1.1 集合的概念与运算-【回归课本】2025年高中数学基础知识训练

1.1集合的概念与运算 必修第一 研课本·划重点 >答案链接P01 第 知识梳理 章 元素的特性：① ② ③ 元素与 集合 元素与集合的关系：属于，符号表小为① 一；不属于，符号表小为⑤ 集合的表示方法：⑥ ) 集合与常用逻辑用语 集合自然数集 正轻数集 整数集有理数集 实数集 NNOR 特殊 符号 ⑨ N或N 0 ① 1② 集合的 集合 空集：符号表示为①③，空集是任何集合的子华，是任何非空集合的真子集 念与运算 子集：A④B(BCA①)或(A(B) 集合间的 基本关系 真子集：A⑤B(BAD 集合相等：AGB,日B1⑦A,则A=B (A(B) 交集：A门B-∈A级一x∈B(A○B 集合的 并集：AUB-{x∈A,9xEBy 运算 A○B 补集：C4-{xxEU.0x庄A 二常用结论 1.有限集合的子集、真子集的个数 (1)含有n个元素的集合有2”个子集，有(2”-1)个非空子集 (2)含有n个元素的集合有(2"-1)个真子集，有(2”-2)个非空真子集. 2.交集的性质 (1)A∩A=A:(2)An0=☑：(3)A∩B=BnA:(4)A2(A∩B),B2(AnB): (5)AnB=AASB:(6)(AOB)OC=An(BOC):(7)(AUB)nC=(AnC)U(BOC). 3.并集的性质 (1)AUA=A:(2)AUB=A;(3)AUB=BUA;(4)AC(AUB),BC(AUB); (5)AUB=AA2B:(6)(AUB)UC=AU(BUC):(7)(AnB)UC=(AUC)n(BUC). 4.补集的性质 (1)An(CA)=0:(2)C(CA)=A:(3)(CA)UA=U:(4)0,U=0.C,0=U: (5)ACBCA2CBA(CB)=:(6)A=BA=CB. 003》 回归课本 5.德·摩根定律 AOB 高中数学 C(AOB)=(CA)U(CB) AOB AOB AOB C(AUB)=(CA)(CB) 6.容斥原理 card(AUB)=card A+card B-card(AnB),card(AUBUC)=card A+card B+card C-card(AnB)- card(A∩C)-card(BnC)+card(A∩BnC). 目思考辨析 判断下列问题，正确的打“V”,错误的打“×”. 1.0e☑ 2.集合A={a,b,c,d}的子集共有8个 ( 3.集合{1,2,3,4.5引和5,4.3,2,1}表示同一个集合 ( ) 4.0101. ( ) 5.已知集合M=xlx2+x=0,则-1∈M. 快提升 ·练典例 >>答案链接P01 考点一集合的概念 9示通法 解决元素与集合问题的关键点 (1)确定构成集合的元素。 (2)确定元素的限制条件， (3)根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.含字母的集合问题，在求出字母的值 后，需要验证集合的元素是否满足互异性， 典例1已知集合A=1-1,2a+1,a2-1,若0eA,则实数a的取值集合为( 21- n (2. c 考点二集合间的基本关系 考向1判断集合间的关系 示通法 判断两集合关系的常用方法 (1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求 两个集合的关系， (2)数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断. 4004 圆2已知集合4e=a+石aeZ.B=6eZ.G={s=+石ez,则A,8. 册 C满足的关系为( A.A=BCC B.ACB=C 第 C.A=B=C D.BCCCA 章 变式题（多选）已知集合M,N,P为全集U的子集，且满足MCP二N,则下列结论中正确的是( A.CNEC P B.C PCC,M C.(CP)nM= D.(CM)nN=☑ 常用逻 【点拔】利用Venn图直观判断， 用语 考向2根据集合间的关系求参数的值（范围） 示通法 根据集合间关系求参数的常用方法 (1)分类讨论法：若A二B,则要分A=O和A≠O两种情况讨论. (2)数形结合法：若集合是含有参数的连续数集，则可利用数轴将其关系表示出来，直观得到含 参数的不等关系式 奥例3【2023·新高考Ⅱ·2】设集合A={0,-a,B={1,a-2,2a-2,若ACB,则a=( A.2 B.1 c号 D.-1 变式题若集合A={x12a+1≤x≤3a-5},B=x|5≤x≤16}，则能使ASB成立的所有a组成的集 合为( ) A.{al2≤a≤7 B.{al6≤a≤7} C.ala≤7l D. 【点拨】按A=☑和A≠⑦分类讨论，最后结果取并集. 考向3确定有限集的子集（真子集）的个数 示通法 此类问题需先确定集合中元素的个数，进而确定子集（真子集）的个数. 更圆4设集合M={(x)+背=1，N={(,)+皆=.则集合MnN的真子集个数 为( A.1 B.2 C.3 D.4 变式题已知集合12,3二A二{0,1,2,3，则A的个数为 典例5已知集合M=1,2,3,4,5,6,7,8,91,集合P满足PCM,且若aeP,则10-aeP,这样的P 有 个 005 回归课本 考点三集合的基本运算 考向门集合的交、并、补运算 中数学 示通法 解决集合基本运算的方法：先看元素组成，再对有些集合进行化简，注意数形结合思想的应用.集合运 算常利用数轴和Venn图. 典例6【2023·全国乙·理·2】设集合U=R,集合M=xlx<1,N=x1-1<x<2,则1x1x≥2}= ( A.C(MUN) B.NU(C M) C.C(MON) D.MU(C,N) 【点拨】根据选项逐个计算，进而判断正误。 变式题如图，全集U=N,集合A=0,1,2,3,4,5引，B={x∈Nx>3,则阴影部分表示的集合为() A.{0,1,2 B.10.4,5 C.{1,2,3 D.0,1,2,3 考向2根据集合的运算求参数的值（范围） 9示通法 若集合是含有参数的连续数集，根据集合的运算求参数的步骤如下： ①由集合运算确定集合间关系→②结合数轴，由集合端点的大小关系列等式或不等式（组）→③解等 式或不等式（组）一→④检验 典例7已知集合A=xl-2≤x≤5}，B=xm+1≤x≤2m-1},若AUB=A,则实数m的取值范围 为 【点拨】AUB=A白BCA. 考向3补集思想的应用 9示通法 应用补集思想解题的步骤 (1)否定已知条件，考虑问题的反面： (2)求解问题的反面对应的参数范围： (3)取问题的反面对应的参数范围的补集， 4006 题8若三个关于x的方程+4-4+3=0.+(a-1)x“生5-0.r+2ar-3a=0中至少有-个方 修第 程有实数根，求实数a的取值范围 册 【点拨】情况较多，考虑问题的反面，即三个方程均没有实数根，最后结果取补集 第 章 与常用逻辑 语 考点四集合中的新定义问题 9示通法 解决集合新定义问题的两个突破点 (1)正确理解创新定义，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等. (2)合理利用集合性质，运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问 题的关键， 典例9给定集合A,若对于任意a,b∈A,总有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合.给出如下三 个结论： ①集合A=-4,-2,0,2,4为闭集合： ②集合A=nln=3k.keZ}为闭集合： ③若集合A,A2为闭集合，则A,UA2为闭集合 其中所有正确结论的序号是 考点五容斥原理的应用 9示通法 (1)正确利用集合的Vemn图. (2)合理利用集合的性质，善于从题设给出的数式中发现集合间的关系. 典例10《西游记》《三国演义)《水浒传》《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大 名著.某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游 记》或《红楼梦》的学生共有90名，阅读过《红楼梦》的学生共有80名，阅读过《西游记》且阅读过 《红楼梦》的学生共有60名，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总人数比值的估计值 为() A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【点拨】利用Venm图直观解决， 007答案及详解 答案及详解 *464 必修第一册园 第一章集合与常用逻辑用语 A二B.若A≠⑦，则a≥6，如图所示，要使ASB成立，有 (2u+1≥5 解得2≤a≤7，此时6≤a≤7.综上，能使ACB成 1.1集合的概念与运算 3a-5≤16， 【研课本·划重点】 立的所有实数u组成的集合为ala≤7故选C 一、知识梳理 2a+l 30-516 ①确定性②互异性③无序性④e⑤年⑥列举法 y ⑦描述法⑧图示法⑨N0Z①Q2RB☑4C 43 (x=0, ⑤军6GnCB且9或④且 典例4C【解析】联立方程组 解得 或 y=3 三、思考辨析 43 =1, 1.×2.×3.V4.V5.V x=1 【快提升·练典例】 g所以集合MnN中含有2个元素，所以集合MnN的 y4' 典例1C【解析)若2a+1=0,则a=-子，此时A={-1,0 真子集个数为2-1=3.故选C 变式题4【解析1因为2,3SAC10,1.2,3,所以满足条 },满足圈意 件的集合A有2,3，{0,2,3,11,2,31,10,1,2,31，共4个 若a2-1=0,则a=±1，当a=1时，A=-1,3,0,满足题意： 典例532【解析】由题意可知，若1∈P,则9eP,因此1和 当a=-1时.A=-1,-1.01.不符合集合中元素的互异性 9要么都在P中，要么都不在P中，同理，2和8,3和7,4和6 要么都在P中，要么都不在P中，所以在各对数中抽出一个 综上ae{放选C 数作为代表，组成一个新的集合11,2,3,4,5}，问题就等价 典例2B【解折)集合A={xx=a+石aeZ={: 于求集合1,2,3,4,5引的子集个数，所以满足条件的P有 2=32个， gae,集合B={=6ez-{ 典例6A【解析】由题意可得MUN={xIx<2!,则C,(MU N={xlx≥2引，故A正确：CnM=xlx≥1|，则NU(C,M)= xlx>-1,故B错误：MnN=x1-1<x<1,则C,(MnN)= xlx≤-1或x≥1f,故C错误：0，N={x1x≤-1或x≥2引，则 若ez U(0N)=xx<1或x≥2引，故D错误故选A 当a∈Z时，6a+1表示被6除余1的数，当b∈Z时，36-2表 变式题D【解析】根据Vnn图可知阴影部分所表示的是 示被3除余1的数，当ceZ时，3c+1表示被3除余1的数， (CB)nA.由CB=0,1,2,3,得(CnB)nA=0,1,2,3.故 选D. 所以ACB=C.故选B. 典例7mlm≤3【解析】由AUB=A,得BCA.若B=O, 变式题ABC【解析】根据已知条件画出Ven图，如图所 则m+1>2m-1,解得m<2,满足BCA.若B≠，则m≥2，要 示，结合各选项可知，只有D不正确.故选ABC 使BCA成立，则m1≥-2 得-3≤m≤3，此时2≤m≤3 l2m-1≤5， 综上，实数m的取值范围为mm≤3， 典例8【解】设三个方程都无实数根，此时实数a的取值范围 为集合D, 典例3B【解析】若ACB.则当a-2=0时.a=2,A=0, 42-4×1×(-4a+3)<0. 16-4(3-4a)c0, -2,B=1,0,2引，不符合题意：当2a-2=0时，a=1,4=0, -1,B=1,-1,0,符合题意.踪上所述，a=1.故选B. 则a-10-4x1x450,即a-1-45c0 变式题C【解析】若A=⑦，则2a+1>3a-5.解得a<6,满足 (2a)2-4×1×(-3a)<0, 4a2+12a<0, 01 归课 解得-2<<- 变式题C【解析】方法一：所求目标是p的一个充分不必要 条件，即所求目标能推出P,但p推不出所求目标，放所求目 所以D=a -2<0<- 所以使三个方程中至少有一个方 标是小范围.命题p是大范围.故选C 中数学 方法二：对于A.由1<x<3,可知0<x<2不一定成立，反之，若 程有实数根的a的取值范围为D的补集，即{aa≤-2或 0<x<2,则1<x<3不一定成立，所以“1<x<3”是“0<x<2"的既 不充分也不必要条件，放A不符合题意： 对于B,由-1<x<1.可知0<x<2不一定成立，反之，若0<x<2, 典例92【解析】①中，-4+(-2)=-6A,故①不正确： 则-1<x<1不一定成立，所以“-1<x<1"是“0<x<2"的既不充 ②中，设m,=3张，m2=3站，k,keZ,则n,+m2EA,n,-n2∈A, 分也不必要条件，故B不符合题意： 故2正确：63中，令A,=|nln=3,keZ,A,={nln=2k,ke 对于C.由0<x<1.可知0<x<2成立，反之.若0<x<2.则0<x< Z,则A,A为闭集合，但3张+2k#(A,UA2),故A,UA不 1不一定成立，所以“0<x<1”是“0<x<2”的充分不必要条件， 是闭集合，故③不正确。 故C符合题意： 典例10C【解析】方法一（容斥原理法）：设该校阅读过《西 对于D.由0<x<3,可知0<x<2不一定成立，反之，若0<x<2 游记》的学生人数为x,阅读过《西游记》的学生形成集合A, 则0<x<3成立，所以“0<x<3”是“0<x<2"的必要不充分条件， 阅读过《红楼梦》的学生形成集合B,则阅读过《西游记》或 故D不符合题意.故选C 《红楼梦》的学生形成集合AUB,阅读过《西游记》且阅读过 典例2ala≤-2或a≥1【解析】因为“xeA"是“xeB”的 《红楼梦》的学生形成集合AnB.由cad(AUB)=cadA+ 充分不必要条件，所以A手B.又A=|x12a-1<x<2a+1{,B= cadB-cad(A∩B),得90=x+80-60,解得x=70,所以该校阅 xx<-3或x>1|,所以2a+1≤-3或20-1≥1，解得a≤-2 读过《西游记》的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为 或a≥l,所以实数a的取值范围是|ala≤-2或a≥1. 1007放选C 7 变式题C【解析】函数f(x)=(e-e)(r+r+c)的定义域 为R,若f八x)是偶函数，则x∈R,f(-x)=f八x).即(e- 方法二（图示法）：根据题意，将阅读过《红楼梦》《西游记》的 e)(a-br+e=(e'-e")(ax2+bx+c),整理得(e-e)· 人数用Vem图表示，如图所示，所以该校阅读过《西游记》的 (2ax2+2c)=0因为e-e不恒为0，所以2x2+2c=0.即a=0 学生人数与该校学生总人数比值的估计值为0 且c=Q.当a=b=c=0时，代x)=0也是偶函数，D不正确.故选C =0.7.故 100 典例3ABD【解析】对于A,存在x=-1<0.使得x2-2x-3= 选C 0.故A为直命题： (红楼梦》 (西游记》 对于B,对于一切实数x<0.都有1x1=-x>0>x成立.故B为真 命题： 对于C,3x=-2∈R,√x2=2,则√x2≠x,故C为假命题： 12 常用逻辑用语 对于D.3n=2∈N”,2n2+5n+2=20能被2整除.故D为真命 【研课本·划重点】 题.故选ABD. 典例4D【解析】“"的否定是“3”，“3”的否定是“V”, 一、知识梳理 “n≥x"的香定是“ncx2”.故选D. ①充分不必要②必要不充分③充要④既不充分也不 典例5【-8，+)【解析】命题“3x∈[1,2]，x2+2x+a≥0 必要⑤V6⑥3⑦存在量词⑧全称量词 为真命题，即a≥-x2-2在[1,2]上能成立，所以a≥ 三、思考辨析 (-x2-2x).当xe[1,2]时，由二次函数的性质，可知-x2 1.×2.V3.V4.V5.× 2xe[-8,-3],所以a≥-8，所以实数a的取值范围为[-8， 【快提升·练典例】 + 典例1B【解析】由a2=b,可得a=±h.当a=-b≠0时，a2+ b=2a2,2ab=-2a2,即a2+b≠2ab,所以a2=6a2+b2=2ab: 变式题 [日+【解折)由题意可知，命题Vx后Ra之 若a2+6=2ab.则有(a-b)2=0.即a=b.所以a2=b2.所以2+ x+1≥0”为真命题.当a=0时，由x+1≥0可得x≥-1，不符合 b2=2ab→a2=,所以"a2=”是“a2+b=2ab”的必要不充分 条件.故选B. 题意：当a≠0时，由题意可得0>0， 4=1-4a≤0. 解得a≥子因 402