6.8 余角和补角 教案 2024—2025学年浙教版数学七年级上册

6.8 余角和补角 课题 6.8 余角和补角 单元 第六单元 学科 数学 年级 七年级（上） 教材分析 余角和补角是初中几何的重要概念。教材从实际角度出发引入，易于学生理解。通过直观图形展示，帮助学生形成初步认识。教材注重知识的递进，由概念到性质，再到实际应用，逐步深化。强调数学与生活的联系，培养学生用数学知识解决实际问题的能力，为后续学习三角形、四边形等知识奠定基础。 核心素养 能力培养 1. 培养空间感知：观察分析图形中余角和补角，建立空间观念。 2. 锻炼逻辑推理：运用性质推理计算，提升逻辑思维。 3. 增强应用意识：用知识解决生活中角度问题。 教学目标 1. 理解余角和补角的概念，准确判断两个角是否互为余角或补角； 2. 掌握余角和补角的性质，能运用性质进行简单的角度计算和推理； 3. 学会运用余角和补角的知识解决实际问题，如在几何图形中求角度、解释生活中的角度现象等。 教学重点 余角和补角的概念及性质，能准确判断两个角的关系。 教学难点 理解余角和补角性质的推导过程，运用性质解决复杂的角度计算和几何证明问题。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 如图，∠ABC＝60°，∠ABD＝145°，BE平分∠ABC。求∠DBE的度数。 115°【解析】 ⸪∠ABC=60°，BE平分∠ABC ⸫∠ABE=∠ABC=×60°=30° ⸪∠ABD=145° ⸫∠DBE=∠ABD+∠ABE=145-30°= 115° 故∠DBE的度数为115°. 创设情境、导入新课 台球桌面上，A球受击打后的运动轨迹如图。若∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？ 复习回顾之前学习第六章第七节角的和差内容。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固学习角的和差知识。 用台球的运动轨迹引出余角和补角的相关内容。 新知探究 探究一：引入概念 如图，在Rt∠AOB 的内部画射线 OC，则有∠1＋∠2＝Rt∠AOB。∠3＋∠4与Rt∠AOB相等吗？怎样判断？ 如图，类似地，在平角∠AOB 的内部画射线OC，则有∠AOC＋∠BOC＝∠AOB。∠α＋∠β与平角∠AOB相等吗？怎样判断？ 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。例如，p5页图中，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。∠3与∠4呢？ ∠3与∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4也是∠3的余角。 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。例如，p6页图中，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角。∠α与∠β呢？ ∠α与∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。 【强调】：注意 (1)互余、互补是两个角之间的关系,若三个角的和等于 90°或180°,不能称为互余或互补. (2)互余、互补只与两个角的角度有关,与位置无关. (3) ∠α的余角可以记作 90°- ∠α, ∠α的补角可以记作180°-∠α. 方位角：以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 注意： 方位角在叙述时，一般先说南北,后说东西,如南偏西20°。当与南北方向夹角为45°时,常简称东北、东南、西北、西南,如北偏东45°为东北方向。 探究二：例题讲解 教材第188页： ▶做一做 1.如图，已知∠1＝42°，∠2＝138°，∠3＝48°。图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。 【解析】 ⸪∠1+∠2=42°+138°=180° ⸫∠1和∠2互为补角 ⸪∠1+∠3=42°+48°=90° ⸫∠1和∠3互为余角。 2.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由。 【解析】⸪∠AOC+∠BOC=180°，∠AOD+∠BOD=180° ⸫∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BOD分别互补。 ⸪∠BOD+∠DOC=∠BOC=∠AOC=Rt∠. ⸫∠BOD与∠DOC互余。 3. 填空： (1)∠α的余角＝90°－________ ； (2)∠β的余角＝ ________－∠β。 【解析】 (1)∠α的余角＝90°－∠α (2)∠β的余角＝90°－∠β 当∠α＝∠β时，就有∠α的余角与∠β的余角相等，也就是说， 同角或等角的余角相等。 同样可以得到： 同角或等角的补角相等。 ▶例1 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。 【解析】在图中，∠AOB＝∠COD。理由如下： 因为∠AOC＝∠BOD＝Rt∠， 所以∠AOB＋∠BOC＝Rt∠， ∠COD＋∠BOC＝Rt∠， 即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角， 所以∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）。 ▶例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。 解：设这个角为x度，则这个角的余角是（90－x）度，补角是（180－x）度。 由题意，得180－x＝4（90－x）， 解方程，得x＝60。 所以这个角的度数为60°。 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 激发学生兴趣，引入新课主题，通过对问题的讨论，学生将学习角的和差。 课堂练习 【例1】已知∠a=25°30',则它的余角为（ ） A.25°30' B.64°30' C.74°30' D.154°30' B 【解析】∠a 的余角为 90°-∠a=90°-25°30' =64°30'。故选B。 【例2】若α=70°,则α的补角的度数是（ ） A.130° B.110° C.30° D.20° B【解析】α的补角是180°-α=180°-70°=110°。故选B。 【例3】如图,点O在直线AB上角为∠COB=∠EOD=90°,那么下列说法错误的是( ) A.∠1与∠2相等 B.∠AOE与∠2互余 C.∠AOD与∠1互补 D.∠AOE与∠COD互余 D【解析】A.因为∠COB=∠EOD=90°，所以∠1+ ∠COD=∠2+∠COD=90°,所以∠1=∠2,A选项正确。B.因为∠AOE+∠1=90°，∠1=∠2,所以∠AOE+∠2=90°,即∠AOE与∠2互余,B选项正确. C.因为∠AOD+∠2=180°，∠1=∠2,所以∠AOD+∠1=180°,即∠AOD与∠1互补，C选项正确. D.∠AOE和∠COD的度数未知,故无法判断∠AOE与∠COD是否互余,D选项错误. 故选D. 【例4】如图,若在飞机飞行时,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为“飞行方位角”,从A到B的“飞行方位角”为35°,即∠NAB=35°,从A到D的“飞行方位角”比从A到B的“飞行方位角”的4倍少10°,从A到C的飞行线恰好是从A到D的“飞行方位角”的平分线,且∠EAD=90° (1)求从A到D的“飞行方位角”的度数; (2)求∠EAC的度数. 北偏东65°【解析】因为A在C的南偏西30°方向上,且∠ACB=145°,所以 145°-30°-90°=25°,90°-25°=65°,所以B在C的北偏东65°方向上,故答案为北 偏东 65°。 【选做】5.如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它北偏东30°的方向上,海岛B在它南偏东60°方向上,则下列结论：①∠NOA=30°；②图中∠NOB的补角有两个,分别是∠SOB和∠EOA；③图中有4对互余的角；④货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上。 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 【解析】由题可知∠NOA=30°,故①正确因为∠SOB =60°，∠AON=30°,所以∠NOB=120°，∠EOA= 60°,所以∠NOB的补角有两个,即∠SOB和∠EOA,故②正确;图中互余的角有∠NOA和∠AOE,∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE,∠BOE和∠BOS,共4对,故③正确;根据方位角的意义可知,因为海岛B在货轮O的南偏东60°方向上,所以货轮O在海岛B的北偏西60°的方向上,故④正确. 综上所述,正确的结论有4个,故选D. 【选做】6.若∠β是∠α的补角,∠γ是∠α的余角,且∠β与∠γ的和是平角,则∠β是∠α的_____。 11 【解析】由题意得∠β+∠α=180°,∠γ+∠α=90°,∠β+∠γ=×180°=240°,所以∠β=180°-∠α,∠γ=90°-∠α,所以 180°-∠α+90°-∠α=240°,解得∠α=15°，∠β=165°.因为165÷15=11,所以∠β是∠α的11倍,故答案为11. 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对余角和补角的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.， 课堂小结 知识点1 余角和补角 1.如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 2.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。 3.性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 知识点2 方位角 方位角：以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。 作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力 学科网（北京）股份有限公司 $$