抓分练7 二次函数及其图象与性质-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（华东师大版 河南专用）

3 2 ,tanB= 1,∴ ∠A = 60°,∠B = 45°,∴ ∠C = 180°-∠A- ∠B= 75°. 8. 5 -1 2 　 【解析】 ∵ a2 = bc,即 b = a 2 c ,∴ sinB = b c = a 2 c2 = ( a c ) 2 = sin2A,又∵ sin2A+sin2B = 1,∴ sin2B+sinB- 1 = 0, ∴ sinB= 5 -1 2 (取正值) . 9. (1)等腰　 (2) 3 - 1　 【解析】(2)∵ AD 为 BC 边上的中 线,AE 为 BC 边上的高线,∠B= 30°,∠C= 45°,AB= 4,∴ AE = 1 2 AB=2,BE= 2 3,∴ ∠CAE=∠C= 45°,∴ EC=AE= 2,∴ CD= 1 2 BC= 1 2 ×(2 3+2)= 3+1,∴ DE=CD-CE= 3-1. 三、解答题 10. 解:(1)∵ DE 是边 AB 上的垂直平分线,∴ AE = BE,∴ ∠B= ∠BAE = 30°. ∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠BAE = ∠EAC = 30°,∴ ∠BAC= 30°+30° = 60°,∴ ∠C = 180°-∠BAC- ∠B= 90°; (2)∵ AE 平分∠BAC,∠ACB = 90°,DE⊥AB,∴ EC = ED = 3. ∵ DE 垂直平分 AB,∴ ∠BDE= 90°. 在△BDE 中. ∵ ∠BDE= 90°,∠B = 30°. ∴ BE = 2DE = 6. ∴ BC = BE+EC = 9. 11. 解:(1)AC CD = x 2x+ 3 x = 2- 3 ,∴ tan15° = 2- 3 ; (2)延长 CB 到点 D,使 BD =BA,因为∠ABC = 45°,AB = DB,所以∠D= ∠DAB= 22. 5°. 令 AC = x,则 BC = x,AB = 2 x,所以 BD = AB = 2 x,则 CD = CB+DB = x+ 2 x. 在 Rt△ACD 中,tanD= AC CD = 2 -1,即 tan22. 5° = 2 -1. 12. 解:过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,交 DE 于点 G,由题意得: AD =GH =EB = 1. 5 米,AB =DE = 347 米,设 DG = x 米,在 Rt△CDG 中,∠CDG = 37°,∴ CG = DG·tan37°≈0. 75x (米),在 Rt△CGE 中,∠CEG = 45°,∴ △CGE 是等腰直 角三角形,∴ EG = CG = 0. 75x 米. ∵ DG+GE = DE,∴ x+ 0. 75x= 347,解得 x≈198. 3,∴ CH=CG+GH = 0. 75x+1. 5 ≈150 米,答:郑北大桥某组斜拉索最高点 C 到桥面 AB 的距离约为 150 米. 基础知识抓分练 6 随机事件的概率 一、选择题 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】必然事件指在一定条件下,一定发生的事件; 不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件;不确 定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能 不发生的事件. 2. C　 3. B　 4. B 5. D　 【解析】共有 12 种等可能的结果,其中两人恰好介绍 “红旗渠”和“清明上河园”的结果有 2 种,∴ P(两人恰好 介绍“红旗渠”和“清明上河园”)= 2 12 = 1 6 . 故选 D. 6. A　 【解析】观察图②知:频率逐渐稳定在 0. 3,所以试验 的概率为 0. 3,A. 指针指向的数字能被 3 整除的为 3,6, 9,概率为 3 10 ;B. 转动转盘,指针指向的数字是偶数的概 率为 0. 5;C. 转动转盘,指针指向的数字比 6 大的数为 7, 8,9,10,概率为 0. 4;D. 转动转盘后,指针指向的数字能 被 5 整除的数为 5 和 10,概率为 0. 2. 故选 A. 二、填空题 7. 1 2 8. 15　 【解析】由题意得白球的个数为 50×0. 3 = 15(个) . 【变式】6　 【解析】设木箱中蓝球有 x 个,根据题意得: 9 9+x = 0. 6,解得 x= 6,经检验 x = 6 是原方程的解,则估计 木箱中蓝球有 6 个. 9. 1 49 三、解答题 10. 解:(1)列表如下: A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) (2)由表知,共有 16 种等可能结果,其中两个国家选到 同一个领域的有 4 种等可能结果,所以 P(两个国家选 到同一个领域)= 4 16 = 1 4 . 11. 解:(1)60×25% = 15(人),60-15-21-6 = 18(人),360°× 18 60 = 108°,答:“C”对应扇形圆心角为 108°; (2)480× 6 60 = 48(人) . ∴ 估计全体 480 名九年级学生最 了解 D 主题的人数约有 48 人; (3)画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中恰好甲、乙被选到的结果有: 甲乙,乙甲,共 2 种,∴ P(恰好甲、乙被选到)= 2 12 = 1 6 . 基础知识抓分练 7 二次函数及其图象与性质 一、选择题 1. A 2. A　 【解析】∵ 抛物线开口向下,∴ a<0. ∵ 抛物线与 y 轴 交于负半轴,∴ c<0,∴ ac>0. ∵ 对称轴 x= - b 2a <0,∴ b<0, ∴ bc>0,∴ A(ac,bc)在第一象限. 故选 A. 3. D　 【解析】∵ a>0,∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x = - 2 a <0,与 y 轴的交点坐标为(0,1),∴ 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,当 x<- 2 a 时,y 随 x 的增大而减小,函数图 象一定不经过第四象限,不一定经过第三象限,故只有 D 选项符合题意. 故选 D. 4. B　 5. D 6. B　 【解析】分别作出两条抛物线的对称轴 PM,QN,交 AD 于点 M,N,∴ 四边形 PMCQ 是矩形,∴ MN =PQ. ∵ AB = 10,BC = 5,CD = 6,∴ MA = MC = 1 2 AC = 1 2 (AB+BC)= 15 2 ,BN=ND= 1 2 BD= 1 2 (CD+BC)= 11 2 ,∴ MN = AD-AM- ND=(AB+BC+CD)-AM-ND= 8,∴ PQ= 8. 故选 B. 7. B　 【解析】过 A 作 AH⊥x 轴于 H. ∵ 四边形 ABCO 是正 方形,∴ ∠AOB = 45°,∴ ∠AOH = 45°,∴ AH = OH,设 A (m,m),则 B(0,2m),∴ m=am 2 +c 2m= c{ ,解得 am = - 1,m = c 2 ,∴ ac 的值为-2. 故选 B. 二、填空题 8. y= -x2 +1(答案不唯一) 　 9. y3 >y1 >y2 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 4 页 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【解题技巧】根据点(1,m)和点(3,n)在抛物线 y = ax2 +bx (a>0)上,得出 a+b<0,9a+3b>0,再根据点(-1,y1),(2, y2),(4,y3)在该抛物线上,求出 y1 = a-b,y2 = 4a+2b,y3 = 16a+4b,利用作差法比较大小即可. 三、解答题 10. 解: ( 1 ) 设函数关系式为 y = kx + b, 由题意可得: 260 = 28k+b 240 = 30k+b{ ,解得 k= -10 b= 540{ ,∴ 函数关系式为 y = - 10x +540; (2)由题意可得:w = (x-20) y = (x-20) ( - 10x+ 540) = -10(x-37) 2 +2890. ∵ - 10< 0,∴ 当 x = 37 时,w 有最大 值为 2890,答:当销售单价定为 37 元时,才能使每天的 销售利润最大. 11. 解:(1)把(0,0)代入 y = -x2 +2x+c 得 c = 0,∴ 抛物线解 析式为 y= -x2 +2x. ∵ y= -x2 +2x= -(x-1) 2 +1,∴ 顶点 B 的坐标为(1,1); (2)当 y= 0 时,-x2 +2x= 0,解 x1 = 0,x2 = 2,∴ A(2,0),∴ S△OAB = 1 2 ×2×1 = 1; (3)设 C 点坐标为( t,- t2 + 2t) . ∵ S△OAC = 8,∴ 1 2 × 2 × | -t2 +2t | = 8,即 t2 -2t= 8 或 t2 -2t = -8,解方程 t2 -2t = 8 得 t1 = -2,t2 = 4,∴ C 点坐标为(-2,-8)或(4,-8),方程 t2 -2t= -8 无实数解,综上所述,C 点坐标为( -2,-8)或 (4,-8) . 12. 解:(1)-x2 +6x　 　 　 　 0<x<6 (2)①6. 75　 ②函数图象如图所示: (3)①当 0<x<3 时,y 随 x 的增大而增大(答案不唯一)②3 基础知识抓分练 8 二次函数的应用 一、选择题 1. D　 2. A 3. D　 【解析】设 y = kx+ b,由图象可知, 20k+b= 2030k+b= 0{ ,解得 k= -2 b= 60{ ,∴ y= -2x+60;设销售利润为 p,根据题意得,p = (x-10)(-2x+60)= -2x2 +80x-600. ∵ a= -2<0,∴ p 有最 大值,当 x= - 80-2×2 = 20 时,p最大值 = 200. 即当销售单价为 20 元 / 千克时,每天可获得最大利润 200 元. 故选 D. 4. A 5. C　 【解析】令 h= 0,则 20t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 4,∴ 小 球从飞出到落地用时为 4s,故①正确;h= 20t-5t2 = -5( t2 -4t)= -5( t-2) 2 +20. ∵ -5<0,∴ h 的最大高度为 20m,故 ②正确;令 h= 15,则 20t-5t2 = 15,解得 t1 = 1,t2 = 3,∴ 小 球的飞行高度是 15m 时,小球的飞行时间是 1s 或 3s,故 ③错误. 故选 C. 二、填空题 6. 7　 【解析】∵ OD = 13,∴ 点 D 的坐标为 D(0,13),当 y = 13 时, 4 7 x2 +6 = 13,解得 x = ± 7 2 ,∴ A(- 7 2 ,13),C( 7 2 , 13),∴ AC= 7 2 -(- 7 2 )= 7. 7. -3<m<-2　 【解析】如图所示,过点 B 作直线 y= x+m1,将 直线向下平移,则一次函数 y = x+m 在两条直线之间时, 两个图象有 4 个交点,令 y = -x2 +x+2 = 0,解得 x = -1 或 2,即点 B 坐标(2,0),翻折抛物线的表达式为:y = (x-2) (x+1)= x2 -x- 2,将一次函数与二次函数表达式联立并 整理得 x2 -2x-2-m= 0,由 Δ= b2 -4ac= 4+4(2+m)= 0,解 得:m= -3,当一次函数过点 B 时,将点 B 坐标代入:y = x +m 得:0 = 2+m,解得:m= -2. 综上所述,m 的取值范围为 -3<m<-2. 8. 40 米 三、解答题 9. 解:(1)由题意知,抛物线顶点为(5,3. 2) . 设抛物线的表 达式为 y= a(x-5) 2 +3. 2,将(0,0. 7)代入得 0. 7 = 25a+ 3. 2,解得 a= - 1 10 . ∴ y= - 1 10 (x-5) 2 +3. 2 = - 1 10 x2 +x+ 7 10 , 即抛物线的表达式为 y= - 1 10 x2 +x+ 7 10 ; (2)当 y= 1. 6 时,- 1 10 x2 +x+ 7 10 = 1. 6,解得 x = 1 或 x = 9,3 -1 = 2(m)或 9-3 = 6(m),∴ 她与爸爸的水平距离为 2 米 或 6 米. 10. 解:(1)把点 A( - 2,0),B(4,0)代入抛物线解析式 y = ax2 +bx-4,得 4a-2b-4 = 016a+4b-4 = 0{ ,解得 a= 1 2 b= -1 { . ∴ 抛物线的解 析式为:y= 1 2 x2 -x-4; (2)对称轴 x= - -1 2× 1 2 = 1,把 x= 1 代入抛物线解析式,得 y= - 9 2 . ∴ 点 D(1,- 9 2 ),连结 AD 交 y 轴于点 M,则点 M 为所求点,设直线 AD 的表达式为:y = mx+n,把点 A (-2,0),D(1,- 9 2 )代入,得 0 = -2m+n - 9 2 =m+n{ ,解得 m= - 3 2 n= -3 { , 即直线 AD 的表达式为:y = - 3 2 x-3,当 x = 0 时,y = -3, 则点 M(0,-3); (3)连结 BC,过点 P 作 PH∥y 轴交 BC 于点 H. 由点 B (4,0)、C(0,-4)得,直线 BC 的表达式为:y = x-4. 设点 H(x,x-4),则点 P(x, 1 2 x2 -x-4),∴ PH= (x-4)-( 1 2 x2 -x-4)= - 1 2 x2 +2x. ∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△PBC = 1 2 AB×OC + 1 2 PH×OB = 1 2 × ( 4 + 2) × 4 + 1 2 × ( - 1 2 x2 + 2x) × 4 = -(x-2) 2 +16≤16,故当 x= 2 时,四边形 ABPC 的面积最 大,此时,点 P 的坐标为(2,-4) . 基础知识抓分练 9 圆的认识及位置关系 一、选择题 1. D 2. A　 【解析】∵ ∠ACB = 25°,∴ ∠AOB = 2∠ACB = 50°,又 ∵ ∠DOA ∶∠AOB= 2 ∶1,∴ ∠DOA = 2×50° = 100°. ∵ OA = OD,∴ ∠D= 180° -100° 2 = 40°. 故选 A. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·九年级数学　 第 5 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 二次函数及其图象与性质 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 在平面直角坐标系中,将抛物线 y = x2 -2x- 3 向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单 位,得到的抛物线顶点坐标是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ( -1,-1) B. (3,-1) C. ( -1,-7) D. ( -3,-1) 2. (贵州毕节中考)已知二次函数 y = ax2 +bx+ c(a≠0)的图象如图所示,则点 A(ac,bc)所 在象限是(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第 2 题图 　 　 第 4 题图 3. 已知二次函数 y=ax2 +4x+1(a 为常数,且 a >0),下列结论正确的是(　 　 ) A. 函数图象一定经过第一、二、三象限 B. 函数图象可能经过第四象限 C. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小 D. 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大 4. 学习情境·课堂讨论 在“探索函数 y = ax2 + bx+c 的系数 a,b,c 与图象的关系”活动中, 老师给出了直角坐标系中的四个点: M ( -3,1),N( -2,3),P( - 1,0),Q(0,2) . 同 学们探索了经过这四个点中的三个点的二 次函数图象,发现这些图象对应的函数关 系式各不相同,其中组成的二次函数图象 a 值最小的三点为(　 　 ) A. M,P,Q B. M,N,P C. N,P,Q D. M,N,Q 5. 学习情境·过程性学习 (河北三模)老师设 计了接力游戏,用合作的方式完成“求抛物 线 y= 2x2 +4x-4 的顶点坐标”,规则如下:每 人只能看到前一人给的式子,并进行一步 计算,再将结果传递给下一人,最后完成解 答. 过程如图所示: 接力 中, 自 己 负 责 的 一 步 出 现 错 误 的 是(　 　 ) A. 只有丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 6. 如图,平面直角坐标系中有两条抛物线,它 们的顶点 P、Q 都在 x 轴上,平行于 x 轴的 直线与两条抛物线相交于 A、B、C、D 四点, 若 AB = 10,BC = 5,CD = 6,则 PQ 的长度 为(　 　 ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. (广东揭阳中考)如图,抛物线 y = ax2 +c 经 过正方形 OABC 的三个顶点 A、B、C,点 B 在 y 轴上,则 ac 的值为(　 　 ) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 8. 新趋势·开放性试题 若二次函数的图象同 时满足下列条件:①开口向下;②对称轴是 y 轴;③与 y 轴交于正半轴. 这样的二次函 数的关系式可以是　 　 　 　 　 　 　 　 . (写 出一个具体的函数关系式) 9. (威海三模)在平面直角坐标系 xOy 中,点 (1,m)和点(3,n)在抛物线 y = ax2 +bx(a> 0)上,已知点( -1,y1),(2,y2),(4,y3 )在该 抛物线上. 若 mn< 0,则 y1,y2,y3 的大小关 系为　 　 　 　 　 　 　 . 31 情境期末·ZBH·九年级数学 三、解答题(共 33 分) 10. 生活情境·商品销售 (9 分)某厂家生产一 批遮阳伞,每个遮阳伞的成本价是 20 元, 试销售时发现:遮阳伞每天的销售量 y (个)与销售单价 x(元) 之间是一次函数 关系,当销售单价为 28 元时,每天的销售 量为 260 个;当销售单价为 30 元时,每天 的销售量为 240 个. (1)求遮阳伞每天的销售量 y(个)与销售 单价 x(元)之间的函数关系式; (2)设遮阳伞每天的销售利润为 w(元), 当销售单价定为多少元时,才能使每天的 销售利润最大? 11. (12 分)如图,抛物线 y= -x2 +2x+c 经过坐 标原点 O 和点 A,点 A 在 x 轴上. (1)求此抛物线的解析式,并求出顶点 B 的坐标; (2)连结 OB,AB,求 S△OAB; (3)若点 C 在抛物线上,且 S△OAC = 8,求点 C 的坐标. 12. (12 分)小明的爸爸想在自家院子里用长 为 12 米的篱笆围成一个矩形小花园,爸爸 问小明,矩形的相邻两边长分别设计为多 少米时小花园面积最大(不考虑接缝)? 小明利用学习的二次函数的有关知识探 究如下,请将他的探究过程补充完整. (1)【建立函数模型】 由矩形的周长为 12,设它的一边长为 x,面 积为 y,则 y 与 x 之间的函数关系式为 y = 　 　 　 　 　 　 ,其中自变量 x 的取值范围 是　 　 　 　 　 　 ; (2)【画出函数图象】 ①x 与 y 的几组对应值列表如表: x … 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 5. 5 … y … 2. 75 5 6. 75 8 8. 75 9 8. 75 8 m 5 2. 75 … 其中 m= 　 　 　 　 ; ②根据上表数据,在如图所示的平面直角 坐标系中已描出了一部分对应值为坐标 的点,请你画出该函数的大致图象; (3)【观察图象解决问题】 ①写出该函数的一条性质: 　 　 ; ②当 x= 　 　 　 　 时,矩形小花园的面积最 大. 41