3.2 函数的基本性质-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

3.2函数的基本性质 研课本·划重点 >>答案链接P06 知识梳理 一增函数;设函数f(x)的定义域为D,区间/CD,如果 # vx,EI,x时,都有/(x)①(). 那么就称函数((在区间/上单调递增特 别地,当函数f(t)在它的定义域上单调递 增时,称它为增函数 单调性 -减函数:设函数fx的定义域为D.区间/C/D.如果 vx,是E,当x<时,都有/(x)②(). 那么就称函数f(v)在区间/上单调递减,特 别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递 减时,称它为减函数 单调区间:如果函数-f(x在区间7上单调递增或单调递减,那么说函数y=fx 在这一区间具有(严格的)单调性,区间/叫做v=f(x)的单调区间 图搬长扫用 -最大值:设函数y=f(x)的定义域为D.如果存在实数M满足ED,都有f(x)③M 最值 xoED,使得f(x)-M.那么就称M是函数y-f(x)的最大值 最小值:设函数y=f()的定义域为D.如果存在实数M满足vxED.都有f(x)④ M x。ED,使得f(xo)-M,那么就称M是函数y=f(x)的最小值 ##.# -奇函数:设函数/()的定义域为D.VxED,都有一xED.且/(-x)-_ 奇偶性 偶函数:设函数/(o)的定义域为D.VxED,都有一*ED,/(-x)- -奇函数的图象是对称图形,关于③ 对称 对称性 -偶数的图象是对称图形,关于 对称 周期函数:设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T,使得对每一个xe D., 都有+7ED,且 周期性 ,那么函数fx)就叫做周期函数,非零常数T叫 做这个函数的周期 -最小正周期:若Z为周期函数(t)的所有周期中的② 则7为函数/(x)的最 小正周期 常用结论 1.函数的单调性 f(x)-f(x) (1)Vx,=D(x.≠x.). >0(<0)→[/(x)-f(x)](x.-x)>0(<0)函数f(x)在D上 #一: 单调递增(减) (2)奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性 1028 (3)复合函数f(g(x))与函数y=f(u)和u三g(x)的单调性的关系是“同增异减”,即y=f(a),u= g(x)的单调性相同,则/f(g(x))是增函数;y=f(u),u=g(x)的单调性不同,则f(g(x))是减函数 ,单调递 册1l ##区间为##)#(#.# 阁句即扭 2.连续函数的最值 (1)闭区间上的函数一定存在最大值和最小值,也是值域的端点 (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值 3. 函数的奇偶性 (1)如果一个奇函数/(x)在x=0处有定义,那么一定有/(0)=0 (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(1x1). (3)若y=f(x)是奇函数或偶函数,则y=lf(x)1是偶函数 (4)无论=/(x)是奇函数还是偶函数,函数=/(1xl)和y=f(-lxl)都是偶函数 l- y一ln l+b ,y三 hn+b a+1' h-b' log。x' 4.函数图象的对称性 (1)f(a+x)-f(b-x)=0→直线x= 5.函数的周期性 (1)f(x+a)=f(x+b)一T=Ib-al(a≠b). 推导:f(x)=f[(x-a)+a]=f[(x-a)+b]=f[x+(b-a)],故T=lb-al. (2)f(x+a)=-f(x+b)→T=21b-al(a≠b). 推导;[x+2(b-a)]=/[(x+b-2a)+b]=-f[(x+b-2a)+a]=-f[(x-a)+b]=/[(x-a)+a]=f(x). 故T=2Ib-al. (3)f(x+a)=f(x-a)-T=2lal. 029 推导:fx+2a)=ff(x+a)+a]=ff(x+a)-a =ffx),故T=2 l$l (4)f(x+a)=-f(x)-T=2lal. 推导:f(x+2a)=/(x+a)+a]=-f(x+a)=-[-f(x)]=f$(x),故T= lal. _1 (5)f(x+a)=+ -_T=2lal. /(x) 推导:当/(x+a)- f(x) -=/(x),故T=2lal; f(x+a)1 () =f(x),故T=2lal. /f(xta) f(x) 1-/(x) (6)/(x+a)= →T=2lal. 1+/(x) 11-()2() 1-/(x+a) 推导:f(x+2a)=/[(x+a)+a]= 1+f(x)1/(x) 11_() 1+f(x+a) 2 =f(x),故T=2lal. 1+/(x)1+/(x) -→7=3lal. 1+/(x) 1/(x) 推导:f(x+2a)=ff(x+a)+a]=- 1+/(x+a) /() /() 1/(x) 1f(x) 1 所以f(x+3a)=/f(x+2a)+a]=- -=_ 11+/(x)=--1 -=/(x),故T=3lal. 1+/(x+2a) 1-1 f() f(q) 1+/(x) (8)/(x+a)= →T-4lal. 1-/(x) 1+/f(x) 1 1+/(x+a) 1-f(x)1-f(x) 推导:f(x+2a)=ff(x+a)+a]= 1-f(x+a) 1+f(x)-2/(x)= 1-1#(#-()# /f(x) 1 /(x+2a) -=/(x),故T=4lal. /f(x) 6. 函数的对称性与周期性的关系 (1)f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)对称→T=2lb-al. 推导:由f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)对称,得f(x)=f(2a-x).f(x)=f(2b-x) $.f(2a-x)=ff(2b-x).令t=2a-x,则x=2a-t.ff(t)=f2b-2a-t)]=ft+(2b-2a)] :./(x)=/[x+(2b-2a)],故T=21b-al. (2)f(x)的图象关于点(a.0)和点(b.0)(a≠b)对称→T=2lb-al. 4030 推导:由f(x)的图象关于点(a.0)和点(b.0)对称,得f(x)+f(2a-x)=0.f(x)+f(2b-x)=0 '.f$2a-x)=f(2b-).令 =2a-x.则x=2a-t.'fft)=f2 b-(2a-t)]=/t+ b-2 a ]. :.f(x)=/[x+(2b-2a)],故T=21b-al. 册11 (3)f(x)的图象关于直线x=a对称,且关于点(b,0)(a≠b)对称→T=41b-al. 推导:由/f(x)的图象关于直线x=a对称,且关于点(b,0)对称,得f(x)=f(2a-x),f(x)+f(2b-x) 0...f(2a-x)=-f(2b-x). 阁句即扭 令 =2a-x.则x=2a-t$f(t)=-f{ b-(2a-t)]=-f(2b-2a)],.ffx+2b-2a)]=-$(x) '. fx+(4b-4a)]=/[(x+2b-2a)+(2b-2a)]=-f(x+2b-2a)=-[-f(x)]=f(x),故T=4lb-l. (4)/(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称→T=2lal. (5)f(x)是偶函数,其图象关于点(a.0)对称→T=4lal. (6)/(x)是奇函数,其图象关于直线x三a对称→T=4lal. (7)f(x)是奇函数.其图象关于点(a.0)对称→T=2lal. 思考辨析 判断下列问题,正确的打“”,错误的打“×” 1.函数v=f(x),xER,若f(1)<f(2),则f(x)为增函数 _____ 2.【BJA版·必修第一册·P85·2改编】函数=x2-1.xE(0.+x)是偶函数 3.闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到 4.偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点 5.函数f(x)在定义域上满足f(x+h)三-f(x),则f(x)是周期为2h的周期函数 _ 快提升 · 练典例 >>答案链接P06 考点一 函数单调性或单调区间的判定 示通法 研究函数单调性的方法 (1)定义法:①设元→②作差→③变形→④判断符号→得出结论. (2)图象法:从左向右,图象上升即为增函数,图象下降即为减函数, (3)直接法:一次、二次、反比例函数的单调性可直接利用已知结论得出. (4)导数法:先求导数,然后利用导数值的正负确定函数的单调性. (5)性质法:①增+增=增;②减+减=减;③增一减=增;④减一增=减;若两个函数都恒大于零,则①增x 增=增:②减x减=减:③增+减=增:④减+增=减 (6)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性 (7)当a>0时,f(x)与af(x)具有相同的单调性;当a<0时,f(x)与af(x)具有相反的单调性 (9)当f(x)非负时,f(x)与f(x)具有相同的单调性 031 典例1下列函数中,满足“x,(0,+)且x,≠x,(x-)·[f(x)-f(x)]<0”的是( ①性·丹数抖 _ A./(x)=vx+1 B$/(x)=2x-1 D.f(x)- C.f(x)=1-x2+2x+21 变式题 x-1 典例2函数y=x2+x-6的单调递增区间为 ,单调递减区间为 【点拨】根据复合函数的单调性规律求解 考点二 函数单调性的应用 考向 利用函数的单调性求参数 示通法 利用单调性求参数的方法技巧 (1)根据函数的单调性,构建参数满足的方程(组)或不等式(组)求解 (2)如果易得到函数的单调性,可结合图象求解, (3)对于分段函数,要注意衔接点的取值。 例3【2023·新高考I·4】设函数/(x)=2(*-*)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围 是( ) A.(-x,-2] B.[-2,0) C.(0.2] D.[2,+) 考向2 利用函数的单调性比较大小 示通法 自变量的值不在同一个单调区间内,要利用函数的性质,转化到同一个单调区间内比较(选填题可用 图象法求解). 4032 例4已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x>x>1时,[(x)-f(xi)](x-x)<0恒成立, 设=ff-1),b=f(2),c=ffe)(其中e=2.71828..),则( __~ B.b>c>a C.b>a>c A.c>a>b D.c>b>a 抽11 【点拨】利用函数图象的对称性和单调性,将一1.2.e转化到同一单调区间内求解 考向3 利用函数的单调性解不等式 阁句即扭 示通法 利用函数单调性的性质,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再根据函数的单调性得到g(x)> h(x)(或g(x)<h(x))求解.此时要特别注意定义域. 典例5已知函数/(x)= 求满足f(2x+1)<f(3x-2)的实数x的取值范围 -1x<1. 变式题 f(x)是定义在(0.+x)上的单调递增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y).f(3)=1.则不等式 f(x)+f(x-8)<2的解集为 【点拨】利用题目条件将不等式转化为两个函数值比大小,再结合函数的单调性求解即可. 考点三 求函数最值或利用函数的最值求参数 示通法 求函数最值的方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值 (2)图象法:作出函数的图象→观察其最高(低)点→求出最值 (3)基本不等式法:先对解析式变形(满足“一正、二定、三相等”),再求最值. (4)导数法:求导→求出在给定区间上的极值→结合端点值,求出最值. (5)换元法:对于较复杂的函数,可先换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值 (6)分段函数的最值:先求出每段的最值,再取最大(小)的值即可 注意:求函数最值时,应先确定函数的定义域 033 性·丹数析 (-ax+1,x<a, 【2022·北京·14】设函数f(x)= 若f(x)存在最小值,则a的一个取值 ((x-2)②,x>a. 为 ;a的最大值为 【点拨】由条件可知分段函数图象由一条直线的一部分和一个抛物线的一部分组成,a的值会影响分段函数 图象的走势,故根据a的大小分类讨论 考点四 函数奇偶性的判定 示通法 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:①求定义域,看是否关于原点对称,若否,则为非奇非偶函数;若是,则判断f(x)与f(x) 的关系.②若f(x)=f(-x),则为偶函数;若f(x)=-f(-x),则为奇函数;若f(x)=f(-x),则为既奇又 偶函数;若f(x)/(一x),则为非奇非偶函数。 (2)图象法:函数为奇(偶)函数函数图象关于原点(v轴)对称 (3)性质法:奇+奇=奇;偶+偶=偶:奇x(一)奇=偶:偶x(一)偶=偶:奇x(一)偶三奇(选填题可用) (4)分段函数奇偶性的判断:利用定义,判定对称区间是否满足条件 (5)复合函数奇偶性的判断:同奇为奇,有偶则偶(选填题可用). 