27.2.2 相似三角形的性质（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“相似三角形的性质”，系统梳理对应线段、周长、面积的比与相似比的关系。通过复习相似三角形判定方法，结合模型房立柱情境问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到性质探究。 其亮点在于情境化引入（模型房立柱）培养数学眼光，多领域例题（矩形、平行四边形、圆）训练数学思维，归纳总结与当堂检测助力数学语言表达。采用问题链驱动和分层例题设计，帮助学生深化性质理解与应用，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

第27章 相似 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.2.2 相似三角形的性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 定义法：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定方法有哪几种？ 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 相似三角形的判定方法有哪几种？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 两角分别相等的两个三角形相似. 一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱. （1）△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. （2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？ 相似；三边对应成比例；相似比为1:2. 3cm BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：三角形中，除了边与角外，还有哪些重要的线段？ 高、中线、角平分线 高 角平分线 中线 思考：这些几何量在相似三角形中有什么关系呢？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . A B C A' B' C' D' D ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 相似三角形的性质 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 由前面的结论，我们有 A B C A' B' C' D' D BY YUSHEN BY YUSHEN 相似三角形面积的性质： 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方， 不要与其周长的比等于相似比混淆. A B C A' B' C' D' D BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图，△ADC∽△ ACB，AD =2, AB =6,求AC的长. 解：∵△ADC∽△ ACB， ∴ ， ∵AD =2, AB =6, ∴ ， ∴ (负值舍去)， ∴ . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF， 又 ∵∠D=∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 A B C D E F ∴ 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高 和面积. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， 面积为 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E. (1)求证：∠BAD=∠CDE； (1)证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AD⊥BC，DE⊥AC， ∴∠ADB=∠DEC=90°， ∴△ADB∽△ DEC， ∴∠BAD=∠CDE. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E. (2)若AB=10，AE=3.6，求CD的长. 解：(2)∵AB=AC=10，AE=3.6， ∴CE=6.4， ∵AD⊥BC，DE⊥AC， ∴∠ADC=∠DEC=90°， ∵∠C=∠C, ∴△ADC∽△ DEC， ∴ ，即 ， ∵CD =8 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR=时，求DE的长.如果SR=呢？ 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD ∴SR//BC ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点E是边AB的中点，DH⊥CE于点H,现将一个飞镖随机投掷到矩形ABCD内，求飞镖落在△CDH内(图中阴影部分)的概率. 解：∵矩形ABCD，AB=6,BC=4, ∴AB=CD=6,BC=AD=4,AB∥CD, ∠B=∠BCD=∠ADC=90°， ∵点E是边AB的中点， ∴BE=3,∴CE==5, ∵DH⊥CE,∴∠DHC=∠B=90°， BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点E是边AB的中点，DH⊥CE于点H,现将一个飞镖随机投掷到矩形ABCD内，求飞镖落在△CDH内(图中阴影部分)的概率. 解：∵AB∥CD,∴∠DCH=∠BEC, ∴△CDH∽△ ECB， ∴, ∵=3×4× ∴=， ∵矩形ABCD的面积为6×4=24， ∴飞镖落在△CDH内的概率为 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 EC 交对角线 BD 于点 F，若 S△DEC=3，求S△BCF. 解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD =BC， ∴△DEF∽△BCF，∴ . ∵点E是边 AD的中点， ∴DE=AE= AD= BC， ∴ ，∴ ，∴ . 又 S△DEC=3，∴S△DEF =1. ∵ ，∴ S△BCF=4. BY YUSHEN BY YUSHEN 解决面积问题的常用方法 ①直接用面积公式； ②利用相似三角形的性质； ③利用等底或等高； ④割补法. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 如图，已知平行四边形 ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD=1：3，连接 EF 交 DC 于点 G，求 S△DEG：S△CFG. 解：设 DE=x，则 AD =3x. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC，BC =AD =3x. 又点 F 是 BC 的中点， ∴ CF = BC= . ∵ AD//BC，∴△DEG∽△CFG， ∴ . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 解：①当 AE：ED = 2：3时，AE：AD = 2：5. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD//BC，AD = BC， ∴ AE：BC =2：5. ∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25. 在平行四边形 ABCD 中，E 是AD 上一点，且点 E 将 AD 分为2：3的两部分，连接 BE，AC 相交于 F，求 S△AEF：S△CBF . ②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5， 同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25. 综上， S△AEF：S△CBF = 4：25或 9：25. 注意： AE：ED要分两种情况讨论. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例9 如图，已知AB是圆O的直径，点F和G在圆O上，点C为AB延长线上一点，AE⊥CF,垂足为E,AF平分∠EAC,连接BF,AG,BG,且AG=BG. (1)求证：EC是圆O的切线； (1)证明：如图，连接OF, ∵OA=OF, ∴∠OAF=∠OFA, ∵AF平分∠EAC, ∴∠OAF=∠EAF, ∴∠EAF=∠OFA, ∴AE∥OF, ∵AE⊥CF, ∴OF⊥CF, ∴EC是圆O的切线； BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例9 如图，已知AB是圆O的直径，点F和G在圆O上，点C为AB延长线上一点，AE⊥CF,垂足为E,AF平分∠EAC,连接BF,AG,BG,且AG=BG. (2)若AG=6 (2)∵AB是圆O的直径，∴∠AFB=∠AGB=90°， 在Rt△AGB中，AB==12, ∵∠OAF=∠EAF,∠E=∠AFB=90°， ∴△AEF∽△AFB， ∴,∴AE=, 在Rt△AEF中，EF==，∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 相似三角形的性质 归纳总结 对应线段 对应高的比 周长 周长的比等于相似比 对应中线的比 等于相似比 对应角平分线的比 面积 面积的比等于相似比的平方 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它们对应中线之比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8 2. 在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12．在AB上取一点E． 使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（　　） A．16 B．14 C．16或14 D．16或9 A D 3.已知△ABC∽△ A'B'C' ，AD 和 A'D'是它们的对应中线，若 AD =10，A'D' =6，则△ABC 与△A'B'C' 的周长比是( ) A.3:5 B.9:25 C.5:3 D.25:9 C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.如图，在△ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则△EOD 的周长：△BOC的周长为( ) A.1:2 B.2:3 C.1:3 D.1:4 A 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为(　　) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.如图，已知△ABE∽△ACD,若点D为AE的中点，BE=4，则CD的长为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 7.如图，在△ABC中，若点D,E分别为AB,AC上的点，连接DE,DE∥BC,AD:BD=3:2,则AE:AC=(　　) A．2:5 B．2:3 C．3:5 D．3:2 A C 8.两个相似三角形的面积比是4:9，那么这两个三角形最大角的角平分线之比为      ． 2:3 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：① ②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是(　　) A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.如果两个相似三角形的对应高的比为 4 : 5，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是______ . 11.已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为1 : 3，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______ . 4 : 5 4 : 5 36 cm 12.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为______ . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 13.已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ (相似三角形对应 角平分线的比等于相似比)， ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C ∴ EH 的长为 3.2 cm. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 14.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE交BD于点F,若ED:EC=3:1,BD=14,求线段FD的长. 解：∵平行四边形ABCD中， ∴CD=AB,CD∥AB, ∴∠DEF=∠BAF,∠EDF=∠ABF, ∴ △DEF ∽△BAF, ∴ED:AB=DF:BF, ∵ED:EC=3:1, ∴ED:AB=DF:BF=3:4, ∴DF:BD=3:7,∴BD=14, ∴DF=6. BY YUSHEN BY YUSHEN $