2.1 不等式的性质与一元二次不等式-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

此，实数a的取值范围是 (2)当a>0时，原不等式为(x-)(x+。)小0.(-1)(x+ 答案及详 第二章 一元二次函数、方程和不等式 )=0的两根为1，。，且1 2.1不等式的性质与一元二次不等式 1 所以解不等式可得x>1或x< 【研课本·划重点】 一、知识梳理 3)当c0时，原不等式为(x-(+。)k0, ①②=<④，5c0} (x-1)+a ）=0的两根为1，日 三、思考辨析 当-1<a<0时，>1，解不等式可得1<<a 1.×2.×3.×4.×5.× 当a=-1时，不等式为(x-1)2<0,解集为☑： 【快提升·练典例】 典例1B【解析1方法一（作差法）：P-9= 62 当0c-1时，1，解不等式可得 a < ,(8-)…(日 (62-2)(-ae 综上，当a>0时，不等式的解集为D1,度<}当 b ab a=0时，不等式的解集为{xlx>1:当-1<a<0时，不等式的 (b-a)(b+a】 ab 解集为1<- :当a=-1时.不等式的解集为0：当 因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-g=0,即p=g: 若a≠b.则p-g<0,即p<4综上p≤g故选B. a1时，不等式的解集为< 方法二（特殊值法）：令a=b=-1,则p=q=-2,排除A,C；令 典例5A【解析】当=0时，不等式为8≥0，显然恒成立，符 a=-1,b=-2,则p<g,排除D,故选B. 合题意： 典例2证明]方法一（分析法）：要证、侣后，只需证 当>0时.若不等式2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立. 则4=36k2-4h(k+8)≤0.解得0<k≤1： a方>b>0只需证M<ac,又c>>0.ac>bM显然成 当k<0时，不等式x2-6x+k+8≥0不可能对任意x∈R恒 成立。 立.命题得证 综上，实数k的取值范围是[0,1]，故选A 方法二（综合法）：a>b>0,c>d>0,ac>bd>0,且ab>0,两边 变式题1C【解析)关于x的不等式(a2-4)x+(a-2)x-1≥ 0的解集为空集，即不等式(a2-4)x+(a-2)x-1<0对任意 h a x∈R恒成立. m+n=3, 典例3【解】设3x+2y=m(x+y)+n(x-y）),则 若a2-4=0,则a=±2，当a=2时，(a2-4)x2+(a-2)x-1=-1< m-n=2. 0,满足题意： [5 m= 2 当a-2时，(2-4)x2+(a-2)x-1=-4-1.显然当x≤- 解得 即3x+2y=，(x+y) 2 2(y. 时.-4x-1≥0.不满足题意 若a2-4≠0.则a≠±2.要使不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0 又，-1<x+y<4.2<x-y<3 a2-4<0 55 对任意x∈R恒成立，则 (a-2)2+4(a2-4)<0. 解得、6」 a< 6 ，<,()+,(x)<号，即3 35 1 2综上，a的取值范擱是和了a≤2头，故选C 变式题2【解】(1)当m=0时，不等式为-2x+1<0,解得x> +2的取值意圈为（名】 2,不满足条件： 注意：整体性思想的应用可以防止所求范国被扩大 当m≠0时，若对于所有的实数x,不等式mx2-2x-m+1<0恒 典例4【解】原不等式可化为(x-1)(ax+1)>0. m<0 成立，则 解得me☑. (1)当a=0时，原不等式为x-1>0,解得>1. 4-4m(-m+1)<0. 03 回归课 综上，不存在这样的m使不等式恒成立， (3)因为+1>0， (2)由题意知-2≤m≤2，设代m)=mx2-2x-m+1=(x2-1)m+ 所以3+12.+2≥25. f2)<0, (2(x2-1)+(1-2x)<0. x+1x2+1 x+1 (1-2x),则有 即 f-2)<0. (-2(x2-1)+(1-2x)<0. 当且仅当+1： 2 ，即x=±1时取等号， 解得1+71+3 +1 <x< 2 所以+3的最小值为22. 所以x的取值范围为1+7I+3 x+1 2,2 ≥或0【解折1-3+1-31上2 (4)因为4x+y-xy=0→4r+y=xy→ 4+L=1(x>0,>0) 典例6 所以=（）=5≥9， y 所以不等式可变形为-2≤0，即 (1-2x)x≤0 x≠0， 解得x≥2 当且仅当红=之，即x=3,y=6时取等号， 或x<0. 所以x+y的最小值为9 2.2 基本不等式 【研课本·划重点】 (5)因为+3=0.所以+3=≤（空 一、知识梳理 y0,则-330=2-4-123≥0=1≥6 ①≤②a=b③积④2m5 4 (舍去)，当且仅当x=y=3时，等号成立， 三、思考辨析 所以x+y的最小值为6. 1.×2.×3.√4.×5.V 典例3BC【解析】x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3y≤ 【快提升·练典例】 3停，解得-2+y≤2当且仅当y=-1时+=-2 典例1D【解析j因为0<a<b,所以√品< 2 当且仅当x=y=1时，x+y=2,故A错误，B正确： 由2+y2-=1,得x2+y2-1=y, 因为0,2 因为+y≥21yl,所以y 2 ≤y≤ 所以O+6na+6 2 所以+y 生三—听以子不零之 因为0<a<b,所以√ad-a=ab-√a=a(6-a)>0,即 3 历.因此as瓜<放选D 3· = 3 当 或 或-1 付+三3，当二· 时， 3 3 y=1(y=-1 典例2【解1(1)因为x>1,所以x-1>0, y=1 3 y= 1+4 所以x+4 1≥2(x-1).4 x2+y2=2,故C正确，D错误.故选BC r-1 +15, 典例48【解析】方法一：设矩形的一组邻边长分别为a,b, 当且仅当x-1= -即x三3时取等号， 则该矩形的周长为2(a+b),且a2+b2=8.而a2+b2=(a+b)2- ,4的最小值为5 所以x+ 2sa60y-2g-a*6y,期a46≤v2后46-4 r-I 当且仅当a=b=2时取等号，所以2(a+b)≤8，即该矩形周长 (2)因为0<x<2 1 的最大值为8 方法二：设矩形的一组邻边长分别为，6，则该矩形的周长为 所以1-2>0，所以x(1-2x)=×2z·(1-2)≤ L2x+1-2x1 2aw.且≤-月2.组仅当 228 a=b=2时取等号，所以a+b≤4，所以2(a+b)≤8，即该矩形 当且仅当2x=1-2x,即x=时取等号， 周长的最大偵为8 4 典例557【解析】当汽车以xk/h的速度行驶时，从城市A 所以x(1-2)的最大值为号 到城市B行车的总费用为y=[36:6·(+动)川小·四： 404第二章 必修第一 一元二次函数、方程和不等式 第二章 真题溯源 元二次函数 考点 教材原型 真题再现 基本不等 【UA版·必修第一册·P46·例3】 【2022·新高考Ⅱ·12】（多选） 、方程和不等式 式的应用 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形 若x,y满足x2+y2-xy=1,则( 菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用 A.x+y≤1 B.x+y≥-2 篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 (2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩 形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜 园的面积最大？最大面积是多少？ 【RJA版·必修第一册·P49·5】 【2020·天津·14】 已知20，求证：2-3x-4的最大值是2 已知a>0,b>0,且h=1,则8的 2a 2b atb" 43. 最小值为 011 回归课本 2.1不等式的性质与一元二次不等式 高中数学 研课本·划重点 >>答案链接P03 知识梳理 >be→a-b>0 作差法 a=b4xq-b=0 比较两 a<bea-b<0 个实数 的大小 4>1,>0→①_b 作商法 a=1,b0→a②_b 4<1,b>0a8③_b 对称性：a心b→b<a 传递性：a>b.b>C→>C 可加性：a>ba+c>b+c:a<h=a+c<h+c 不等式 可乘性：a>b,c>0→ac④_bc:a>b.c0→ac⑤bco 的性质 可乘方性：>>0→a">a∈N,山n≥2) 不等式的性质与一元二次不等式 可开方性：a>b>0→a>neN,山H≥2) 倒数法则：a>b,ab>0→⑥ 4>0 =0 4<0 y=ax+bx+c (a>0)的图象 K/ K - ax+bx+c=0 (a>0)的根 3,x,(<x) 【=岛 没有实数根 ax+bx+c>0 一元二次 {<x,或x, R 函数与一 (心0)的解集 {英】 元二次不 aF+bx+c<0 等式 (>0)的解集 {x中<x<} 0 ☑ 若不等式a2+bx+c>0(a≠0)的二次项系数a<0.则可以根据不等式的性质先将共 转化为正数，再对照上表求解 8用0✉0ewge⑦ fx) 0<0) 分式不 等式 fx) xg(x)≥0〔≤0). &(行 ≥0（≤0）→ x)≠0 常用结论 1.若a>b>m>0,则-m<bb+m.a+maa-m a-m a atm'b+m b b-m 2.若a<0<b,则。元 11 3.若a>b>0,bc>0,则6 c d 4012 目思考辨析 必修第 判断下列问题，正确的打“V”,错误的打“×” 册 1.若a>b,则ac2>bc2,反之亦成立 第 2.若a>1b1,则a2>b,反之亦成立 章 11 3.若a>b,则。方反之亦成立 4.若a+c>b+d,则a>b,c>d. 元二次函 5.ax2+x-4<0是一元二次不等式 快提升·练典例 方 >>答案链接P03 考点一一 不等式性质的应用 和不等式 考向比大小 9示通法 比大小的常用方法 (1)作差法：直接作差判断正负即可（常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等）： (2)作商法：直接作商与1比较大小，注意两式的符号. (3)不等式的性质法：利用不等式的性质直接得出结论 (4)特殊值法：选择题适用，可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论 典例1若a<0,b<0,则p= 。与=a+b的大小关系为 a b A.p<q B.p≤q C.p>94 D.p≥4 【点拨】两个思路，一是利用作差法，二是利用特殊值法。 考向2证明不等式 ?示通法 证明不等式的常用方法 (1)分析法是“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断去寻找这个结论成立的充分条件，直至达 到已知事实. (2)综合法是“由因导果”的思维方法，即由已知条件出发，不断地展开思考，不断地去探索结论。 典例2已知a>b>0,c>d>0,求证： 013 回归课本 考向3求范围 9示通法 高中数学 利用已知不等式的范围求新不等式的范围时，往往要使用整体性思想，借助待定系数法，将未知不等 式转化为已知不等式的组合形式，否则容易扩大不等式的范围导致出错， 典例3已知-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围. 444 考点二含参一元二次不等式的解法 9示通法 在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，做到分类“不重不漏”，讨论可从 以下三个方面考虑： (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)不等式对应方程根的个数的讨论：两个不等的实数根(4>0)，两个相等的实数根(4=0)，无实数 根（△<0）. (3)不等式对应方程根的大小的讨论：x>x2,x,=x2,x,<x 典例4解关于x的不等式ax2+(1-a)x-1>0. 4014 考点三一元二次不等式恒成立问题 必 9示通法 一元二次不等式恒成立的条件有以下几种： 第 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是 a>0, ax2+br+c<0(a≠0)恒成立的条件是 a<0, 章 b2-4ac<0 b2-4ac<0. fm)≤0， (2)f八x)=ax+bx+c<0(a>0)在区间(m,n)上恒成立的条件是 frn)≤0. 元二次函数 fm)>0 f(x)=ax2+bx+c>0(a<0)在区间[m,n]上恒成立的条件是 f(n)>0. (3)f代x)=ax2+br+c(a≠0)，则1≥fx)恒成立的条件是1≥f代x)1≤f孔x)恒成立的条件是1≤f代x) 方程和不等式 典例5已知关于x的不等式x2-6x+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是( A.0≤k≤1 B.0<k≤1 C.k<0或k>1 D.k≤0或k>1 变式题1已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围 是( A.a -2≤a≤g &a-2≤a》 c{a-ga≤2 D.{ala≠2 变式题2已知不等式mx2-2x-m+1<0. (1)若对于所有的实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围： (2)设不等式对于满足Im1≤2的一切实数m的值都成立，求实数x的取值范围 考点四分式不等式的解法 9示通法 对于) B(x) （飞为常数）这类不等式，一般先对不等式进行变形，再解不等式组， g(x) ≥k→ f代x)-kg(2≥0= ([f八x)-g(x)]g(x)≥0， 再解不等式组即可，其他情况可用类似方法解决 g(x) g(x)≠0， 典囫6【2011·上海·理·41不等式+1≤3的解集为 015