典例7下列判断不正确的是( _ A.f(x)三x(x2+1)是奇函数 B.f(x)=11-x1-11+x1是奇函数 D./(x)不具有奇偶性 C.f(x)=11-x1+11+x1是偶函数 21 考点五 函数奇偶性的应用 考向1 利用函数的奇偶性求函数值 示通法 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反 数:偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,且取最值时的自变量互为相反数 (2)若f(x)=g(x)+k,其中g(x)为奇函数,k为常数,则f(-a)=-f(a)+2k,f(a)+f(-a)=2 k 典例8定义在R上的奇函数/(x),当x>0时)(x)=x*-4x+2,则/(-3)( ) C.1 A.-1 B.0 D.2 考向2 利用函数的奇偶性求函数解析式 示通法 利用函数奇偶性求分段函数解析式的步骤 (1)设出所求区间上的任意x (2)将所求区间内的x转化到已知区间内 (3)利用函数奇偶性的定义得出所求区间上的解析式. 1034 例9已知函数/(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时f(x)=2x(x+4),则函数/(x)在R上的解 析式为 (变式题 设函数f(x)与g(x)的定义域是xERlx≠+1,函数f(x)是一个偶函数,g(x)是一个奇函 册1| 一,则/(x)=( ~ 2 22 D 阁句即扭 B. 2-1 2-1 考向3 利用函数的奇偶性求参数 示通法 (1)利用“f(x)为奇函数f(一x)=-f(x),f(x)为偶函数 (-x)=f(x)”列式求解,也可利用特殊值法 求解。 (2)对于定义在R上的奇函数f(x),可考虑利用性质f(0)=0求解,但需要注意将参数值代入到已知 函数解析式进行检验. 例10【2021·新高考I·13】已知函数/(x)=x(a·2-2*)是偶函数,则a= 考点六 函数单调性与奇偶性的综合应用 考向利用函数的单调性与奇偶性比较大小 示通法 利用奇(偶)函数的图象特征或在对称区间上的单调性一致(相反),转化到同一单调区间上比 较大小. 例11已知奇函数/(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log.5.1),b=g(2**),c=g(3),则 a.b.c的大小关系为 一 C. b<a<c B.cba A.a<b<c D.bc<a 考向2 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 示通法 (1)对于抽象函数不等式的求解,需变为f(x.)>f(x)的形式,再结合单调性,去掉“f”转化为常规不 等式x(或xx)求解. (2)为避免出现错误以及分类讨论,可利用偶函数的性质f(x)=f(1xl),将问题转化为偶函数在 [0.+x)上的单调性求解 例12函数/(x)在R上单调递减,且为奇函数,若/(1)=-1.则满足-1</(x-2)<1的x的取值 范围是( ~ B.[-1,1] C.[0,4] A.[-2,2] D.[1,3] 【点拨】由函数f(x)为奇函数,且-1=f(1),可知1=一f(1)=f(一1),从而将不等式转化为函数值比大小的 形式. 035 变式题 已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2.+x)上单调递减.则不等式 ·丹 f(lnx)</f(1)的解集是( _~ A.(0.1)U(3.+x) B.(1,3) C.(0.e)U(e.+2) D.(e.e) 考点七 函数图象的对称性 示通法 (1)若函数/f(x),g(x)的图象均关于直线x=a对称,则f(x),g(x)图象的交点也关于直线x=a对称. 且对称的两个交点的横坐标之和为2a (2)若函数f(x),g(x)的图象均关于点(a.b)对称,则f(x),g(x)图象的交点也关于点(a.b)对称,且 对称的两个交点的横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b 典例13已知函数y=/(x)-2为奇函数,g(x)=2 2r1 ,且/(x)与g(x)图象的交点为(x.,y),(x. y),...,(x,y。),求yty+...y。的值 考点八 函数周期性的应用 考向1 利用函数的周期性求函数值 示通法 利用函数的周期性,可将其他区间上的求值问题转化到已知区间上求解 典例14已知函数f(x)= (/(x-4),二0. 则/(99)=( __ 3<0. B.9 D C.3 4036 1册 考向2 利用函数的周期性求零点个数 示通法 利用函数的周期性,可将其他区间上的求零点个数问题,转化到已知区间上求解 册11 例15已知函数y=f(x)(xER)满足f(x+2)=f(x),且xe(-1,1]时f(x)=x2,则y=f(x)-log lxl ) 的零点个数为( 阁句如扭 A.8 B.6 C.4 D.2 【点拨】利用周期性作出函数/(x)的图象,数形结合解决问题 考点九 函数性质的综合应用 示通法 (1)函数性质的综合问题,常用奇偶性与周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式 的函数定义域内求解 (2)函数f(x)满足的关系f(a+x)=+f(b一x)表明的是函数图象的对称性,函数/f(x)满足的关系f(a x)=f(b+x)(a*b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆 典例16(多选)已知函数/(x)(xeR)是偶函数,当x>0时f(x)=x2}-2x,则( 二_ A.f(x)的最小值为一1 B./(x)在(-2.0)上单调递减 C.f(x)三0的解集为[-2.2] D.存在实数x满足f(x+2)+f(-x)=0 变式题(多选)已知函数/f(x)对任意xeR都有f(x+2)=-f(x),若函数y=f(x-1)的图象关于直 线x=1对称,且/(-2)=0.则下列结论正确的是( ) A./(x)是偶函数 B./(2022)=0 C./(x)的图象关于(1.0)对称 D.f(-2)>f(-1) 037D回归课 (3)x>0.∴，0<y= 2x。2≤名=1，当且仅当x=1时取 x2+1 2 变式题号【解析小：1日)-2}士当分 x+ a<1,即a2时4)》分)=2x3-a=1-如 高中数学 等号，故y= 的值城为(0,1： x2+1 sin x+2 4解得a=-1.与0>矛盾，含去：当)0≥1，即a≤ (4)y= 表示点(cosx,sinx)与点(2，-2)连线的斜率， c0%x-2 ,(cos,sinx)的轨迹为圆x3+y2=1. 时日》行-2产=4.则 -a=2,即a= ,y= m+2表示圆+y=1上的点与点(2，-2)连线的 cos -2 斜率 典例12BD【解析】由“[a,6]交汇函数"的定义可知，“[0， 由图象（如图2所示）可知，过点(2，-2)作圆x+y2=1的切 1]交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为[0,1] 线，斜率必然存在，则设过点(2，-2)的圆x2+2=1的切线方 对于A,y=G的定义域为[0，+).值域为[0，*)，二者的 程为y+2=(x-2).即-y2k-2=0. 交集为[0，+x),故A错误： 六圆心(0.0)到切线的距离d=-2-2=1.解得k=4女7 对于B,y=√1-x的定义域为(-，1]，值域为[0，+)，二者 R+1 3 的交集为[0,1].放B正确： 结合图象可知，圆x2+与y2=1上的点与点(2，-2)连线的斜率的 对于C,y=1-x2的定义域为R,值域为(-，1门，二者的交集 取值范围为 cos t-2 的值域为 为(-，1门，故C错误： 对于Dy=√1-x的定义域为[-1,1]，值域为[0,1]，二者的 47] 交集为[0,1门，故D正确.故选BD. 3.2函数的基本性质 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①<②>③≤④≥⑤-fx)⑥x)⑦中心 ⑧原点⑨轴Dy轴①/rx+T)=代x）2最小正数 三、思考辨析 图2 1.×2.×3.V4.×5.V 典例9D【解析】因为(1)=2×12-1=1，所以f(1)= 【快提升·练典例】 f1)=2×12-1=1.故选D. 典例1D【解析】由(x,-2)·[f(x,)-f(x)门<0可知， 典例10【解】当a≤1时八a)=2"-2=-3,无解：当a>1时， (x)在(0，+x)上是减函数. 由f代a)=-log,(a+1)=-3,得a+1=8,解得a=7.所以f(6- 选项A,B中，八x)为增函数：选项C中，由图象可知(x)= o-0=2-2= 1-+2x+21在(0，+云)上不单调：选项D中，因为y=与 典例11D【解析】当x≤0时，函数f代x)=2是减函数，则 y=-x在(0，+)上单调递减，因此八x)在(0，+云)上是减函 爪x)≥0)=1.作出八x)的大致图象，如图所示.结合图象可 数.故选D x+1<0, x+1≥0， 知，要使fx+1)<f(2x),则需2<0，或 .x<0.故 7 2xc0. 2x<x+1 6 选D. 3 2 2124567 变式题【解】方法一（定义法）：设-1<x,<<1,f(x)= 406 典例60（答案不雌一）1【解析】①若a=0,f(x)= 1,x<0, a(-x,） .八x)）=0月 案及详解 (x-2)2.x≥0， ②若a<0,当x<a时，f八x)=-r+1单调递增，当x+-x时， 因为-1<x,<<1, 八x)→-x,故八x)没有最小值，不符合题目要求： 所以2-x,>0,南1-1<0，-1<0， ③若a>0,当x<a时八x)=-ax+1单调递减.八x)>-a'+1:当 故当a>0时，f八，)-f八）>0，即f(x)>x),函数f(x)在 0.0<a<2. (-,1)上单调递减： x≥a时f(x）in= -a2+1≥0或-a2+1≥(a- (a-2)2,a≥2， 当a<0时x,)-八x)<0,即x)),函数八x)在(-1， 2)2,解得0<a≤1. 1)上单调递增。 综上，实数a的取值范围为[0,1门. 综上所述，当a>0时，函数f八x)在(-1,1)上单调递减：当a<0 典例7D【解析】y=x是奇函数，y=x+1是偶函数，根据函 时，函数八x)在(-1,1)上单调递增. 数奇偶性的性质可知A正确，D错误： 方法二（导数法）：f'(x)=a(x-1)-a. -d (x-1)2(x-1)2 函数f代x)=1I-x|-1+x的定义域为R,关于原点对称，且 所以当a>0时f'(x)<0:当a<0时f‘(x)>0. 八-x)=1+x-11-x1=-x),所以函数f(x)=11-x1-11+x 为奇函数，故B正确： 所以当>0时(x)在(-1,1)上单调递减： 当a<0时，八x)在(-1.1)上单调递增. 函数f爪x)=11-x+11+x的定义域为R,关于原点对称，且 典例2[2，+）(-第，-3]【解析】令“=x+x-6,则y= 八-x)=11+x1+1-x=f八x),所以函数八x)=1-x+11+x1为 偶函数，故C正确.故选D. √？+r-6是由y=m与u=x2+x-6复合而成的函数， 典例8C【解析】因为八x)是定义在R上的奇函数，当>0 令u=x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2. 时x)=x2-4x+2,所以f(-3)=-f(3)=-9+12-2=1.故 易知u=x2+x-6在(-x,-3]上单调递减，在[2，+∞）上单调 选C 递增，且y=a在[0，+)上是增函数， (2x(x+4),x0. 所以y=√+x-6的单调递增区间为[2，+)，单调递减区 典例9()= 【解析】当x<0时，-x>0,故 (2x(￥-4)，<0 间为(-，-3 f-x)=-2x(-x+4)=2x(x-4),所以f尺x)=f八-x)=2x(x-4), 典例3D【解析】函数y=2在R上单调递增，而函数八x)= （2x(x+4).x≥0. 2在区间(0,1)上单调递减，则有函数y=x(x-a)= 所以爪x)= (2x(x-4).x<0. (-等在区间(0.上单调适减，因此号≥1，解得a≥ 变式题A【解析】因为函数八x)是一个偶函数，g(x)是一个 奇函数，所以f-x)=八x),g(-x)=-g(x入， 2,所以a的取值范围是[2，+)，故选D. 典例4B【解析】因为当x2>x,>1时，[(x2)-f(x,)](x 因为x)g(x)=①. x-1 x,)<0恒成立，所以函数f(x)在(1，+)上单调递减.又函数 八x)的图象关于直线x=1对称，所以代-1)=3). 所e)ge-0s-2 因为1<2<e<3,所以f(2)>f(e)>f(3),即f(2)>f(e)> ①+②得2)=1+1=2 故选A 八-1)，所以b>c>a.放选B. 11所以)=1 x2-1 典例5【解】由函数爪x)可知，当x<1时八x)=-1: 典例101【解析】方法一（定义法）：因为f(x)=x'(a·2- 当x≥1时，函数八x)在[1，+)上单调递增，且八1)=-1， 2)的定义域为R,且是偶函数， 要使得2x+1）s3x-2),则2+1<3-2 所以f-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(-x)'(a· 解得x>3,即不等 (3x-2>1. 2'-2")=x'(a·2-2)对任意的x∈R恒成立，所以x'(a 式八2x+1)<八3x-2)的解集为(3，+x). 1)(2+2)=0对任意的x∈R恒成立，所以a=1. 变式题(8.9【解析】：2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),∴由 方法二（取特殊值检验法）：因为代x)=x(4·2-2)的定义 f代x)+fx-8)≤2可得f几x(x-8)]≤f9). 域为R,且是偶函数， x>0. ·f八x)是定义在(0，+)上的单调递增函数， x-8>0, 所以-)=).所以-（分2=2a解得a=1,经检 x(x-8)≤9. 验代x)=x'(2-2)为偶函数，所以a=1. 解得8<≤9.所以不等式的解集为(8,9]. 方法三（转化法）：由题意知(x)=x(a·2-2)的定义域为 07