2.2 基本不等式-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

回归课本 2.2基本不等式 高中数学 研课本·划重点 >>答案链接P04 知识梳理 定义： 若a0,b>0,则，画①—史当l仅当②—时，等号成立 基本不 条件：一止(>0，b>0),定（③定或和定，三相等(=b时取等号力） 等式 证明：代数法与几何法（半径与半弦长的关系） 基本不等式及其应用 变形：t+b≥2ab(a,b∈R): 号≥2ab>0:abia.bER 比大小证明不等式 直接 积定和最小：若ab=M,则a=b时，(a+b)=④ 减用 和定积最大：若a+b=V,则a=b时、(ab)=⑤ 求最值 正、二定的配凑 应用 变形 城用 “1”的代换 中题：认真中题，弄清题意，设出变量 解决实 生模：依题意生立数模型，将实际问题转化为函数的最值问画 际问题 求解：寻求积定或和定，利州基木不等式求最值 验证：验证取等条件是否成立 作答：给出结论 常用结论 1.基本不等式链 2 a +b 11 2 2a,6∈(0，+5)，其中，2，为周和平均数，/b为几何平均数，2为算 a b a b 术平均数， a2+b2 2”为平方平均数，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 推导：已知a,b∈(0，+∞)， 先证，2，≤：要证，2，≤6成立，需证2 11 11 ≤√ab成立，需证2a品≤a+h成立，而a+b-2a品= a b a b (a-6)'≥0恒成立，当且仅当a=6时，等号成立，所以，2，≤a品成立 11 a b 再证a≤”：要证，仙≤0 2成立，即2d≤a+b,而a+b-2a=(a-)'≥0恒成立，当且仅 当a=b时，等号成立，所以ab≤+。 2成立 4016 最后证？+也。 2≤2 22 4 心+6-2b_（a-6)'≥0.当且仅当a=h时，等号成立，所以6≤ ≤ 成立 第 4 4 22 章 2 综上1 ≤瓜≤a,6e(0,,当且仅当6时，等号成立 a +b2 2 一十 a b 2.柯西不等式 一次函 （0)二维形式：若a,6c,4均为实数，则(d+)(2+f)≥(ac+hd,当且仅当-号或a=6=0或 c=d=0时.等号成立 和不等式 推导：设函数f代x)=(ax+c)2+(bx+d)2=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2), 显然f(x)≥0，即(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+)≥0恒成立，所以4=4(ac+bd)2-4(a+b2)(c2+)≤ 0,整理得(ac+hbd)2≤(a+6)(c2+dP),当且仅当=或a=b=0或c=d=0时，等号成立. c d (2)三维形式：若a,bc,d,ef均为实数，则(a+62+e)(d+e2+f)≥(ad+bc+g,当且仅当号-b d e 二或a=b=c=0或d=e=f=0时，等号成立. 推导：设向量m=(a,b,c),n=(d,e,f),两向量的夹角为0，则m·n=lml·Inlcos,即ad+be+gf= √a+b+e·+e+f·cos0.因为1cos01≤1，所以1ad+be+gf1≤a2+b+c·√+e+f,即 a+be+o02≤(a+b+c)(f+e+f'),当且仅当=。=或a=b=e=0或d=e=0时，等男 成立 目思考辨析 判断下列问题，正确的打“√”，错误的打“×”. 1不等式0+6≥2d与≥，品成立的条件是相铜的 2.飞+’≥2成立的充要条件是>0且y>0. y x 3.a2+b≥21al1bl. 4.若xeR,则x+二≥2. 017 回归课本 快提升·练典例 >>答案链接P04 高 考点一利用基本不等式比较大小 警 ?示通法 利用基本不等式比较大小时，要牢记基本不等式链，也可适当使用特值法 典例1设0<a<b,则下列不等式成立的是( a+b A./ab ca<b a+b B.a<2</ab<b C./ab <a<2 a+b <b D.a</absa -<b 2 点拔】观察四个选项，会发现本题的目的是比较口，6“，，√的大小利用基本不等式及不等式的性质求 解即可 考点二利用基本不等式求最值 9示通法 在利用基本不等式求最值时，要保证“一正、二定、三相等”三个条件均满足，在“定”不满足时，可以通 过添项、拆项、变系数、凑因子等方法来构造出和或积为定值.常用方法如下： （1)添项法：适用形式是x=de+cc(a,bc,d均不为0，c与d同号. ax+b ax+b cx+ aa (2)裂项法：适用形式是m+br+ B dxte (a,d,e均不为0)，令t=dr+e,则原式可以转化为A1++C(A,B同 号)的形式 (3)1"的代换法：适用形式是已知ax+hy=c(a,b,c为大于0的常数，>0，y>0),求+(d>0e>0) 的最小雀，er6g经1→兰任引g）ac中) cc 奥例2根据已知条件，求下列代数式的最值： (1)已知1，求+4的最小值： x-1 (2)若0<r<2求x(1-2x)的最大值： (3)求+3的最小值： x+1 (4)若x,y∈(0，+∞)且4x+y-xy=0,求x+y的最小值； 4018 (5)若x,y∈(0，+∞)且x+y-y+3=0,求x+y的最小值 必修第 第 章 一次函数 方 和不等 典例3【2022·新高考Ⅱ·12】（多选）若x,y满足x2+y2-y=1,则( A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 【点拨】观察四个选项可知，本题的目标就是求x+y与x+y的取值范国，利用基本不等式求解即可，注意取 等号的条件 考点三基本不等式的实际应用 9示通法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)仔细阅读题目，理解题意； (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量表示为关 于未知数的函数： (3)应用基本不等式求出函数的最值： (4)还原实际间题，作答 对于实际问题一定要注意变量的取值范围. 典例4在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角 三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为22， 则该矩形周长的最大值为 典例5已知A,B两城市的距离是100km,根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在50-~100k/h, 假设油价是6元L,以x小的速度行驶时，汽车每小时的耗油量为+L,其他费用是36元小为 了使从城市A到城市B行车的总费用最少，那么最经济的车速是 km/h.(精确到1km/h. 参考数据：√10=3.162) 019回归课 综上，不存在这样的m使不等式恒成立， (3)因为+1>0， (2)由题意知-2≤m≤2，设代m)=mx2-2x-m+1=(x2-1)m+ 所以3+12.+2≥25. f2)<0, (2(x2-1)+(1-2x)<0. x+1x2+1 x+1 (1-2x),则有 即 f-2)<0. (-2(x2-1)+(1-2x)<0. 当且仅当+1： 2 ，即x=±1时取等号， 解得1+71+3 +1 <x< 2 所以+3的最小值为22. 所以x的取值范围为1+7I+3 x+1 2,2 ≥或0【解折1-3+1-31上2 (4)因为4x+y-xy=0→4r+y=xy→ 4+L=1(x>0,>0) 典例6 所以=（）=5≥9， y 所以不等式可变形为-2≤0，即 (1-2x)x≤0 x≠0， 解得x≥2 当且仅当红=之，即x=3,y=6时取等号， 或x<0. 所以x+y的最小值为9 2.2 基本不等式 【研课本·划重点】 (5)因为+3=0.所以+3=≤（空 一、知识梳理 y0,则-330=2-4-123≥0=1≥6 ①≤②a=b③积④2m5 4 (舍去)，当且仅当x=y=3时，等号成立， 三、思考辨析 所以x+y的最小值为6. 1.×2.×3.√4.×5.V 典例3BC【解析】x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3y≤ 【快提升·练典例】 3停，解得-2+y≤2当且仅当y=-1时+=-2 典例1D【解析j因为0<a<b,所以√品< 2 当且仅当x=y=1时，x+y=2,故A错误，B正确： 由2+y2-=1,得x2+y2-1=y, 因为0,2 因为+y≥21yl,所以y 2 ≤y≤ 所以O+6na+6 2 所以+y 生三—听以子不零之 因为0<a<b,所以√ad-a=ab-√a=a(6-a)>0,即 3 历.因此as瓜<放选D 3· = 3 当 或 或-1 付+三3，当二· 时， 3 3 y=1(y=-1 典例2【解1(1)因为x>1,所以x-1>0, y=1 3 y= 1+4 所以x+4 1≥2(x-1).4 x2+y2=2,故C正确，D错误.故选BC r-1 +15, 典例48【解析】方法一：设矩形的一组邻边长分别为a,b, 当且仅当x-1= -即x三3时取等号， 则该矩形的周长为2(a+b),且a2+b2=8.