精品解析：黑龙江省佳木斯市第八中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期2024.12 高三数学试题 分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 2. 向量，，则 （ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】用坐标表示出，再由向量的数量积的坐标运算得出结果. 【详解】由题可知， ∴. 故选：D. 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 利用和与项的关系求出，得公差，再由求得，然后利用通项公式可求得． 【详解】， ，公差. 又，得， ，解得 故选：D. 4. 已知向量，满足， ，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】将平方结合，求得. 【详解】∵， ∴，即 ∴. 故选：D. 5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的前项和，项之间的关系建立方程组，求得数列首项和公比，即可求得. 【详解】设数列的首项为，公比为， 则， ， ∴，即，则， ∴， ∴， 故选：C. 6. 若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设向量与的夹角为θ，根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算即可. 【详解】解：设向量与的夹角为θ， ∵， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题. 7. 已知复数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据复数的几何意义知，要使的最小值，即圆上动点到原点的距离最小，即可求. 【详解】令，则由题意有， ∴的最小值即为圆上的动点到原点的最小距离， ∴的最小值为. 故选：B. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可计算作答. 【详解】因，则， 所以， 所以. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据，，成等差数列，以及数列前4项的和为，求出a3，再根据，，成等差数列，将各项化为a3和q，进而求出q. 【详解】因为，，成等差数列，所以，又因为数列前4项的和为， 所以， 而数列公比为q，再根据有，，所以或. 故选：AC. 10. 已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ） A. B. C. D. 、均为的最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为由题意得，，所以，，故D正确； 故选：BD 11. 等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. 的前项和中最小 C. 的最小值为-49 D. 的最大值为0 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断. 【详解】设数列的公差为d，则 解得，，A错误； ，当n=5时取得最小值，故B正确； ，设函数， 则，当时，， 当时，， 所以，，且，， 所以最小值为-49，C正确； ，没有最大值，D错误． 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，则____． 【答案】12 【解析】 【分析】由等差数列的等差中项求出，再利用等差中项即可得到答案. 【详解】由等差中项可知，∴， ∴， 则， 故答案为：12. 13. 数列满足，，则____． 【答案】2 【解析】 【分析】化简递推公式，由递推公式求出的值，然后找规律得到. 【详解】∵，∴，∴，，，∴. 故答案为：2. 14. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 【答案】； 【解析】 【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1． 考点:等比数列的通项公式． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）；（2），最小值为–16． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果； （2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以． [方法二]：函数+待定系数法 设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以的最小值为， 所以的最小值为． [方法2]：函数法 由题意知，即， 所以的最小值为，所以的最小值为． 【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解； （2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值． 16. 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明. 选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证； 选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③： [方法一]：待定系数法+与关系式 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，，故. [方法二] ：待定系数法 设等差数列的公差为d，等差数列的公差为， 则，将代入， 化简得对于恒成立． 则有，解得．所以． 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式 因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论. 17. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为 ． （1） 求等差数列的通项公式； （2）若成等比数列，求数列的前项和 【答案】 （1），或. （2） 【解析】 【详解】考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算． （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，， 由题意得解得或 所以由等差数列通项公式可得，或. 故，或. （Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列； 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件. 故 记数列的前项和为. 当时，；当时，； 当时， . 当时，满足此式. 综上， 【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由可得出， 上述两式作差可得，所以，， 所以是以为首项，公比的等比数列，所以； （2），， ， 上式下式可得， 因此，. 19. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期2024.12 高三数学试题 分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 1 C. D. 2. 向量，，则 （ ） A. B. 0 C. D. 1 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知向量，满足， ，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 3 D. 4 6. 若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知复数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为q，前4项的和为，且，，成等差数列，则q的值可能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 10. 已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ） A. B. C. D. 、均为的最大值 11. 等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. 的前项和中最小 C. 的最小值为-49 D. 的最大值为0 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，则____． 13. 数列满足，，则____． 14. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 16. 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 17. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为． （1） 求等差数列的通项公式； （2）若成等比数列，求数列的前项和 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 19. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $