4.2.2等差数列前n项的和公式（第2课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 （第2课时） 1 展示学习目标 1、理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系 2、理解并能应用等差数列前 项和的性质，培育逻辑推理、数学运算的核心素养； 3、能较熟练应用等差数列前n项和公式求和 环节一 例题练习，巩固应用 [例8] 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位. 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列{an} 的前项和为。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。 [例9] 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 分析1：由a1>0和d<0,可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an<0,Sn递减.这样把求Sn的最大值转化为求{an}的所有的正数项的和。 解法1：(通项公式法) 注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解. 环节一 例题练习，巩固应用 分析2 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数，当x=n时函数值。如图，当d<0时，Sn 关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n，Sn 的值。 解法2：(二次函数法) 环节一 例题练习，巩固应用 [例9] 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. [例1] 已知数列{an}的前n项和公式为Sn =n2+n，求出{an}的通项公式 解： 当n=1时，a1=2×1=2依然成立. 当n = 1时， 当n≥2时， 综上所述，{an}的通项公式是an =2n . 环节二 典例分析，研究性质 解：（1）当 n ≥ 2 时， 故数列{an}的通项公式为 当n = 1时， 不符合上式 [变式] 已知数列{an}的前n项和公式为Sn =2n2－n＋1，求{an}的通项公式. 结论：若数列{an}的前n项和是一个常数项为零的二次函数，则该数列是等差数列. 性质1 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 环节二 典例分析，研究性质 [例2] 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 求这个等差数列的前n项的和? 思考 对于上节课的这道例题中的等差数列，还有其他解法求Sn吗？ 解法： 环节二 典例分析，研究性质 证明： 教材P25 性质2 环节二 典例分析，研究性质 变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 思考 利用性质2还可以怎样解？ 解法2： 环节二 典例分析，研究性质 问题 证明： 性质3 环节二 典例分析，研究性质 变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 思考 利用性质3还可以怎样解？ 解法3： 环节二 典例分析，研究性质 环节三 小结提升，形成结构 等差数列的前n项和公式的性质 性质1 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 性质2 性质3 环节四 目标检测，检验效果 环节四 目标检测，检验效果 环节五 作业布置，迁移应用 高效作业 A组1~11，12（1） ∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列， ∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)， ∴S30＝30× ＝30×(122－31)＝2 730. ∵ 是以a1为首项，eq \f(d,2)为公差的等差数列， ∵数列{an}为等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220， ∴S30＝2 730. ∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列， 1.在等差数列 中, 为其前n项的和,若 , ,求 ． 解：设等差数列的公差为 ， 则 ，解得 ， 则 . 1.在等差数列 中, 为其前n项的和,若 , ,求 ． $$