而a2+b2=(a+b)2- ,4的最小值为5 所以x+ 2sa60y-2g-a*6y,期a46≤v2后46-4 r-I 当且仅当a=b=2时取等号，所以2(a+b)≤8，即该矩形周长 (2)因为0<x<2 1 的最大值为8 方法二：设矩形的一组邻边长分别为，6，则该矩形的周长为 所以1-2>0，所以x(1-2x)=×2z·(1-2)≤ L2x+1-2x1 2aw.且≤-月2.组仅当 228 a=b=2时取等号，所以a+b≤4，所以2(a+b)≤8，即该矩形 当且仅当2x=1-2x,即x=时取等号， 周长的最大偵为8 4 典例557【解析】当汽车以xk/h的速度行驶时，从城市A 所以x(1-2)的最大值为号 到城市B行车的总费用为y=[36:6·(+动)川小·四： 404 5400.5 变式题2【解】：f代x+1)的定义域为[0,2]， x3. 0≤x≤2,1≤x+1≤3，f(x)的定义域为[1,3].对 答案及详 因为50≤x≤100，所以y= 54005 0+2x≥2x 3* 八x-1)1≤x-1≤3， 有 解得2<x≤4， x-2 x-2≠0】 0而，当且仅当30多，即=18v057时.等号 ,八=D的定义城为(2,4]. x-2 成立， 典例5【解】？函数f八x)=√ax+alhr+b的定义域为x11≤ 所以为了使从城市A到城市B行车的总费用最少，最经济的 x≤2∴.不等式a2+ax+b≥0的解集为1x11≤x≤21.可知 车速是57km/h. a<0.不等式化为(x-1)(x-2)≥0，即2-3ar+2a≥0. 第三章 函数的概念与性质 1b=-3. -3a=ab. 9 解得 3.a+b=- 3.1函数的概念及其表示 2a=b. a=- 2 2· 【研课本·划重点】 典例6【解】方法一（待定系数法）：因为八x)是二次函数， 一、知识梳理 所以设fx)=ar+br+c(a≠0)， ①定义域②对应关系③值城④[a.b]⑤(a,b) 则f2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4a2+(4a+2b)x+a+ ⑥[a,b)⑦(a,b】⑧列表法⑨图象法0解析法 b+c. 二、思考辨析 因为f2x+1)=4x2-6r+5, 1.×2.×3.×4.V5.× 4a=4. [a=1, 【快提升·练典例] 所以{4a+2弘=-6，解得{b=-5, a+b+e=5. c=9, 典例1B【解析】取x=-1,√可无意义，A错误； 所以fx)=x2-5x+9(x∈R). 取x=2,则y=|x=2,y=x=2,2B,故C,D错误，B正确.故 选B 方法二（换元法）：令2+1=1eR),则x= 2 变式题C【解析】根据函数的定义，对任意的x,y都有唯一 的值与之对应.只有C不满足，故选C 所以=4}-6分5-9eR 典例2BC【解析】对于A,函数(x)=√？的定义域为R, 所以f代x)=x2-5x+9(x∈R). 函数g(x)=(x)'的定义域为[0，+x),则(x)与g(x)不是 方法三（配凑法）：因为八2x+1)=4x°-6x+5=(2r+1)-10x+ 4=(2x+1)2-5(2x+1)+9. 同一个函数，故A错误： 所以fx)=x2-5x+9(xeR) 对于B,函数=(4》=的定义城为R,函数gx) x2+1 典例7【解】因为2x)+/-x)=3x① x的定义域为R,定义域相同，对应法则相同，所以是同一个 所以将x用-x替换，得2-x)x)=-3x②， 由①2解得f代x)=3x 函数，故B正确： 对于C,函数八x)=1x与g()=川是同一个函数，故C正确： 典例8【解1(1)y-22-3+7-2+ x-3x-3 3显然7 3*0. 对于D,函数)=x+1的定义城为R,函数g(x)=一的定 .y≠2.故函数的值域为(-%，2)U(2,+0). x-1 义域为xx≠1|，则八x)与g(x)不是同一个函数.故D错 (2)设1=x-1,则x=2+1(t≥0)， 误，故选BC y=20-42}°5 典例3(-，0)U(0.1月【解析)因为x)=上+x,所 由≥0，再结合函数的图象（如图1所示），可得函数的值域 以/会0， 解得x≤1且x0,故函数的定义域为(-，0)U 为[ (x≠0. y=22+1)- (0,1]. 典例4【解】：f(x)的定义域为[0.2]，.0≤x-1≤2，即1≤ 2 x≤3∴函数八x-1)的定义域为[1,3] 变式题1【解]小f(x-1)的定义域为[1,3]，1≤x≤3，即 01234 0≤x-1≤2，.函数fx)的定义城为[0,2]. 图1 05