精品解析： 山东省淄博市淄川区（五四制）2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题

初二数学试题 （时间120分满分150分） 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光． 请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初二学年第一学期的期中数 学学习画上圆满的句号!特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A. 3， 4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】A、∵32+42=52， ∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确； B、∵22+32≠42， ∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵42+62≠72， ∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵52+112≠122， ∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点据此判断即可． 【详解】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选C． 3. 如图，直线，，是截线且交于点，若，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据∠2是△ABC的外角，即可得到∠A＝∠2−∠1＝40°． 【详解】如图， ∵∠2是△ABC的外角， ∴∠A＝∠2−∠1＝100°−60°＝40°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 4. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得到PE=PD，然后利用平行线的性质及含30°角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点P作PE⊥OA于点E， ∵OP是∠AOB的平分线， ∴PE=PD． ∵PC∥OB， ∴∠POD=∠OPC， ∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°， ∴PE=PC=2， ∴PD=2． 故选B． 【点睛】角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 5. 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A. 44° B. 40° C. 39° D. 38° 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCB=×78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质． 7. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）． A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 【答案】B 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为米， 小树高为米， 过点作于，则是矩形， 连接， 米，米，米， 在中，米， 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 8. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【详解】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=72°，△ABC是等腰三角形， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD=∠DCB=36°， ∴△ACD是等腰三角形， 在△BDC中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BD=BC=BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BDE=72°，∠ADE=36°， ∴△ADE是等腰三角形． ∴图中等腰三角形共有共5个． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和、外角和，平角相关知识． 9. 如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，两点之间的距离可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称性，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性和三角形存在性是解题的关键． 连接，，根据对称性，得到，利用三角形三边关系定理计算选择即可． 【详解】解：如图，连接，，根据对称性可得：， 由条件可知 在中，∵最大， ∴ 即，选项中只有B选项符合条件． 故选：B． 10. 图，等边中，于点分别为上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′， 【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BC， ∵BD⊥AC， ∴AD=DC=AQ+QD=3.5cm， ∴AB=AC=2AD=7， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′， , ∴QD=DQ′=1.5（cm）， ∴AQ′=AD+DQ′=3.5+1.5=5(cm) ∵BP=2（cm）， ∴AP=AB-BP=7-2=5（cm） ∴AP=AQ′=5（cm）， ∵∠A=60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′=PA=5（cm）， ∴PE+QE的最小值为5cm． 故选择：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 11. 如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A. 87° B. 84° C. 75° D. 72° 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得,进而可得原三角形的∠C的度数． 【详解】由折叠的性质可知，则, ,∠CMB＝68°，∠A＝18°, 即 解得 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组的应用，掌握折叠的性质是解题的关键． 12. 如图，正方形的边长为2，面积标记为，以为底边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，面积标记为，按此规律继续作下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律,根据数值的变化找出变化规律是关键． 根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示． ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，，…， ∴． 故选：A． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 14. 请列举三个最简单的轴对称图形：_______． 【答案】等腰三角形，角和线段（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，解答即可． 【详解】解：轴对称图形有等腰三角形，角和线段， 故答案为：等腰三角形，角和线段． 15. 如图， ，FA=1，AC=3，则AD=___________. 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用全等三角形的对应边相等得到AC＝DF，再根据线段的和差求得FC即可． 【详解】解：∵， ∴AC＝DF， ∴AC﹣AF＝DF﹣AF，即AD＝FC， ∵FA＝1，AC＝3， ∴AD＝FC＝AC﹣FA＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到AD=FC是解题的关键． 16. 如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义，掌握与角平分线有关的三角形内角和的计算是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义，垂直的定义进行判定即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：15 ． 17. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 18. 如图，且，且．请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 由，，，可得到，而，，由此可得，所以，；同理证得，所以，．则，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】解：，，， ． ， ． ， ． ，， ． ，． ，，． ， ． ， ． ，， ． ，． 则． ，， 梯形的面积为：． 阴影部分面积为∶ 梯形的面积 ， 故答案为∶． 19. 如图，已知，平分，且于点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积，得出点是的中点是解题关键．延长交于点，证明出，得到，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 又， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 20. 如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为_____． 【答案】6． 【解析】 【详解】试题分析：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，∴FG是AC的垂直平分线，∴AF=CF，设AF=FC=x，在Rt△ABF中，有勾股定理得：，，解得：x=5，即CF=5，BF=8﹣5=3，∴△ABF的面积为×3×4=6，故答案为6． 考点：翻折变换（折叠问题）． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. （1）画出图中三角形的三条高． （2）如图，在中，是中线．结合图形，请你写出至少6个正确的结论． （3）利用一个点、一条线段、一个正三角形、一个正方形设计一个轴对称图形，并说明你希望表达的含义． 【答案】（1）如图所示： （2），，，，， （3）如图： 表示一个台灯． 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，等腰三角形的性质，设计轴对称图形，掌握三角形的高线和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的高线的定义作图即可； （2）根据三角形的性质解答即可； （3）设计轴对称图形即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：∵是中线， ∴，，，， ∴，，， 故正确结论为：，，，，，； （3）略 22. （1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？ （2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：． （3）如图，在中，将三等分，点在上． ①求的度数； ②写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）解：与相等，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ； （2）解： ∵垂直平分， ， ， ， ∵平分 ， ， ， 即； （3）① ②, , , , , 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定； （1）根据全等三角形的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到即可得出结论； （3）①根据已知条件和三角形的内角和得到， ， ， 由于将三等分， 于是求得，然后计算解题； ②根据外角的性质和三角形的内角和得到， 于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①∵，， ∴， ， ， ∵， 将三等分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 是等腰三角形． 23. 一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？ 【答案】（1）米 （2） 解：梯子底部不是水平方向滑动了4米，理由如下： 由题意得：米， ∴米， ∴（米）， 则：（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）先求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可得到． 【小问1详解】 解：由题意得：米，米， ∴（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有24米； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意确定直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 24. 在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，． （1）试说明； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质证出，利用AAS证明，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：≌， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 25. 如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s． （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）请求出何时△PBQ是直角三角形？ 【答案】（1）不变，∠CMQ=60°；（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）先根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP，由全等三角形的性质可知∠BAQ=∠ACP，故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出结论； （2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此两种情况即可得出结论． 【详解】解：（1）不变，∠CMQ=60°． ∵△ABC是等边三角形， ∴等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60° 又∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s． ∴AP=BQ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°； （2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm， 当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°， ∴PB=2BQ，即4﹣t=2t，t=， 当∠BPQ=90°时， ∵∠B=60°， ∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=， ∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 （时间120分满分150分） 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光． 请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初二学年第一学期的期中数 学学习画上圆满的句号!特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A. 3， 4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，12 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 3. 如图，直线，，是截线且交于点，若，，则（） A. B. C. D. 4. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　） A. 44° B. 40° C. 39° D. 38° 7. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）． A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 8. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，两点之间的距离可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 7 10. 图，等边中，于点分别为上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A. 87° B. 84° C. 75° D. 72° 12. 如图，正方形的边长为2，面积标记为，以为底边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，面积标记为，按此规律继续作下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 14. 请列举三个最简单的轴对称图形：_______． 15. 如图， ，FA=1，AC=3，则AD=___________. 16. 如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，，则______． 17. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 18. 如图，且，且．请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积为_______． 19. 如图，已知，平分，且于点，则_____________． 20. 如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为_____． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. （1）画出图中三角形的三条高． （2）如图，在中，是中线．结合图形，请你写出至少6个正确的结论． （3）利用一个点、一条线段、一个正三角形、一个正方形设计一个轴对称图形，并说明你希望表达的含义． 22. （1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？ （2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：． （3）如图，在中，将三等分，点在上． ①求的度数； ②写出图中所有的等腰三角形． 23. 一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？ 24. 在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，． （1）试说明； （2）求的长． 25. 如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s． （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）请求出何时△PBQ是直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $