精品解析：河南省新乡市原阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024−2025学年上学期九年级期中水平测试 数学试卷 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（　　） A. ，6 B. 6， C. ﹣6， D. ﹣6，﹣ 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图．在5×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，且，则长为（　　） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不能是（ ） A. −1 B. 1 C. 2 D. 3 8. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 把正方形中，点P在对角线上，且点P把线段分为两部分，如果点P到边的距离为2，那么=（ ） A. B. 1 C. 3或1 D. 或 10. 周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图．钓鱼竿的长为m．露在水面上的鱼线的长为m，刘老师想看看鱼钩上的情况．把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ） A. m B. m C. m D. 二、填空题．（每空3分，共计15分） 11. 请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程______． 12. 如图，，、相交于点，，，，则的长________． 13. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为________． 14. 如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为_______． 15. 定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为______． 三、解答题 16. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 下面是小军同学计算：的解题过程． 解：原式步骤① 步骤② 步骤③ （1）上面的计算过程中最早出现的步骤是 （填序号） （2）请写出正确的过程． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 20. 如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 21. 如图，某同学通过定滑轮拉动静止在水平地面上的高为米的长方体重物，开始时与重物相连的绳子和水平面的夹角为，拉动一段距离后，绳子与水平面的夹角为，绳子的自由端（用手拉的一端）竖直向下移动了米（绳子伸缩不计），求定滑轮到地面的距离（结果精确到米．参考数据：，，） 22. 顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次． （1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额? 23. 【探究与证明】 （1）【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形中，，求证：”．请完成解答过程： 证明：设与交于点， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， （ ）填判定依据，用字母表示 （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年上学期九年级期中水平测试 数学试卷 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值计算，代入特殊角度的三角函数值计算即可，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 3. 利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（　　） A. ，6 B. 6， C. ﹣6， D. ﹣6，﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值． 【详解】5x2﹣6x+=0， 所以a=5，b=﹣6，c=． 故选C． 【点睛】考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C 5. 如图．在5×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到∠BAC所在的直角三角形，然后根据正弦的定义求解. 【详解】如图，在Rt△ADC中，根据勾股定理可求得AC=5，=. 故选：A. 【点睛】本题考查了正弦的求法，正弦值等于直角三角形中的对边比斜边. 6. 如图，在中，，且，则长为（　　） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不能是（ ） A. −1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故的值不能是3，即D选项符合题意． 故选：D． 8. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共，列出方程即可． 【详解】解：设主干长出x个支干，则x个支干长出个小分支， 根据题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． 9. 把正方形中，点P在对角线上，且点P把线段分为两部分，如果点P到边的距离为2，那么=（ ） A. B. 1 C. 3或1 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求正切，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点P作于点F，则，，分①当时，②当时，两种情况讨论，证明，得到，从而求出，继而求出，从而得解． 【详解】解： ①当时，如图所示， 由可得， 又∵， ∴，即， 由正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，则为直角三角形， ∴， ②当时，如图所示， 由，可得， 又∵， ∴即 由正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，则为直角三角形， ∴， 综上所述：或2 故选：D． 10. 周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图．钓鱼竿的长为m．露在水面上的鱼线的长为m，刘老师想看看鱼钩上的情况．把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ） A. m B. m C. m D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，在求出，最后利用特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形——特殊角的三角函数的应用，解题关键是能利用三角函数值求出角，以及利用特殊角的三角函数值求出线段的长． 二、填空题．（每空3分，共计15分） 11. 请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ∴符合题意的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，，、相交于点，，，，则的长________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解． 【详解】解：， ， ，即， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似判定和性质，利用这些知识是解题的关键． 13. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，先根据根的定义得出，再由根与系数关系得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ． ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，由点F在上，当时，最小，利用菱形性质求出，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可． 【详解】解：连接， ∵，分别为，的中点， ∴，且， 要使最小，只要最小， 由点F在上，当时，最小， 在菱形中，， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的乘法运算是解题关键． 15. 定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作，垂足为H，然后根据三角函数的定义即可可解答． 【详解】解：如图，作，垂足为H， 在中，，即， 在中，，即， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 三、解答题 16. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算解题步骤是解答本题的关键． （1）原式分别根据负整数指数幂运算法则，绝对值代数意义以及特殊角三角形函数值化简各项后再进行加减运算即可； （2）方程移项后，运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 17. 下面是小军同学计算：的解题过程． 解：原式步骤① 步骤② 步骤③ （1）上面的计算过程中最早出现的步骤是 （填序号） （2）请写出正确的过程． 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）根据完全平方公式即可知步骤①计算错误； （2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，再进行加减计算即可． 【小问1详解】 解：根据完全平方公式和多项式的乘法法则可知上面的计算过程中最早出现错误的步骤是①． 故答案为：①； 【小问2详解】 解： ． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1） （2）如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； 【小问3详解】 ∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质； （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得： , 解得，， 若，则， 若，则， 所以，或 20. 如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】略 21. 如图，某同学通过定滑轮拉动静止在水平地面上的高为米的长方体重物，开始时与重物相连的绳子和水平面的夹角为，拉动一段距离后，绳子与水平面的夹角为，绳子的自由端（用手拉的一端）竖直向下移动了米（绳子伸缩不计），求定滑轮到地面的距离（结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】定滑轮到地面的距离约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用，设竖直方向与延长线交于点，由题意得米，设，则，根据三角函数得出，解得，理解题意，运用三角函数解三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，设竖直方向与延长线交于点， 由题意得：米， 设，则， 在中，，， ∴， 在中，，， 则， ∴， ∴，解得：, ∴， ∴定滑轮到地面的距离（米）， 答：定滑轮到地面的距离约为米． 22. 顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次． （1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额? 【答案】（1）年平均增长率为 （2）当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为，根据“顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客获得最大优惠， ， 当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 23. 【探究与证明】 （1）【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形中，，求证：”．请完成解答过程： 证明：设与交于点， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， （ ）填判定依据，用字母表示 （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长． 【答案】（1），90， （2）不成立，理由如下：设与交于点， 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，证明即可． （2）根据矩形的性质，证明即可． （3）利用三角形相似的性质计算即可． 【小问1详解】 解：设与交于点 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，90，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 补齐矩形，由于线段的三等分点有两个，故分类解答： 如图3-1，． 同（2）得，且相似比为， 中， 中，， ， ∴ ， ； 如图3-2，同理可得． 综上所述或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $