CD 的长 = 120π×30 180 = 20π(cm) . 9. 3 3 2 10. 2π 3 - 3 　 【解析】设直线 l1 与 AB ( 交于点 N,与 AB 交于 点 G,与 DE 交于点 H. 直线 l2 与 CD 交于点 K,与 CD ( 交 于点 M. 连结 AD,OC. ∵ ☉O 是正六边形的外接圆,∴ AD 必过点 O,∠COD= 360° 6 = 60°. 又∵ OC=OD,∴ △COD 是 等边三角形,OC = OD = CD = 2. ∵ 直线 l1, l2 的夹角为 60°,∴ ∠COD - ∠KOD = ∠KOH - ∠KOD, 即 ∠COK = ∠DOH. 又 ∵ ∠DOH = ∠AOG, ∴ ∠COK = ∠AOG. ∵ ∠OCK=∠OAG = 60°,OC =OA. ∴ △OCK≌△OAG(A. S. A. ),S扇形COM =S扇形AON,∴ S扇形COM -S△OCK = S扇形AON -S△OAG,∴ S阴影 =S扇形COD-S△COD = 60×π×22 360 - 1 2 ×2× 3 = 2 3 π- 3 . 11. 3π 4 　 【解析】连结 AC、AF,过点 E 作 EM⊥AB 于 M,则 EM = CB = 3,由旋转的性质可知,AB = AE = 6,AC = AF, 在 Rt △ABC 中, AC = ( 6) 2 +( 3) 2 = 3, 在 Rt△AEM 中,AM= ( 6) 2 -( 3) 2 = 3,∴ AM = EM,∴ ∠EAM= 45°,由旋转可得,∠FAC = ∠EAM = 45°,∴ CF ( 的长为 45·π·3 180 = 3π 4 . 三、解答题 12. 解:(1)连结 OA,OB,设 OB 与 AC 交于点 Q,由题意可 知,QA=QC,OB⊥AC. ∵ 多边形 ABCDEFGH 是正八边 形,∴ ∠AOB = 360° 8 = 45°, ∴ QA = OQ = OAsin ∠AOB = 2 2 ,∴ AC= 2QA= 2 ; 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 6 页