第二十八章 锐角三角函数 （B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第二十八章 锐角三角函数 （B卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 2．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 3．已知 ，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，根据的余弦值是解答，熟记的余弦值是是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 4．若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选A． 5．在中，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用． 据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】 解：如图， 由图可知． 故选：A． 6．如图，点是矩形的边上的一点，沿折叠为，点落在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， 设，则． 由折叠的性质可知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则． ∵，即， ∴（舍去负值）， ∴， ∴． 故选：A． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键． 如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题． 【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出 ，， 得到 ∴为直角三角形，且 ∴ 故选：A． 8．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 9．如图中，，，若，，且的面积是面积的10倍，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．作辅助线，构建三角形高线，根据已知的三角函数值设未知数：设，则，，证明，根据相似三角形对应边成比例列式，表示出的长，根据已知的面积关系：的面积是面积的10倍，列方程解出即可． 【详解】解：如图，作于点F， 则， 设，则，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， 的面积是面积的10倍， ， 即， 整理得， 解得（舍），， 经检验，是原方程的解， ，， 由勾股定理得， 故选C． 10．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴点到的距离等于， 故选：． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．在中，，，，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正切的定义，勾股定理的含义，熟练掌握定义是解题的关键．利用勾股定理先求解，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别计算化简负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：5． 13．在中，，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦．根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 故答案为：． 14．已知中，，，，如果解这个三角形有2解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，确定有两个解的临界点成为解题的关键．如图：过B作边上的高．解直角三角形可得，再根据这个三角形有2解可知以B为圆心、以半径的圆与射线有两个交点；然后确定两个临界点解答即可． 【详解】解：如图：过B作边上的高． ∵，， ∴， ∵这个三角形有2解， ∴以B为圆心，以半径的圆与射线有两个交点， 当与射线掐有一个交点时，即点C与点H重合， ∴； 当以B为圆心，以半径的圆与射线有两个交点的临界点，即， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先证明，，可得，可得，，然后利用特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，三角形的内角和定理的应用，求解是解本题的关键． 16．如图，等腰、中，，，，于M，连接，若，则 ． 【答案】/0.8 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义、勾股定理、锐角三角函数等知识．证明，则，得到，由于M得到，则，设则求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于M， ∴， 则， 设则 ∴， ∴， 故答案为： 3、 解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入原式计算，得到答案． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 19．如图，在中，，，，求的值．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，正弦的定义，掌握勾股定理的运用，正弦值的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理求出的值，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：，，， ， ． 20．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 21．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)点到旗杆的距离约为 (2)旗杆的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；含直角三角形的性质； （1）过点作交于点，过点作交于点，利用，，可求出的长度，即可确定点到旗杆的距离； （2）利用，，可得，在中利用三角函数即可求出、、的长度，在中求出的长度，即可确定旗杆的高度； 【详解】（1）解：如图， 过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴，． ∵斜坡的坡度是， 即：， 设，， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴点到旗杆的距离约为． （2） 根据平行线的性质得：， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴旗杆的高度约为． 22．如图，在△ABC中，若∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝8cm， 求：（1）AC的长； （2）△ABC的面积． 【答案】（1）AC＝2cm；（2）△ABC的面积＝12cm2． 【分析】（1）作AD⊥BC于D，解直角三角形求得BD=3cm，AD=3cm，进而求得CD=5cm．然后根据勾股定理即可求得AC的长； （2）根据三角形面积公式即可求得． 【详解】（1）作AD⊥BC于D， ∵∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴BD＝AB＝3cm，AD＝AB＝3cm， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5cm， ∴AC＝＝＝2cm； （2）△ABC的面积＝BC•AD＝×8×3＝12cm2． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的应用、三角形面积等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 23．今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 24．如图所示，点P是菱形对角线上的一点． (1)求证：； (2)连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F，交的延长线于点Q，： ①求的值； ②当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，平分，则，即可证明； （2）①证明，得到，,则，证明，得到，则,即，证明，则，得到,则，即可得到结论；②分三种情况分别进行讨解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴， 在和中， ∴； （2）解：①∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，, ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,即， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴, ∴， ∴； ②由（1）证得， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 若， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵，设，， ， ∴， ∴， 由菱形性质，是菱形的对称轴， ∴△EBP和△FDP关于AC对称 则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于H，设， 则， 解得，即 ∴ ∴； 若， ∴ ∵，设，， ， 同理可得： ∵， ∴， ∴， ∴ 同理可得：    ， 设， ∴， 解得， ∴ ∴； 即的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数 （B卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 2．在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 4．若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 5．在中，，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，点是矩形的边上的一点，沿折叠为，点落在上，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 9．如图中，，，若，，且的面积是面积的10倍，则的长度是（   ） A． B． C． D． 10．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．在中，，，，则的正切值为 ． 12．计算： ． 13．在中，，的余弦值为 ． 14．已知中，，，，如果解这个三角形有2解，则的取值范围是 ． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q．若，，则的长为 ． 16．如图，等腰、中，，，，于M，连接，若，则 ． 3、 解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．计算：． 18．计算：． 19．如图，在中，，，，求的值．    20．如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 21．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． (1)若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； (2)若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 22．如图，在△ABC中，若∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝8cm， 求：（1）AC的长； （2）△ABC的面积． 23．今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 24．如图所示，点P是菱形对角线上的一点． (1)求证：； (2)连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F，交的延长线于点Q，： ①求的值； ②当是等腰三角形时，请求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$