精品解析：河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

邢台一中2024—2025学年第一学期第三次月考 高二年级数学试题 说明： 1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准方程求出，得解. 【详解】由抛物线的标准方程为，有，得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：B. 2. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选：. 3. 双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出渐近线和左焦点坐标，利用点到直线距离公式求解. 【详解】由已知得，则左焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为， 因为焦点到两条渐近线的距离相等， 所以左焦点到其中一条渐近线的距离为， 故选：. 4. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形PACB的外接圆的直径为PC，且其最小值为圆心C到直线的距离求解. 【详解】圆的方程，即为，圆心， 易知四边形PACB的外接圆的直径为PC， PC的最小值为圆心C到直线的距离，即， 则四边形PACB的外接圆的半径为， 所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为. 故选：D 5. 已知，过抛物线的焦点作直线交于，两点，若上存在点，使得四边形为平行四边形，则t（ ）． A. 是定值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 以上说法均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】设直线，的中点为，，联立直线方程和抛物线方程后可用表示，从而可得. 【详解】由抛物线方程可得： 设直线，的中点为， 由可得，故，所以， 故，所以， 所以， 故选：A. 6. 已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合椭圆方程推出，结合得出，设直线方程为，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，代入中化简求值，即可求得答案. 【详解】设，则，， 则，故， 同理，而， 故； 由题意可知直线的斜率不为0，设方程为， 代入椭圆方程得：， 需满足， 设，则， 又，，即， 即，即， 得， 即， 整理得，解得，或， 当时，，直线过A点，不符合题意； 当时，，直线恒过点， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据题意结合椭圆方程得出，再结合得出，然后设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求值，即可求解。 7. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点A关于直线的对称点，转化为求点与圆上动点距离最小问题即可得解. 【详解】设点 关于直线 的对称点 ， 则 的中点为 ， ， 故 ，解得 ， 要使从点 到军营总路程最短， 即为点 到军营最短的距离， 由点与圆上点的距离的最小值为点与圆心距离减去半径知， “将军饮马”的最短总路程为 ， 故选 ：B 8. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在半圆上，可求，再根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程 【详解】由点在半圆上，所以， 由椭圆可知图中， 要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时， M到直线AG的距离最大， 此时，即， 又 ， 所以半椭圆的方程为 故选：D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下说法正确的有（ ） A. 对，且，就一定有A，B，C，D四点共面； B. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底； C. 若，，则； D. 正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的基本定理即可判断. 【详解】对于A，若 与 不共线，则可以将 与看作一组基底， 由向量的基本定理可知 与 ，共面，即A，B，C，D在一个平面内； 若 与 共线，则 ， ， 即A，D，B在同一直线上，故A，B，C，D也在一个平面内； 故A正确； 对于B， ，即 与 共面，故B错误； 对于C，如下图： ， ， 故C正确； 对于D，由图可知， ， ， ， ， 显然， ， 与 共面，即E在平面 上， 故D正确； 故选：ACD. 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当n过时，光由所经过的路程为13 C. 射线n所在直线的斜率为k，则 D. 若，直线PT与C相切，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出. 【详解】对于A：若，则. 因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得： 二者联立解得：.故A错误； 对于B：光由所经过的路程为. 故B错误； 对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即. 故C正确. 对于D：设直线PT的方程为. ，消去y可得：. 其中，即，解得 代入，有，解得：x=9. 由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以. 所以. 故D正确 故选：CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 13. 过点与圆相切的直线方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 14. 伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； ②恒成立； ③曲线C上任一点到原点的距离不超过； ④当时，取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据曲线的方程，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及不等式和三角形面积，逐项判定，即可求解. 【详解】 在曲线上任取一点，关于原点的对称点为， 代入曲线的方程，可知在曲线上，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确； 因为点是轨迹C上一点，所以， 因为，所以，即， 所以，故②正确； 因为，所以， 所以，所以曲线C上任一点到原点的距离不超过，故③正确； 因为，所以， 又，所以，即， 所以，当时等号成立，故④错误， 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：本题考查曲线的轨迹及其性质的问题，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆过原点和点，圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【小问1详解】 设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． 【小问2详解】 设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 16. 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，点是的中点，点F是平面与线的交点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 因，平面，平面，则平面， 又因平面，平面平面，故， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，利用线面平行的性质，推出，即得； （2）由题意建系，写出相关点和相关向量的坐标，求出平面的法向量，由空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，，，可得， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， ， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则 故直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 抛物线上的点到C的准线的距离为5． （1）求C的方程； （2）已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）如下图所示： 设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得， 设，则可得； 由于，所以可得，即， 可得，解得或（舍）； 又，所以可得直线的方程为， 联立，可得点D的坐标为； 又，所以可得 ； 即的长度为定值2. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义可得点到C的准线的距离为，可求出C的方程； （2）先根据条件联立方程可求得的值，再利用求出点D的坐标，最后求出的长度. 【小问1详解】 根据题意利用抛物线定义可知，解得； 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． （1）求双曲线的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线和椭圆有公共焦点求出，再由离心率的公式求出，从而求得双曲线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上， 所以双曲线的，又因为， 所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，设，则， ， 依题意， ，即， 由解得或（舍去）， 所以，此时到直线的距离为. 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ， 依题意， 所以 ， 整理得， 即，由于直线，， 所以， 函数的开口向上， 判别式为，故①成立. 所以直线的方程为，即， 所以到的距离， ， 当时，；当时， 当且仅当时等号成立. 所以. 综上所述，点到直线的距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题（2）的关键点在于根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值. 19. 已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）利用直线求出椭圆中的值，再根据椭圆的标准方程列式求解即可； （2）（i）设直线：，，与椭圆方程联立，利用和韦达定理可得①，再设的方程为，与椭圆方程联立，利用与椭圆相切，判别式为0，求出切线的方程，同理可得切线的方程，由在直线，上，联立，可得，在直线上，得②，再将①②联立即可求解； （ii）由（i）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上，利用抛物线的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意得，直线的方程为，即， 当时，，故， 由解得或（舍去）， 椭圆的方程. 【小问2详解】 （i）设直线：，，，， 与联立， 所以，， 由可得 化简可得① 设的方程为，即， 与联立， 令，结合， 解得，所以切线方程为， 即直线方程为：，不存在时也满足此直线方程， 同理可得方程为：， 由在直线，上，则，即，在直线上， 所以直线方程为：，即 而直线方程为，故， 由①可得，整理得到：， 若轴，则，则，故， 此时在轴上，结合切线方程可得， 此时也满足此方程， 所以的轨迹方程为. （ii）由（i）可知在以为焦点，以为准线的抛物线上， 过分别向直线作垂线，垂足分别为，， 由抛物线定义可得：， 当且仅当，，共线时取等， 所以周长的最小值为. 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2024—2025学年第一学期第三次月考 高二年级数学试题 说明： 1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，过抛物线的焦点作直线交于，两点，若上存在点，使得四边形为平行四边形，则t（ ）． A. 是定值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 以上说法均不正确 6. 已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 7. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 8. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下说法正确的有（ ） A. 对，且，就一定有A，B，C，D四点共面； B. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底； C. 若，，则； D. 正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上． 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当n过时，光由所经过的路程为13 C. 射线n所在直线的斜率为k，则 D. 若，直线PT与C相切，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 13. 过点与圆相切的直线方程为____________． 14. 伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线． 在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点中心对称； ②恒成立； ③曲线C上任一点到原点的距离不超过； ④当时，取得最大值或最小值． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆过原点和点，圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 16. 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，点是的中点，点F是平面与线的交点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 抛物线上的点到C的准线的距离为5． （1）求C的方程； （2）已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值． 18. 已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． （1）求双曲线的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 19. 已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点. （i）求点的轨迹方程； （ii）求周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $