3.1 函数的概念及其表示-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

回归课本 第三章 高中数学 函数的概念与性质 真题溯源 考点 教材原型 真题再现 求函数的 【UA版·必修第一册·P67·1】 【2022·北京·11】 定义域 求下列函数的定义域： 函数f(x)=1+的定义域 (1)(x)= 1 4x+7 是 (2)f八x)=√1-x+x+3-1. 利用函数 【UA版·必修第一册·P100·4】 【2024·新高考I·6】 的单调性 已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上 -x2-2ax-a,x<0, 在R 求参数 已知函数f(x)= 具有单调性，求实数k的取值范围。 e+ln(x+1),x≥0 上单调递增，则a的取值范围是( A.(-0,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+o) 4020 3.1函数的概念及其表示 必修第 册 研课本·划重点 >>答案链接P05 第 知识梳理 三章 函数的 三要素 ① ② 闭区间：④ 函数的概念与性 函数的概念及其表 开区间：⑤ 区间 左闭右开区间：⑥ 左开右闭区间：⑦ 函数的表 示方法 8 、 分段函数：先分段研究，再整体研说 特殊 函数 复合函数：由内到外逐层研究 抽象函数：具体研究 思考辨析 判断下列问题，正确的打“√”，错误的打“×”。 1.函数y=(x)的图象可以是一条封闭曲线。 2.两个函数的定义域和值域相同的充要条件是这两个函数为同一个函数 3.【RUA版·必修第一册·P66·例3改编】y=2x°与y=2是同一个函数 1,x>0. 4.函数f(x)= 的定义域为R x2,x≤0 5.对于函数f:A→B,其值域是集合B 快提升 。练典例 >答案链接P05 考点一 函数概念的辨析 ?示通法 函数概念辨析的两种题型 (I)判定能否构成函数：确定是否非空数集A中的任何一个元素，在数集B中有唯一元素与之对应， 即可“多对一”或“一对一”，不能“一对多”.对B中有无元素与A中元素不对应不做要求. (2)判断两个函数是否相同：确定定义域与对应关系是否都相同. 021 回归课 典例1集合A=x-1≤x≤2，B=x10≤x≤31，下列表示从A到B的函数的是() A.f:x→y,y=E B.f:xy,y=√2-x 中数学 C.f:x→y,y=lxl D.f:x-y,y=x 变式题下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是() 14 典例2（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是( A.f(x)=R,g(x)=(E)2 B.x)=(r2+ -.g(x)=x x2+1 x,x≥0 C.f八x)= g(t)=I川 -x,x<0 Dfx)=x+1,gx)=-1 x-1 【点拨】先判断定义域是否相同，再看对应法则是否一致 考点二函数的定义域及其应用 考向1 求具体函数的定义域 9示通法 求具体函数的定义城时，列不等式的主要依据 (1)分式中，分母不为0 (2)偶次方根中，被开方数为非负数. (3)指数函数的底数大于0且不等于1. (4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1. (5)f(x)=x°中，x≠0. (6)正切函数x)=anx中，≠km+受ke乙 注意：若定义域不连续，用区间表示时，用并集符号“U”连接。 典圆3【2022·北京1】函数x)=+的定义域是 4022 考向2求抽象函数的定义域 9示通法 必修第一册 (1)若函数f(x),x∈[a,b),则函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)<b求出. (2)若函数f(g(x)),x∈[a,b),则f八x)的定义域为g(x)在x∈[a,b)上的值域. 第三章 典例4若函数f代x)的定义域为[0,2]，求函数f(x-1)的定义域 函数的概念与性质 变式题1将本例改成“若函数(x-1)的定义域为[1,3]”，求函数f八x)的定义域 变式题2将本例改成“若函数爪x+1)的定义域为[0,2]”，求函数八x-的定义域 x-2 023》 回归课本 考向3已知函数的定义域求参数 示通法 高中数学 已知函数的定义域求参数，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后 求参数. )的定义城为R=)≠0恒虎立 (1)1 (2)fx)的定义域为R一fx)≥0恒成立. (3)log.f八x)(a>0,且a≠1)的定义域为Rf(x)>0恒成立. 典例5若函数f代x)=√am2+abr+b的定义域为xl1≤x≤2，求a+b的值. 【点拨】由函数的定义域可得不等式ax2+abr+b≥0的解集，进而求解 考点三求函数的解析式 9示通法 求函数解析式的方法 (1)配凑法：已知f代g(x)=F(x),先用g(x)表示F(x),再以x替代g(x),即可得f八x)的表达式 (2)待定系数法：已知类型的函数（如反比例函数，一、二次函数等）可用待定系数法。 (3)换元法：已知复合函数f八g(x))的解析式，可用换元法，换元后需要注意新元的取值范围 (4)方程组法：关于)与/日或-)等的表达式，可构造等式通过解方程组求出) 典例6已知二次函数f代2x+1)=4x2-6r+5,求fx). 4024 奥例7已知fx)满足2(x)+f(-x)=3x,求f代x)的解析式。 必修第 册 第 概念与 质 考点四求函数的值域 9示通法 求函数值域的一般方法 (1)配方法：若函数是二次型函数，则可用配方法求值城。 (2)单调性法：先判断函数的单调性，然后利用单调性求得函数的最值，从而得到值域 (3)分离常数法：的(m0,且ad)至数，可先分离宿数y=6“,kd ex+d cex 然后再求 d 值域 (4)换元法：对于较复杂的函数解析式，用换元法将某部分整体代换，转化为较直观的函数解析式求 解，注意换元后新元的取值范围. b (5)基本不等式法：y=x+。(ab>0)型函数，可用基本不等式法求值域，需要注意条件“一正、二定、三 相等” (6)判别式法：y=ar+(ap至少有一个不为0)型面数，去分母后解析式可化为关于x的一元三 px+qx+r 次方程，通过方程有实根，即判别式4≥0，求出y的取值范围，即为值域。 (⑦)数形结合法：函数解析式的儿何意义较明显，如y=可看作两点(x1),(6,)之间连线的 x1-x2 斜率，y=√（x-x)++√(x-2)+可看作点(x,0)到点(x出)，(x)的距离之和 (8)导数法：可先利用导数判断函数的单调性，得到极值和最值的情况，从而求得值域 025 回归课 典例8求下列函数的值域： (1)y= 高中数学 (2)y=2-:(3)y=2（>0:4y=m+3 2x+1 x2+1 cos x-2 考点五分段函数及其应用 考向1分段函数求值 9示通法 解决分段函数求值问题的方法技巧 (1)“分段归类”：确定所求值的所属区间→代入区间对应的解析式计算 (2)“从内到外”：当出现(f(a))的形式时，可从内到外依次求值. (3)“分类讨论”：当自变量的值所在区间不定时，要参照函数不同段的端点分类讨论 典例9【UA版·必修第一册·P101·7改编】已知函数代x)= x-2>2, 则ff1)=() 2x2-1,x≤2， B.24 C.4 D.1 考向2求分段函数中自变量（参数）的值 9示通法 解决此类问题时，先在函数的各段上分别求解，再将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围 求交集，最后将各段的结果合起来（取并集）即可 典例10已知函数f代x)= 2-2,x≤1， 且f(a)=-3,求f(6-a)的值 -l0g2(x+1),x>1, 【点拨】按a≤1和a>1分类讨论 4026 考向3分段函数与方程、不等式问题 必修第 示通法 册 解由分段函数构成的方程、不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间分类讨论.如果分段函数的 第 图象容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解 章 典例11设函数f(x)= 2,x≤0， 则满足f代x+1)<f(2x)的x的取值范围是() 1,x>0. A.(-,-1] B.(0,+0) 函数的概念与性 C.(-1.0) D.(-0,0) 【点拨】作出函数代x)的图象，数形结合解决问题 变式题设函数f代x)= 2-若f4》 =4,则a= 2,x≥1. 考点六函数的新定义问题 9示通法 函数新定义问题的解题思路 (1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、性质或满足的条件， (2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来 (3)特值思想：若函数的某一性质对某些数值恒成立，则通过合理赋值解决问题 典例12（多选）若某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下 列函数是“[0,1]交汇函数”的是() A.y=x B.y=√/1-x C.y=I-x2 D.y=V1-x2 0275400.5 变式题2【解】：f代x+1)的定义域为[0,2]， x3. 0≤x≤2,1≤x+1≤3，f(x)的定义域为[1,3].对 答案及详 因为50≤x≤100，所以y= 54005 0+2x≥2x 3* 八x-1)1≤x-1≤3， 有 解得2<x≤4， x-2 x-2≠0】 0而，当且仅当30多，即=18v057时.等号 ,八=D的定义城为(2,4]. x-2 成立， 典例5【解】？函数f八x)=√ax+alhr+b的定义域为x11≤ 所以为了使从城市A到城市B行车的总费用最少，最经济的 x≤2∴.不等式a2+ax+b≥0的解集为1x11≤x≤21.可知 车速是57km/h. a<0.不等式化为(x-1)(x-2)≥0，即2-3ar+2a≥0. 第三章 函数的概念与性质 1b=-3. -3a=ab. 9 解得 3.a+b=- 3.1函数的概念及其表示 2a=b. a=- 2 2· 【研课本·划重点】 典例6【解】方法一（待定系数法）：因为八x)是二次函数， 一、知识梳理 所以设fx)=ar+br+c(a≠0)， ①定义域②对应关系③值城④[a.b]⑤(a,b) 则f2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4a2+(4a+2b)x+a+ ⑥[a,b)⑦(a,b】⑧列表法⑨图象法0解析法 b+c. 二、思考辨析 因为f2x+1)=4x2-6r+5, 1.×2.×3.×4.V5.× 4a=4. [a=1, 【快提升·练典例] 所以{4a+2弘=-6，解得{b=-5, a+b+e=5. c=9, 典例1B【解析】取x=-1,√可无意义，A错误； 所以fx)=x2-5x+9(x∈R). 取x=2,则y=|x=2,y=x=2,2B,故C,D错误，B正确.故 选B 方法二（换元法）：令2+1=1eR),则x= 2 变式题C【解析】根据函数的定义，对任意的x,y都有唯一 的值与之对应.只有C不满足，故选C 所以=4}-6分5-9eR 典例2BC【解析】对于A,函数(x)=√？的定义域为R, 所以f代x)=x2-5x+9(x∈R). 函数g(x)=(x)'的定义域为[0，+x),则(x)与g(x)不是 方法三（配凑法）：因为八2x+1)=4x°-6x+5=(2r+1)-10x+ 4=(2x+1)2-5(2x+1)+9. 同一个函数，故A错误： 所以fx)=x2-5x+9(xeR) 对于B,函数=(4》=的定义城为R,函数gx) x2+1 典例7【解】因为2x)+/-x)=3x① x的定义域为R,定义域相同，对应法则相同，所以是同一个 所以将x用-x替换，得2-x)x)=-3x②， 由①2解得f代x)=3x 函数，故B正确： 对于C,函数八x)=1x与g()=川是同一个函数，故C正确： 典例8【解1(1)y-22-3+7-2+ x-3x-3 3显然7 3*0. 对于D,函数)=x+1的定义城为R,函数g(x)=一的定 .y≠2.故函数的值域为(-%，2)U(2,+0). x-1 义域为xx≠1|，则八x)与g(x)不是同一个函数.故D错 (2)设1=x-1,则x=2+1(t≥0)， 误，故选BC y=20-42}°5 典例3(-，0)U(0.1月【解析)因为x)=上+x,所 由≥0，再结合函数的图象（如图1所示），可得函数的值域 以/会0， 解得x≤1且x0,故函数的定义域为(-，0)U 为[ (x≠0. y=22+1)- (0,1]. 典例4【解】：f(x)的定义域为[0.2]，.0≤x-1≤2，即1≤ 2 x≤3∴函数八x-1)的定义域为[1,3] 变式题1【解]小f(x-1)的定义域为[1,3]，1≤x≤3，即 01234 0≤x-1≤2，.函数fx)的定义城为[0,2]. 图1 05 回归课 (3)x>0.∴，0<y= 2x。2≤名=1，当且仅当x=1时取 x2+1 2 变式题号【解析小：1日)-2}士当分 x+ a<1,即a2时4)》分)=2x3-a=1-如 高中数学 等号，故y= 的值城为(0,1： x2+1 sin x+2 4解得a=-1.与0>矛盾，含去：当)0≥1，即a≤ (4)y= 表示点(cosx,sinx)与点(2，-2)连线的斜率， c0%x-2 ,(cos,sinx)的轨迹为圆x3+y2=1. 时日》行-2产=4.则 -a=2,即a= ,y= m+2表示圆+y=1上的点与点(2，-2)连线的 cos -2 斜率 典例12BD【解析】由“[a,6]交汇函数"的定义可知，“[0， 由图象（如图2所示）可知，过点(2，-2)作圆x+y2=1的切 1]交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为[0,1] 线，斜率必然存在，则设过点(2，-2)的圆x2+2=1的切线方 对于A,y=G的定义域为[0，+).值域为[0，*)，二者的 程为y+2=(x-2).即-y2k-2=0. 交集为[0，+x),故A错误： 六圆心(0.0)到切线的距离d=-2-2=1.解得k=4女7 对于B,y=√1-x的定义域为(-，1]，值域为[0，+)，二者 R+1 3 的交集为[0,1].放B正确： 结合图象可知，圆x2+与y2=1上的点与点(2，-2)连线的斜率的 对于C,y=1-x2的定义域为R,值域为(-，1门，二者的交集 取值范围为 cos t-2 的值域为 为(-，1门，故C错误： 对于Dy=√1-x的定义域为[-1,1]，值域为[0,1]，二者的 47] 交集为[0,1门，故D正确.故选BD. 3.2函数的基本性质 【研课本·划重点】 一、知识梳理 ①<②>③≤④≥⑤-fx)⑥x)⑦中心 ⑧原点⑨轴Dy轴①/rx+T)=代x）2最小正数 三、思考辨析 图2 1.×2.×3.V4.×5.V 典例9D【解析】因为(1)=2×12-1=1，所以f(1)= 【快提升·练典例】 f1)=2×12-1=1.故选D. 典例1D【解析】由(x,-2)·[f(x,)-f(x)门<0可知， 典例10【解】当a≤1时八a)=2"-2=-3,无解：当a>1时， (x)在(0，+x)上是减函数. 由f代a)=-log,(a+1)=-3,得a+1=8,解得a=7.所以f(6- 选项A,B中，八x)为增函数：选项C中，由图象可知(x)= o-0=2-2= 1-+2x+21在(0，+云)上不单调：选项D中，因为y=与 典例11D【解析】当x≤0时，函数f代x)=2是减函数，则 y=-x在(0，+)上单调递减，因此八x)在(0，+云)上是减函 爪x)≥0)=1.作出八x)的大致图象，如图所示.结合图象可 数.故选D x+1<0, x+1≥0， 知，要使fx+1)<f(2x),则需2<0，或 .x<0.故 7 2xc0. 2x<x+1 6 选D. 3 2 2124567 变式题【解】方法一（定义法）：设-1<x,<<1,f(x)= 406