第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（　　） A．1：2 B．：2 C．1： D．：1 2． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆AB，，，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　） A． B． C． D． 4．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能　　（参考数据：， A． B． C． D． 5．下列等式成立的是(　　) A．. B．. C．. D．. 6．在△ABC中，tanA=l，cosB=，则△ABC的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是纯角三角形 D．无法确定 7．如图所示，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长均为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（　　） A． B．40 C． D． 9．河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（　　） A．4米 B．8米 C．10米 D．8米 10．如图，正方形内一点E，满足为正三角形，直线交于F点，过E点的直线，交于点G，交于点H．以下结论： ①；②；③；④． 其中正确的有（　　）． A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④ 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11． 已知为锐角，且，则　 　°． 12．某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度，如图，小明在处测得教学楼CD的顶部的仰角为，向前走到达处，测得教学楼CD的顶部的仰角为，已知小明的身高AB为（眼䀧到头顶的距离可忽略不计），则教学楼CD的高度约　 　.（结果精确到，参考数据：） 13．利用无人机探照灯测量坡面的角度.如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线DA落在坡脚点处，上边缘光线DB落在斜坡点处，此时无人机离地面6米，将无人机沿水平方向前进2.5米到达点处，探照灯的上下边缘光线EC，EB落在斜坡B，C处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则　 　. 14． 如图，四边形中，，，，．连接，则的最大值为　 　． 15．如图，在矩形ABCD中，，．将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为EF，则的面积为　 　． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（10分）（1）计算： （2）计算： ． 17．（7分）已知在直角中，，，，求和大小． 18．（8分）如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2、图3是吊机的示意图，支架AB=150cm，吊杆 AM=200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37°. （1）如图 2，若AM⊥AB，求点 M到直线 BC的距离； （2）如图3，当液压杆 DE 伸长时，此时点 M 比(1)中的点 M到直线BC 的距离升高了21cm， 求∠MAB的度数.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin45°≈0.7） 19．（8分）图1是某景区塔，图2是它的测量示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是塔高AB所在的直线。为了测量塔高，在地面上点测得塔顶的仰角为，继续向前走22米到达点，又测得塔顶仰角为，此时N，C，A恰好共线，若塔顶底部米与CD交于点在同一水平线上，参考数据： （1）求塔尖高度AH. （2）若塔身与地面夹角的正切值为6(即tan∠CEB=6)，则还需要往前走多少米到达塔底E处（精确到0.1米）. 20．（8分）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼AB和楼CD之间竖直放置测角仪MN，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角∠BNE=45°，楼顶D的仰角∠DNF=68.2° 【步骤三】利用皮尺测出AM=40米，CM=20米. 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离 请你帮助兴趣小组解决以上问题.（计算结果保留整数） 参考数据：sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50，≈6.08 21．（9分）阅读材料： 关于三角函数还有如下的公式：； ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例： 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 （1）计算：； （2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底距离7米的处，测得塔顶的仰角为，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据， 22． （12分）综合与实践 23． 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一平面内. （1）求的长； （2）求楼与之间的距离的长.（参考数据：，，，）. 23.（13分）综合与探究 已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为. （1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）在轴上是否存在点使为直角三角形?若存在，确定点的坐标：若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（　　） A．1：2 B．：2 C．1： D．：1 【答案】C 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【分析】坡度是坡角的正切值。因为tan30°=，即坡度为1：． 故选C． 【点评】此题主要考查学生对坡度的掌握情况。 2． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5， AB=2CD=5， 故答案为：A. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB=2CD=5，再利用勾股定理求得BC=5，最后利用三角函数的定义即可求解. 3．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆AB，，，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的其他实际应用 【解析】【解答】解：如图，作DE⊥BC，AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F， ∴∠DEH=∠EHA=∠AFE=90°，AF∥BC， ∴四边形EFAH是矩形，∠BAF=∠ABC=60°， ∴EF=AH，∠DAF=∠DAB-∠BAF=30°， ∵AD=20cm，AB=160cm， ∴AH=ABsin∠ABC=160×=（cm），DF=AD=10（cm）， ∴EF=AH=（cm）， ∴DE=EF+DF=cm 故答案为：D. 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，作DE⊥BC，AH⊥BC，垂足分别为点E和点H，作AF⊥DE于点F，证明四边形EFAH是矩形，同时得到∠BAF=∠ABC=60°，求得AH，DF的值即可. 4．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能　　（参考数据：， A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：由题意得：某人爬了，该坡角为，则他耗能为： 故答案为：B. 【分析】根据题意得到爬了，该坡角为，则他耗能为：，进行计算即可. 5．下列等式成立的是(　　) A．. B．. C．. D．. 【答案】D 【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数的混合运算 【解析】【解答】解：对于A选项：则，故A选项不符合题意；对于B选项： 则，故B选项不符合题；对于C选项：故C选项不符合题意；对于D选项：故D选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、同角三角函数的关系，属于基础题型.对于A、B选项代入相应的特殊三角函数值即可判定，对于C、D选项根据同角三角函数之间的关系即可判定. 6．在△ABC中，tanA=l，cosB=，则△ABC的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是纯角三角形 D．无法确定 【答案】A 【知识点】求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：，， ，， ， 则的形状是锐角三角形， 故答案为：A. 【分析】根据特殊锐角三角函数值求得∠A，∠B的度数后进行判断即可． 7．如图所示，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长均为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：延长AC到D，连接BD， 如图： ∵AD2=20，BD2=5，AB2=25， ∴AD2+BD2=AB2，AD=，AB=5. ∴∠ADB=90°， ∴cos∠BAC＝. 故答案为：. 【分析】延长AC到D，连接BD，可说明AD2+BD2=AB2，可得∠ADB为直角，同时分别求出AD与AB，再求出 cos∠BAC ． 8．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（　　） A． B．40 C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】解：根据题意可得，在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【分析】先分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可． 9．河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（　　） A．4米 B．8米 C．10米 D．8米 【答案】A 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：； ∴AC==4米； 故答案为：A 【分析】根据题意解直角三角形（坡度坡角问题），进而即可求解。 10．如图，正方形内一点E，满足为正三角形，直线交于F点，过E点的直线，交于点G，交于点H．以下结论： ①；②；③；④． 其中正确的有（　　）． A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；正方形的性质；平移的性质；解直角三角形 【解析】【解答】解：∵为正三角形， ∴∠CDE=∠CED=∠ECD=60°，DE=CD， ∴∠EDA=90°-∠CDE=30°， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴DE=DA=DC， ∴∠AED=（180°-∠EDA）÷2=75°， ∴∠FEC=180°-∠CED-∠AED=45°， ∴∠AFC=180°-∠FEC-（90°-∠ECD）=105°，故①正确； 如下图：经E点作IJ垂直于AD于I，同时垂直于BC于J. 另将GH平移到BM（M在DC上）. 根据题意，明显地，IE=JE. ∵， ∴. ∴AE=EF，即AF=2EF. 由平移性质得∠BMC=∠GHC=180°-∠ECD-（90°-∠FEC）=180°-60°-45°=75°，且GH=BM. ∴∠MBC=90°-∠BMC=15°. ∵， ∴. ∴AF=BM. ∴2EF=GH，故②正确； 如下图：作FP⊥EC于P，HQ⊥EC于Q. ