4.2.2 课时2 等差数列的前 n 项和公式应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2 课时2 等差数列的前 n 项和公式应用 1.能应用等差数列前n项和公式解决问题，培养数学运算的核心素养.（重点） 2.掌握求等差数列前n项和最值的两种常用方法，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.（重点、难点） 等差数列前n项和的公式； 五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二. (方程组思想） 前n项和公式的推导方法——倒序相加法； 例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位. 1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多? 课本P24 例9 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 通项公式法求最值 例9 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 前n项和公式法求最值 【总结】求等差数列前n项和最值的常用两种方法 方法一:通项公式法 （1）当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负或者为0, 此时所有为负或者为0的项的和为Sn的最小值. 此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值 (2)当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正或者为0, 此时所有正或者为0的项的和为Sn的最大值. 此时由an≥0且an+1≤0求n的值 方法二:前n项和公式法 等差数列{an}的前n项和公式 可化简为 当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点. 几何意义：前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点. 常数列 当d≠0 时， 是二次函数 当x = n时的函数值. 1.当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上的 过坐标原点的抛物线上孤立的点. Sn n O 1 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.（注意：如果对称轴不是整数，则取离对称轴最近的整数） 2.当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点. Sn n O 1 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.（注意：如果对称轴不是整数，则取离对称轴最近的整数） 变式：已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值. 解法1: 由S3=S11, 得 ∴ d=－2 故当n=7时, Sn取最大值49. 解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示 ∴图象的对称轴为 故当n=7时, Sn取最大值49. 7 n 11 3 Sn 解法3: ∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 , 得 故当n=7时, Sn取最大值49. 由S3=S11, 得d=－2<0 ∴a7+a8=0 a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 又d=－2<0, a1=13>0 ∴a7>0,a8<0 解法4: 由S3=S11, 得 故当n=7时, Sn取最大值49. 1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值. 课本P24 课本P24 3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，‧‧‧的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值. 解2：由已知可得 课本P24 4. 求集合M＝{m| m＝2n－1, n∈N*, 且m<60}中元素的个数，并求这些元素的和. 课本P24 课本P24 巩固练习：在等差数列{an}中，若|a3|＝|a9|，公差d＜0，则前n项和Sn取得最大值时正整数n＝(　 　) A．4或5　　　　B．5或6 C．6或7 D．7或8 B 求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法 (1) 通项法 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项． 大 小