精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校四校2024-2025学年八年级上学期11月期中联考数学试题

亿利东方学校2024－2025学年第一学期期中学科素养综合评价 八年级数学试卷 分值：100分 时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为 （　　） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 5. 如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 6. 已知，那么从小到大的顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 7 10. 如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 已知，若a，b是等腰三角形的两条边长，则它的周长是________． 13. 若中不含有x的四次项，则a的值为______． 14. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为_____． 15. 如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 _____． 16. 如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为________． 三、解答题：（共52分） 17. 先化简再求值：，其中，． 18. 如图，已知 ， （1）画出关于轴对称的； （2）写出各顶点的坐标； （3）求出的面积． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 20. 如图，，，，求证：． 21. 如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F． （1）证明：； （2）如果，，求AE、BE的长． 22. (1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亿利东方学校2024－2025学年第一学期期中学科素养综合评价 八年级数学试卷 分值：100分 时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，多项式乘以多项式，单项式乘以单项式，合并同类项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可解． 【详解】解：A、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； B、，，长度为的三条线段能组成三角形，符合题意； C、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； D、，长度为的三条线段不能组成三角形，不合题意； 故选B． 4. 若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为 （　　） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和． 设多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，外角和为，根据“内角和为外角和的3倍”，解方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 解得： ∴这个多边形为八边形． 故选：A． 5. 如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点为的中点得出，由点为的中点得出，最后再由点为的中点即可得出答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 6. 已知，那么从小到大的顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方的运算是关键． 根据幂的乘方的逆运算得到，，，，再根据指数相同，底数越大，值越大即可求解． 【详解】解：，，，， ∴， ∴， 故选：D ． 7. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，象限内点的符号特征，解一元一次不等式组，根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出对称点的坐标，再根据对称点在第一象限，列出不等式组组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，点关于x轴的对称点的坐标为：， ∵关于x轴的对称点在第一象限， ∴在第一象限， ∴，解得：； 故选B． 8. 如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案； 【详解】解：过E作， ∵是等边三角形，， ， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 10. 如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由SAS即可证明，则①正确；有∠CAE=∠CDB，然后证明△ACM≌△DCN，则②正确；由CM=CN，∠MCN=60°，即可得到为等边三角形，则③正确；由AD∥CE，则∠DAO=∠NEO=∠CBN，由外角的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°， 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS），则①正确； ∴AE=BD，∠CAE=∠CDB， 在ACM和△DCN中， ， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM=CN，；则②正确； ∵∠MCN=60°， ∴为等边三角形；则③正确； ∵∠DAC=∠ECB=60°， ∴AD∥CE， ∴∠DAO=∠NEO=∠CBN， ∴；则④正确； ∴正确的结论由4个； 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键． 二、填空题：（每题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用．逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：2． 12. 已知，若a，b是等腰三角形的两条边长，则它的周长是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，根据非负性，求出的长，再根据等腰三角形的两腰相同，分两种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当等腰三角形的腰长为2时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为4时，，能构成三角形，满足题意， 此时等腰三角形的周长为：； 故答案为：10． 13. 若中不含有x的四次项，则a的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项后不含x的四次项，可求a的值． 【详解】解： 由题意可知， 解得． 故答案为：3． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式以及合并同类项，解题的关键是熟练运用单项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型． 14. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，条件辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质，可得，从而得到，进而得到，再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4 15. 如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，面积法，利用角平分线性质定理作辅助线是解答本题的关键．过点D作于点F，根据角平分线性质定理可得，再利用面积法列方程并求解，即得答案． 【详解】过点D作于F， 是角平分线，，， ， ， 解得． 故答案为：4． 16. 如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2是解题的关键． 依次求出，，的边长，根据发现的规律：等边三角形的边长依次乘以2，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故的边长为2． 同理可得，， 故的边长为． ， 故的边长为． …， ∴的边长为． 当时，的边长为． 故答案为：． 三、解答题：（共52分） 17. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行多项式乘以多项式的计算，再合并同类项，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 18. 如图，已知 ， （1）画出关于轴对称的； （2）写出各顶点的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）所画图形即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知； 【小问3详解】 解：由题意得，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，割补法求三角形面积，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】 （1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∠DAE∠DAC＝40° 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵DF垂直平分线段AB ∴DB＝DA ∴∠DAB＝∠B＝30° ∵∠C＝40° ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110° ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80° ∵AE平分∠DAC ∴∠DAE∠DAC＝40°． 【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法． 20. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵, ∴ 即 又∵ ∴， 在和中 ， ∴, ∴． 【解析】 【分析】由得，由得，从而证明解题． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形的全等，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F． （1）证明：； （2）如果，，求AE、BE的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接BD、CD， ∵且平分BC， ∴BD=CD， ∵AD平分，于E，于F， ∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE=CF； （2）AE=4，BE=1 【解析】 【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论； （2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AD平分，于E，于F， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， ∴CF=AF-AC=AE-AC， 由（1）知：BE=CF， ∴AB-AE=AE-AC 即5-AE=AE-3， ∴AE=4， ∴BE=AB-AE=5-4=1， 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 22. (1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 【答案】 （1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ； （2）点的坐标为或或或； （3）猜想，证明如下： ①当点运动到点右侧时， 如图中，延长至，使，连接，，． 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ②当点运动到点左侧时， 同理可证，， 综上所述，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定： （1）利用证明，得到即可得到结论； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作于M，过点C作于N，先求出，同理可证明，得到，则，同理，根据正方形的性质，得出另外两个符合题意的点坐标，即可求解． （3）分两种情形：当点运动到点A右侧时，如图②中，延长至，使，连接，，．利用全等三角形的性质求解．当点运动到点左侧时，同理可证，． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点作轴，过点作于，过点作于， 点，点， ，， 同（1）可得， ，， ； 同理，， 为的中点， ； 由题意得：四边形与四边形是正方形， 正方形对角的交点坐标为，与正方形对角的交点坐标为， ，． 综上，点的坐标为或或或； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $