专项2 重难易错专练(分类型解易错重难点)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 安徽专用）

安徽专版·八年级数学·上册　 第 1 页 安徽专版·八年级数学·上册　 第 2 页 安徽专版·八年级数学·上册　 第 3 页　 　 　 　 专项 2 追梦专项二　 重难易错专练 类型一　 三角形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点 1　 多边形及其内角和(1、2 题) 常考点 2　 三角形的内角与边(3、4、6、8 题) 重难点 1　 三角形的外角及其性质(5 题) 重难点 2　 三角形中线、角平分线及高(2、7 题) 1. (4 分)若一个多边形的内角和比它的外角和大 540°,则该多边 形的边数为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. (4 分)下列说法中,正确的个数有(　 　 ) ①同位角相等;②三角形的高相交于三角形的内部;③三角形的 一个外角大于任意一个内角;④一个多边形的边数每增加一条, 这个多边形的内角和就增加 180°;⑤两个角的两边分别平行,则 这两个角相等. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3. (4 分)下列长度的三条线段能组成三角形的是(　 　 ) A. 2,2,2 B. 1,1,8 C. 1,2,4 D. 2,3,5 4. (4 分)有一条长方形纸带,按如图方式折叠,形成的锐角∠α 的 度数为(　 　 ) A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 第 4 题图 　 第 5 题图 　 第 7 题图 　 第 8 题图 5. 生活情境·躺椅 (4 分)如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE 与 BD 的交点为 C,且∠A、∠B、∠E 保持不变,为了舒适,需调整 ∠D 的大小,使∠EFD= 110°,则图中∠D 应(　 　 ) A. 增加 10 度 B. 减少 10 度 C. 增加 20 度 D. 减少 20 度 6. (5 分)用一条长为 16 cm 的细绳围成一个等腰三角形,若其中有 一边的长为 4 cm,则该等腰三角形的腰长为　 　 　 　 cm(不考 虑绳子重合). 7. (5 分)如图,在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,△ABD 的周长比 △ADC 的周长多 3,AB 与 AC 的和为 13,则 AB 的长为　 　 　 　 . 8. (5 分)如图,∠ABD、∠ACD 的平分线交于点 P,若∠A> ∠D, ∠ACD-∠ABD= 64°,∠P= 18°,则∠A 的度数为　 　 　 　 . 类型二　 全等三角形 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点　 全等三角形的性质(2、3、7 题) 易错点　 全等三角形中考虑问题不全面导致漏解(2 题) 重难点 1　 角的平分线的性质的应用(1、4、6 题) 重难点 2　 全等三角形的判定(2、5 题) 1. (4 分)如图,△ABC 的三边 AC、BC、AB 的长分别是 8、12、16,点 O 是 △ABC 三条角平分线的交点,则 S△OAB ∶S△OBC ∶S△OAC 的值为(　 　 ) A. 4 ∶3 ∶2 B. 5 ∶3 ∶2 C. 2 ∶3 ∶4 D. 3 ∶4 ∶5 第 1 题图 　 第 2 题图 　 第 3 题图 　 第 4 题图 2. (4 分)在平面直角坐标系中,点 A(2,0),B(0,4),若以 B,O,C 为顶点的三角形与△ABO 全等,则点 C 的坐标不能为(　 　 ) A. (0,-4) B. ( -2,0) C. (2,4) D. ( -2,4) 3. 学科内融合 (4 分)如图,在△ABC 中,AC = 8,BC = 4, CD 是边 AB 上的中线,中线 CD 的取值范围在数轴上表 示正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 4. (4 分)如图,AD∥BC,∠ABC 的平分线 BP 与∠BAD 的平分线 AP 相交于点 P,作 PE⊥AB 于点 E,若 PE= 4,则点 P 到 AD 与 BC 的 距离之和为(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. (4 分)如图,△ABC 中,AD⊥BC 于 D. 要用“HL”定理判定△ABD ≌△ACD,还需加条件　 　 　 　 　 . 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 6. (5 分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°, CA =CB, BD 是△ABC 的角 平分线,DE⊥AB,垂足为 E,AB= 8,则△AED 的周长为　 　 　 　 . 7. (5 分)如图,在△ABC 中,D 为边 AC 上一点,且 BD 平分∠ABC, 过 A 作 AE⊥BD 于点 E. 若∠ABC+4∠C = 180°,AB = 5,BC = 12, 则 AE= 　 　 　 　 . 类型三　 轴对称 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点　 轴对称及最短路径问题(1、4 题) 重难点 1　 等边三角形及等腰三角形的判定及性质(2、3、8 题) 重难点 2　 垂直平分线的性质(5、6、7、9 题) 1. (4 分)如图,△ABC 中,点 D 在 BC 边上,过 D 作 DE⊥BC 交 AB 于点 E,P 为 DC 上的一个动点,连接 PA、PE,若 PA+PE 最小,则 点 P 应该满足(　 　 ) A. PA=PC B. PA=PE C. ∠APE= 90° D. ∠APC= ∠DPE 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 2. (4 分)如图,用圆规以直角顶点 O 为圆心,以适当长为半径画一 条弧交两直角边于 A、B 两点,若再以 A 为圆心,以 OA 长为半径 画弧,与前弧交于点 C,则∠AOC 等于(　 　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3. (4 分)如图,在△ABC 中,BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,过点 O 作 DE∥BC,分别交 AB、AC 于点 D、E,若 AB = 20,BC = 15,AC = 12,则△ADE 的周长是(　 　 ) A. 27 B. 30 C. 32 D. 35 4. (4 分)已知M(2,2) . 规定“把点M 先作关于 x 轴对称,再向左平 移 1 个单位”为一次变换. 那么连续经过 2 024 次变换后,点 M 的坐标变为(　 　 ) A. ( -2 022,2) B. ( -2 022,-2) C. ( -2 023,-2) D. ( -2 023,2) 5. (5 分)如图,在△ABC 中,AB = BC = 12,D 为 AB 的中点,ED⊥ AB,垂足为点 D,交 BC 于点 E,若△AEC 的周长为 22,则 AC = 　 　 　 　 . 第 5 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 6. (5 分)如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,AD⊥BC,垂足是点 D,BE 平分∠ABC 交 AC 于 E,交 AD 于 F,点 G,点 H 分别为线段 BE, 专项 2 　 　 　 　 　安徽专版·八年级数学·上册　 第 4 页 安徽专版·八年级数学·上册　 第 5 页 安徽专版·八年级数学·上册　 第 6 页 AB 上动点, 下面四个结论: ① ∠CAD = 2 ∠ABE; ② ∠AEF = ∠AFE;③ AC · AB = AD · BC; ④ AG + GH > AD. 其中正确的 有　 　 　 　 (写出所有正确结论的序号). 7. (5 分)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,BC = 4,以点 C 为圆心,CB 长为半径作弧,交 AB 于点 D;再分别以点 B 和点 D 为圆心,大于 1 2 BD 的长为半径作弧,两弧相交于点 E,作射线 CE 交 AB 于点 F,则 AF 的长为　 　 　 　 . 8. (10 分)我们在学习平行线的性质与判定时,从其中的几条基本 事实出发证明了有关平行线的一些结论,运用这些基本事实和 已经学习过的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论. (1)请证明“等腰三角形的两底角相等”,简述为“等边对等角”; (2)请借助定理“等边对等角” 解决下面问题:如图,在△ABC 中,点 E 在 CA 的延长线上,EP⊥BC,垂足为 P,EP 交 AB 于点 F 且 EA=FA,求证:△ABC 为等腰三角形. 9. (10 分)如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 的垂直平 分线交 AB 于点 E,交 CB 的延长线于点 F,连接 DE,AF. (1)判断 DE 与 AC 的位置关系,并说明理由; (2)求证:∠C= ∠EAF. 　 　 类型四　 整式的乘法与因式分解 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点　 完全平方公式及平方差公式的应用及验证(1、2、4、6 题) 易错点 1　 计算时忽略符号或运算法则(1、3 题) 易错点 2　 分解因式不彻底(5 题) 1. (4 分)若 x2 +mx+16 是一个完全平方式,则 m 的值为(　 　 ) A. ±8 B. ±4 C. 8 D. 4 2. (4 分)当 n 为正整数时,代数式(2n+1) 2 -(2n-1) 2 一定是下面 哪个数的倍数(　 　 ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 3. (4 分)要使多项式(2x+p) ( x- 2) 不含 x 的一次项,则 p 的值 为(　 　 ) A. -4 B. 4 C. -1 D. 1 4. (4 分)如图,点 C 是线段 BG 上的一点,以 BC、CG 为边向两边作 正方形,面积分别是 S1 和 S2,两正方形的面积和 S1 +S2 = 40,已知 BG= 8,则图中阴影部分面积为(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 第 4 题图 　 　 　 　 第 6 题图 5. (4 分)小逸是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样 一条信息:a-b、5、x2 -y2、a+b、x-y、x+y 分别对应:强、我、祖、爱、 国、有. 现将 5a(x2 -y2) -5b(x2 -y2)因式分解,则结果呈现的密码 信息可能是(　 　 ) A. 我爱祖国 B. 强国有我 C. 我爱国 D. 我有祖国 6. (5 分)如图,从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正 方形,将阴影部分沿实线剪开,拼成右边的长方形,分别计算这 两个图形的阴影部分的面积,验证了公式　 　 　 　 　 　 　 . 类型五　 分式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点　 分母为 0 而导致方程无解(1 题) 易错点　 解分式方程中考虑问题不全面而致错(2 题) 重难点 1　 解分式方程(3、4 题) 重难点 2　 分式的化简求值(5 题) 重难点 3　 分式方程的应用(6 题) 1. (4 分)若关于 x 的分式方程 5 x-3 -1= m x-3 无解,则 m 的值为(　 　 ) A. -1 B. -3 C. 1 或-3 D. 5 2. (4 分)已知关于 x 的分式方程 m x-1 = 1 的解是非负数,则 m 的取 值范围是(　 　 ) A. m≥1 B. m≤1 C. m≥-1 且 m≠0 D. m≥-1 3. (4 分)若关于 x 的一元一次不等式组 2x+1 3 ≤3 4x-2<3x+a ì î í ï ï ï ï 的解集为 x≤ 4,且关于 y 的分式方程a -8 y+2 - y y+2 = 1 的解均为负整数,则所有满 足条件的整数 a 的值之和是　 　 　 　 . 4. 新定义 (5 分)对于实数 a、b 定义一种新运算“ ⊗”:a⊗b = 1 a-b2 ,例如, 1 ⊗ 3 = 1 1-32 = - 1 8 . 则方程 x ⊗ 2 = 2 x-4 - 1 的解 是　 　 　 　 . 5. (5 分)已知 1 x - 1 y = 4,则 x -5xy-y 2x-xy-2y 的值为　 　 　 　 . 6. (12 分)随着中国网民规模突破 10 亿,博物馆美育不断向线上拓 展. 敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”,受到广大敦 煌文化爱好者的好评. 某工厂计划制作 3 000 个“伽瑶”玩偶摆 件,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数量是原计划的 1. 5 倍,结果提前 5 天完成任务,问原计划平均每天制作多少个 摆件? △ADE≌△AFE( SAS) . ∴ DE = EF,S△ADE = S△AFE . ∵ BD·CE= 4,∴ CF·CE = 4. ∵ ∠ECF = 90°,∴ S△CEF = 1 2 CF·CE= 2. ∴ S四边形ADEF = S四边形ADCF -S△CEF = 12-2 = 10. ∵ S△ADE = S△AFE,∴ S△ADE = 1 2 S四边形ADEF = 1 2 ×10 = 5. 12. 解:(1)如图,△ABC 和△A′B′C′即为所求; (2)A′( -a,b); (3)如图,点 P 即为所求. 13. (1)①证明:∵ ∠BAD = 60°,∠BDA = ∠B,∴ ∠BAD = ∠B= ∠BDA= 60°,∴ △ABD 是等边三角形; ②解:∵ △ABD 是等边三角形,∴ AB = AD. ∵ CD = AB,∴ CD = AD,∴ ∠DAC = ∠C,∴ ∠BDA = ∠DAC+ ∠C= 2∠C. ∵ ∠BDA= 60°,∴ ∠C= 30°; (2)证明:∵ ∠BDA= ∠B,∴ AB = AD. ∵ AE 是△ABD 的中线,∴ AE⊥BD,BE = DE,∴ ∠AED = 90°,BD = 2DE. ∵ DF⊥AC,BD= 2DF,∴ ∠AFD = 90° = ∠AED, DE=DF. ∴ 点 D 在∠EAC 的平分线上,∴ AD 平分 ∠EAC. 14. 解:(1)∵ DE⊥AB 且 E 为 AB 的中点,∴ DE 垂直平 分 AB,∴ AD=BD,∴ ∠B= ∠BAD. ∵ AD 是∠CAB 的 平分线,∴ ∠CAD= ∠BAD. ∵ ∠C= 90°,∴ 3∠CAD= 90°,∴ ∠CAD= 30°; (2)∵ AD 是∠CAB 的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴ DC=DE. ∵ ∠CAD= ∠BAD= ∠B = 30°,∴ BD = 2DE, ∴ BD= 2DC. ∵ BC = 9,∴ BD+CD = 9,∴ 3DE = 9,∴ DE= 3. 15. 解:(1)= (2)= 理由如下:过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F. 在等边 △ABC 中,∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°,AB = BC = AC. ∵ EF∥BC,∴ ∠AEF= ∠ABC,∠AFE= ∠ACB,∴ ∠AEF= ∠AFE= ∠BAC= 60°,∴ AE=AF=EF,∴ AB- AE= AC - AF,即 BE = CF. ∵ ED = EC, ∴ ∠EDB = ∠ECB. ∵ ∠ABC = ∠EDB+∠BED,∠ACB = ∠ECB+ ∠FCE. ∴ ∠BED = ∠FCE. 在△DBE 和△EFC 中, ED=CE ∠DEB= ∠ECF EB=CF { ,∴ △DBE≌△EFC( SAS),∴ DB = EF,∴ AE=BD; (3)CD 的长是 3 或 1. 　 【解析】①如图 1,过点 E 作 EF⊥CD 于点 F. ∵ AB = AC = 1,AE = 2,∴ B 是 AE 的 中点. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = BC = 1, ∠ABC = 60°, ∴ ∠DBE = ∠ABC = 60°, BE = 1, ∴ ∠AEF= 30°,∴ BF= 1 2 BE= 1 2 ,∴ CF = 1 2 +1 = 3 2 . ∵ ED=EC,EF⊥CD,∴ CD= 2CF = 3;②如图 2,过 A 作 AN⊥BC 于 N,过 E 作 EM⊥CD 于 M. ∵ AB =BC = 1, AE= 2,∴ BE = 3. ∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠BEM = 30°,∴ BM= 1 2 BE= 3 2 ,∴ CM =BM-BC = 1 2 . ∵ EC =ED,EM ⊥CD,∴ CD= 2CM= 1. 综上,CD 的长是 3 或 1. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法总结】本题综合考查了等边三角形的性质和判 定,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定等 的应用. 解(2)小题的关键是构造全等三角形后求出 BD=EF. 解(3)小题的关键是分情况讨论,做到不漏 解. 本题探究过程中用到的从特殊到一般的思想方法 是数学研究中常用的方法. 追梦专项二　 重难易错专练 类型一　 三角形 1. D　 【解析】设这个多边形的边数为 n,由题意得:(n- 2)·180° = 360°+540°,解得:n= 7. 故选 D. 2. B　 3. A　 4. A 5. B　 【解析】延长 EF,交 CD 于点 G. ∵ ∠ACB = 180°- 50°- 60° = 70°,∴ ∠ECD = ∠ACB = 70°. ∵ ∠DGF = ∠DCE+∠E,∴ ∠DGF = 70°+30° = 100°. ∵ ∠EFD = 110°,∠EFD= ∠DGF+∠D,∴ ∠D = 10°. 而图中∠D = 20°,∴ ∠D 应减少 10°. 故选 B. 6. 6　 【解析】当 4cm 为腰长时,16-4×2 = 8(cm) . ∵ 4+4 = 8(cm),∴ 4cm、4cm、8cm 不能组成三角形;当 4cm 为底边时, 1 2 ×(16-4)= 6( cm),4cm、6cm、6cm 能组 成三角形. 综上所述,该等腰三角形的腰长为 6cm. 7. 8　 【解析】∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD = CD,∴ △ABD 的周长-△ADC 的周长= (AB+AD+BD)-(AC+ AD+CD)= AB-AC= 3,又∵ AB+AC= 13,∴ AB= 8. 8. 50°　 【解析】如图. ∵ ∠ABD,∠ACD 的平分线交于点 P,∴ ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,由三角形的内角和定理得, ∠A + ∠1 = ∠P + ∠3. ∵ ∠ACD - ∠ABD= 64°,即∠3+∠4-∠1-∠2 = 64°,∴ ∠3-∠1 = 32°. ∵ ∠P= 18°,∴ ∠A = ∠P+∠3-∠1 = 18°+32° = 50°. 类型二　 全等三角形 1. A　 2. A 3. A　 【解析】延长 CD 到点 E,使 DE = CD,连接 AE. ∵ CD 是边 AB 上的中线,∴ AD=BD. ∵ ∠ADE = ∠CDB, DE=CD,∴ △ADE≌△BDC(SAS),∴ AE = BC = 4,在 △ACE 中,AC-AE<CE<AC+AE,∴ 8-4<2CD<8+4,∴ 2<CD<6. 故选 A. 4. C　 【解析】过点 P 作 PF⊥BC,垂足为 F,延长 FP 交 AD 于点 M,∴ ∠BFP = 90°. ∵ AD∥BC,∴ ∠BFP = ∠DMP= 90°. ∵ BP 平分∠ABC,PE⊥AB,PF⊥BC,∴ PE=PF= 4. ∵ AP 平分∠BAD,PE⊥AB,PM⊥AD,∴ PE=PM= 4,∴ MF = PM+PF = 8,∴ 点 P 到 AD 与 BC 的距离之和为 8. 故选 C. 5. AB=AC 6. 8　 【解析】在 Rt△ABC 中,∵ BD 是△ABC 的角平分 线,DE ⊥ AB, ∠C = 90°, ∴ DE = DC,又 ∵ ∠DEB = ∠DCB= 90°,BD = BD. ∴ Rt△BDE≌Rt△BDC(HL), ∴ BE=BC,∵ CA = CB,∴ CA = BE,∴ △AED 的周长 = AE+ED+AD=AE+DC+AD=AE+AC=AE+BE=AB= 8. 7. 3. 5 　 【解析】 延 长 AE 交 BC 于点 F. ∵ BD 平分 ∠ABC,∴ ∠ABD = ∠DBC = 1 2 ∠ABF. ∵ BE⊥AF,∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 7 页 ∠AEB= ∠BEF = 90°. ∵ BE = BE,∴ △ABE≌ △FBE (ASA),∴ AE=EF,AB = BF = 5. ∵ BC = 12,∴ CF = BC -BF = 12 - 5 = 7. ∵ ∠BEF = 90°,∴ ∠EBF+ ∠AFB = 90°,∴ 1 2 ∠ABC + ∠AFB = 90°. ∵ ∠ABC + 4 ∠C = 180°,∴ 1 2 ∠ABC + 2 ∠C = 90°,∴ ∠AFB = 2 ∠C. ∵ ∠AFB= ∠C+∠CAF,∴ ∠C = ∠CAF,∴ AF = CF = 7, ∴ AE=EF= 1 2 AF= 3. 5. 类型三　 轴对称 1. D　 【解析】作点 E 关于直线 BC 的对称点 F,连接 AF 交 BC 于 P,分别连接 PA、PE,此时 PA+PE 的值最小. 由对称性可知:∠EPD= ∠FPD. ∵ ∠CPA= ∠FPD,∴ ∠APC= ∠DPE,∴ PA +PE 最小时,点 P 应该满足 ∠APC= ∠DPE. 故选 D. 2. C　 【解析】由题意得:OA = OC,OA = AC,∴ OA = OC = AC,∴ △OAC 是等边三角形,∴ ∠AOC= 60°. 故选 C. 3. C 　 【解析】 由 题 意, 得 ∠DBO = ∠OBC, ∠ECO = ∠BCO. ∵ DE ∥BC, ∴ ∠DOB = ∠OBC, ∠COE = ∠OCB,即∠DOB = ∠DBO,∠EOC = ∠OCE,∴ BD = DO,OE=CE,∴ △ADE 的周长 = AD+DO+OE+AE = AD +DB+AE+EC = AB+AC. ∵ AB = 20,AC = 12,∴ △ADE 的周长= 20+12 = 32. 故选 C. 4. A 5. 10　 【解析】∵ D 为 AB 的中点,ED⊥AB,∴ AE = BE. ∵ △AEC 的周长为 22,∴ AC+CE+AE = AC+CE+BE = AC+BC= 22. ∵ BC= 12,∴ AC= 10. 6. ①②③　 【解析】在△ABC 中, ∠BAC = 90°, AD ⊥ BC, ∴ ∠BAC = ∠ADC = ∠ADB = 90°, ∴ ∠C+∠CAD = ∠C+∠ABC = 90°,∴ ∠CAD = ∠ABC. ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABC= 2∠ABE = 2∠CBE,∴ ∠CAD= 2∠ABE = 2∠CBE,故①正确,符合题意;∵ ∠BAC = ∠ADB = 90°, ∴ ∠ABE + ∠AEF = ∠CBE + ∠BFD = 90°. ∵ ∠ABE= ∠CBE,∴ ∠AEF = ∠BFD = ∠AFE,故 ②正确,符合题意;∵ S△ABC = 1 2 AC·AB = 1 2 AD·BC, ∴ AC·AB=AD·BC,故③正确,符合题意;作点 H 关 于 BE 的对称点 H′,连接 GH′,AH′,∴ GH =GH′,∴ GH +AG=GH′+AG≥AH′≥AD,故④错误,∴ 正确的有① ②③. 7. 6　 【解析】连接 CD. ∵ 在△ABC 中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,BC= 4,∴ ∠ABC = 60°,AB = 2BC = 8. 由题可知 BC=CD= 4,CE 是线段 BD 的垂直平分线,∴ △BCD 是等边三角形,∴ BD = BC = 4,BF = 1 2 BD = 2,∴ AF = AB-BF= 6. 8. 证明:(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ AB = AC,AD = AD,∴ Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴ ∠ABC= ∠ACB; (2)∵ EP⊥BC,∴ ∠EPB= ∠EPC= 90°. ∵ AE = AF,∴ ∠E= ∠AFE, ∵ ∠AFE = ∠BFP. ∴ ∠E = ∠BFP, ∵ ∠BFP+∠B = ∠E + ∠C = 90°,∴ ∠B = ∠C, ∴ AB = AC,∴ △ABC 为等腰三角形. 9. (1)解:DE∥AC,理由:∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠CAD= ∠BAD. ∵ EF 垂直平分 AD, ∴ AE = DE, ∴ ∠BAD= ∠EDA,∴ ∠CAD= ∠EDA,∴ DE∥AC; (2)证明:∵ EF 垂直平分 AD,∴ EA = ED,FA = FD,∴ ∠EAD= ∠EDA,∠FAD = ∠FDA,∴ ∠EAF = ∠EDF. ∵ DE∥AC,∴ ∠C= ∠EDF,∴ ∠C= ∠EAF. 类型四　 整式的乘法与因式分解 1. A 2. D　 【解析】(2n+1) 2 -(2n-1) 2 = [(2n+1) -(2n-1)] [(2n+1)+(2n-1)] = 8n,故当 n 是正整数时,(2n+ 1) 2 -(2n-1) 2 是 8 的倍数. 故选 D. 3. B　 【解析】原式 = 2x2 +(p-4) x-2p,由题意得 p-4 = 0,解得 p= 4. 故选 B. 4. A　 【解析】设 BC= a,CG = b,则 S1 = a 2,S2 = b 2,a+b = BG= 8. ∴ a2 +b2 = 40. ∵ (a+b) 2 = a2 +b2 +2ab = 64,∴ 2ab= 64-40 = 24,∴ ab= 12,∴ 阴影部分的面积 = 1 2 ab = 6. 故选 A. 5. B　 【解析】5a(x2 -y2) -5b(x2 -y2)= 5(x2 -y2) (a-b) = 5(a-b)(x+y) ( x-y),∴ 呈现的密码信息包括我、 强、国、有. 故选 B. 6. a2 -b2 = (a+b)(a-b) 类型五　 分式 1. D　 【解析】解 5 x-3 -1 = m x-3 ,得 x= 8-m. ∵ 该分式方程 无解,∴ x-3 = 0,则 x= 3,∴ 8-m= 3,解得:m = 5. 故选 D. 2. C　 【解析】分式方程去分母得:m = x-1,即 x = m+1, 由分式方程的解为非负数,得到 m+1≥0,且 m+1≠ 1,解得:m≥-1 且 m≠0. 故选 C. 3. 12　 【解析】 2x+1 3 ≤3① 4x-2<3x+a② { ,解不等式①,得 x≤4,解 不等式②,得 x<a+2,由题意得 a+2>4,解得 a>2;解 方程 a-8 y+2 - y y+2 = 1 得,y= a-10 2 ,且 y≠-2,当 a= 8 时,y = 8 -10 2 = -1;当 a = 6 时,y = 6-10 2 = -2(不合题意,舍 去);当 a= 4 时,y = 4-10 2 = -3,∴ 符合条件的 a 有 8, 4,∴ 8+4 = 12. 4. x= 5　 【解析】根据题中的新定义,化简得: 1 x-4 = 2 x-4 -1,解得:x= 5,经检验,x= 5 是分式方程的解. 5. 1　 【解析】∵ 1 x - 1 y = 4,∴ y-x xy = 4,∴ x-y = -4xy,∴ x-5xy-y 2x-xy-2y = x -y-5xy 2(x-y)-xy = -4xy-5xy -8xy-xy = -9xy -9xy = 1. 6. 解:设原计划平均每天制作 x 个摆件,根据题意,得 3000 x -3000 1. 5x = 5,解得 x= 200,经检验,x= 200 是原方程 的解,且符合题意,答:原计划平均每天制作 200 个摆 件. 追梦专项三　 期末综合新颖题 1. C 2. C　 【解析】∵ AB = AC,∠B = 50°,∴ ∠C = ∠B = 50°. 故选 C. 3. C　 【解析】原来租的土地面积:a2 平方米. 现在租的 土地面积:(a+4)(a-4)= (a2 -16)平方米. ∵ a2 >a2 - 16. ∴ 张老汉的租地面积会减少. 故选 C. 4. A　 【解析】由示意图可知:DA⊥OC 于 A,CB⊥OD 于 B,∴ △DOA 和 △DBE 都 是 直 角 三 角 形, ∴ ∠O + ∠ADO= 90°,∠DEB+∠ADO = 90°,∴ ∠DEB = ∠O = 37°,∴ ∠AEC= ∠DEB= 37°. 故选 A. 5. A　 6. A　 7. SAS 8. 40°　 【解析】由题意得:AM∥OH,∴ ∠AOH= ∠OAM = 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版 ZBR·八年级数学上　 第 8 页