第二十八章 锐角三角函数 （A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第二十八章 锐角三角函数 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值等于 （　　） A． B． C． D． 2．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为12米，与的夹角为，则高是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．在中，，，，则等于（ ） A．25 B．12 C．9 D．16 4．的值等于（    ） A． B． C． D． 5．的值是（   ） A． B． C．1 D． 6．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，在中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如果锐角满足，则的大小是 ． 12．小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米． 13．已知，锐角的正切值是3，则它的余弦值是 ． 14．如图，在中，，于点D，，，那么 ． 15．若，则等于 度． 16．等腰中，，，D为的中点，交射线于E，若，则线段的长为 ． 3、 解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．（8分）计算： 18．（8分）计算：． 19．（8分）在中，，，，解这个直角三角形． 20．（8分）如图，在ABC中，，，求BC长． 21．（8分）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 22．（10分）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 23．（10分）为提高中小学生午休质量，实现由“趴睡”变“躺睡”，某校新购了一批可躺式座椅（实物如图1所示），可适应坐直、躺睡两种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行．躺睡时，根据人体工学原理，当椅面与椅背夹角在左右时比较舒适．如图2，若腿托长为，椅面长为，椅背长为，，，请你求出此时座椅在地面的水平长度．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，） 24．（12分）（1）问题提出：如图，在正方形中，连接对角线、，E、F分别是对角线和边上的点，且，求证：； （2）尝试应用：如图2，在等腰梯形中，，，连接，若，，点E、F分别为边和对角线上的点，且满足，，求的长； （3）拓展提升：如图3，在菱形中，交的延长线于点H，且，E、F分别是线段和对角线上的点，且，，若满足：，则________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值等于 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：． 故选：C． 2．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为12米，与的夹角为，则高是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接根据的正弦可得结论． 【详解】中，， 米， （米． 故选：A． 3．在中，，，，则等于（ ） A．25 B．12 C．9 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦的定义是关键． 根据正弦的定义及条件求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：在中，， ∴， 故选：C． 4．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，首先化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可． 【详解】 故选：A． 5．的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 7．如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点N，延长交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 8．如图，在中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，特殊直角三角形的性质等知识，如图，设．解直角三角形求出，，，可得结论． 【详解】如图，设． 在中，，， ，， ， ∴． 故选：C． 9．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】 ， ， ，， ，， ， 故选：D． 10．正方形对角线交于O，点E和F分别在和延长线上，且，连结，其中与和交于点G和M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，则，，，如图，作于，于，证明，则，，证明，则，设，，则，，，，，证明，则，即，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， 如图，作于，于， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如果锐角满足，则的大小是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值即可直接得出答案． 【详解】解：锐角满足， 锐角， 故答案为：． 12．小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米． 【答案】50 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 13．已知，锐角的正切值是3，则它的余弦值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意设锐角的邻边为a，则对边为，求出斜边长，然后根据余弦等于邻边与斜边的比计算是解题的关键． 【详解】解：设锐角的邻边为a，则对边为， ∴斜边为， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，于点D，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 15．若，则等于 度． 【答案】15 【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值，根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：15． 16．等腰中，，，D为的中点，交射线于E，若，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形、等腰三角形的性质、三角形全等的判定及性质，作交于，交于，利用等腰三角形的性质及锐角三角形函数可得，利用可得，进而可得，则可得即可求解，添加辅助线，构造直角三角形及全等三角形是解题的关键． 【详解】解：作交于，交于，如图： 等腰中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， D为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：2． 3、 解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．（8分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的锐角三角比、二次根式的计算等，解题的关键在于熟记特殊角三角比的值，先算乘法后算加减法． 【详解】解： ＝ ＝ 18．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 19．（8分）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题考查了解直角三角形，首先根据和的长度得出，继而求出，从而得出和的度数． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴ ∵， ∴， ∴． 20．（8分）如图，在ABC中，，，求BC长． 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意，分别解即可求解． 【详解】如图，过点作于点， ， ， ， ， ， 设，在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21．（8分）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）利用的正切解题即可； （2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：， 在中，, ∴， ∴钢丝的总长度为． 22．（10分）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 23．（10分）为提高中小学生午休质量，实现由“趴睡”变“躺睡”，某校新购了一批可躺式座椅（实物如图1所示），可适应坐直、躺睡两种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行．躺睡时，根据人体工学原理，当椅面与椅背夹角在左右时比较舒适．如图2，若腿托长为，椅面长为，椅背长为，，，请你求出此时座椅在地面的水平长度．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，延长交的延长线于点G，延长交的延长线于点H，证明四边形是矩形，在中求出，在中求出，根据即可得到答案． 【详解】解：延长交的延长线于点G，延长交的延长线于点H， 由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ 在中， 在中， ∴， 即座椅在地面的水平长度为． 24．（12分）（1）问题提出：如图，在正方形中，连接对角线、，E、F分别是对角线和边上的点，且，求证：； （2）尝试应用：如图2，在等腰梯形中，，，连接，若，，点E、F分别为边和对角线上的点，且满足，，求的长； （3）拓展提升：如图3，在菱形中，交的延长线于点H，且，E、F分别是线段和对角线上的点，且，，若满足：，则________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，，即可得； （2）连接交于点，延长，交于点，先证，再证，列式求解即可； （3）连接交于点，设，，求出，可得，证，得，列式解得，利用列式解得，可得，求解即可． 【详解】解：（1）设正方形对角线交于点， ∵在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）连接交于点，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）如图，连接交于点， ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∵菱形中，， ∴，， ∴， ∵菱形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 解得：（负值舍）， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$