精品解析：江苏省宿迁市宿城区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度初三年级第一学期期中测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，是一元一次方程，不符合题意； B．，是分式方程，不符合题意； C．有两个未知数，是二元一次方程，符合题意； D、，是二元一次方程，不符合题意； 故选：D． 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， ， ∴． 故选：B． 3. ⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与直线的位置关系可直接进行排除选项． 【详解】解：∵⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交； 故选A． 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（    ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理，根据确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵不在同一直线上的三点确定一个圆，选项A未排除共线情况，故A错误； ∵三角形的外心是外接圆圆心，到顶点的距离相等，但到三边的距离不一定相等，故B错误； ∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但选项未限定弦非直径，故C错误； ∵ 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦（垂径定理），故D正确． 故选D 5. 如图，点、、在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半”即可得． 【详解】解：由圆周角定理得：． 故选：B． 6. 某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 7. 如图，内接于，是的直径．若，的度数为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，由圆周角定理可得，，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，正方形的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为G，连接，则长的最小值为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设交与点O，证明．连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，设交与点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取中点M，连接，，则，为定长， ∵， ∴， ∴， 如图，过点M作于点N，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A，M，G三点共线时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角是性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的第三边大于另外两边之差． 二、填空题（体大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 关于x的方程的一个根为3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识． 先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10． 故答案为：10． 11. 若，是方程的两个实数根，则的值为________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程中根与系数的关系，根据题意，，为方程的根，得，根据，则，根据，即可． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，根据勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图， 根据题意得，D在上，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， 故答案为：8． 13. 如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 首先根据切线长定理得到，，，然后根据的周长为12得到，然后等量代换得到，进而求解即可． 【详解】解：∵、是的切线，切于点E， ∴，， ∵的周长为12， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：6． 14. 如图，、是的弦，延长、相交于点P，已知，，则的度数是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 故答案为：20． 15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵母线长为，扇形的圆心角 ∴圆锥的底面圆周长 ∴圆锥的底面圆半径 故答案为：2． 【点睛】本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解． 16. 已知在半径为3的⊙O中，弦AB=3，弦AC=3，则∠BAC的度数为________． 【答案】105° 或15° 【解析】 【分析】连接OA，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，根据垂径定理求出AE，AF的值，根据解直角三角形的知识求出∠OAE=45°，∠OAF=60°，然后分情况求出∠BAC即可． 【详解】解：有两种情况： ①如图，连接OA，过O作OE⊥AB，OF⊥AC ∴∠OEA=∠OFA=90° 由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=， ∴， ∴∠OAE=45°，∠OAF=60°， ∴∠BAC=∠OAE+∠OAF=45°+60°=105°； ②如图，连接OA，过O作OE⊥AB，OF⊥AC， ∴∠OEA=∠OFA=90°， 由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=， ∴， ∴∠OAE=45°，∠OAF=60°， ∴∠BAC=∠OAF-∠OAE=60°-45°=15°， 故答案为105°或15°． 【点睛】本题考查的是垂径定理和解直角三角形，能够分情况讨论是解题的关键． 17. 如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在上，将沿着边连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为_________cm．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P点的运动轨迹．从图中可以看出第1次翻转后点P在边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是3，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在和上也是相同的情况，由此求解即可． 【详解】解：从图中可以看出第1次翻转后点P在边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是3， 所以弧长=， 第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在边上， 在边，第一次，第二次同样没有路程，边上也是如此， 点P运动路径的长为． 故答案为：． 18. 如图，正方形和，，，连接．若绕点A旋转，当最大时，_______． 【答案】30 【解析】 【分析】过作于，由题意得绕点旋转时，点在以为圆心，12为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，则，再由勾股定理求出，然后证，得，最后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过作于，如图所示： ， 当绕点旋转时，点在以为圆心，12为半径的圆上， 当为此圆的切线时，最大， ， 在中，由勾股定理得：， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用因式分解法求解即可； （2）用提公因式法分解因式后解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：； ， ， 或， ∴，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）相交，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 【小问1详解】 连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示： 根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 21. 如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 22. 如图，是的外接圆，，P是上一点．请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系等知识，如图①中，连接，就是的平分线，如图②中，连接并延长，与交于点D，连接，就是的平分线． 【详解】解：如图①，连接，即为所求角平分线；   如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线．   23. 关于x的一元二次方程， （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值． 【答案】（1） 解：证明：关于的一元二次方程， ， △ ， 则方程有两个不相等的实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ， ，即． 解得． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 24. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】（1） （2）每套纪念品应定价50元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 25. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可求证； （）如图，过作于，可得，，即得，最后根据解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∵于， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 26. 如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． （1）当x为何值时，为等腰三角形； （2）是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，为等腰三角形 （2）存在， 【解析】 【分析】本题借助动点问题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的定义计算． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度，由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，可列出方程，从而求出x的值； （2）根据四边形的面积的面积的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴当时，为等腰三角形； 【小问2详解】 解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于， 则， 解得． 假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于． 27. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】（1）是 （2）k的值为9 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值； （3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，， ，， 所以一元二次方程为“限根方程”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系得，， ， ，即， 解得，， 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”， 当时，方程化为， 解得，， ， 方程化不是“限根方程”， 综上所述，的值为9； 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 28. 【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即． （1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； （2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （3）【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ． 【答案】（1）1 （2） 解：． 证明：在上截取，连接、、、， 是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即． （3）或 【解析】 【分析】（1）由“问题呈现”结论可求解； （2）在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由“问题呈现”结论可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，即， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点在下方时，过点作于点， 是圆的直径， ， ，圆的半径为5， ， ， ， ， ． 当点在上方时，，同理易得． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是本题的关键． 四、附加题（本大题共有1小题，共10分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 29. 《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写表格． 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 85 九（2）班 80 （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？请说明理由． 【答案】（1） 补全表格如下： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 85 85 九（2）班 85 80 100 （2）九（1）班成绩好些 （3） 九（1）班的成绩更稳定，能胜出，理由： ∵ ， ， ∴， ∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出． 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，平均数，众数，中位数，方差的含义； （1）结合频数分布直方图，中位数，平均数，众数的含义补全表格即可； （2）由两个班的平均数相同，结合中位数可得结论； （3）分别计算出两个班的方差，再比较即可； 【小问1详解】 解：九（1）班5位同学的成绩为75、80、85、85、100， ∴其中位数为85分；九（2）班5位同学的成绩为70、100、100、75、80， ∴九（2）班的平均数为（分），其众数为100分． 【小问2详解】 解：九（1）班成绩好些，理由如下： ∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高， ∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初三年级第一学期期中测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. ⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 下列说法正确的是（    ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 5. 如图，点、、在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的直径．若，的度数为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为G，连接，则长的最小值为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题（体大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 关于x的方程的一个根为3，则________． 10. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是______． 11. 若，是方程的两个实数根，则的值为________； 12. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为______． 13. 如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则______． 14. 如图，、是的弦，延长、相交于点P，已知，，则的度数是______． 15. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________． 16. 已知在半径为3的⊙O中，弦AB=3，弦AC=3，则∠BAC的度数为________． 17. 如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在上，将沿着边连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为_________cm．（结果保留π） 18. 如图，正方形和，，，连接．若绕点A旋转，当最大时，_______． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 21. 如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，是的外接圆，，P是上一点．请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 23. 关于x的一元二次方程， （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值． 24. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 25. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 26. 如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． （1）当x为何值时，为等腰三角形； （2）是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 27. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 28. 【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即． （1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； （2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （3）【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ． 四、附加题（本大题共有1小题，共10分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 29. 《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据图示填写表格． 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 85 九（2）班 80 （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $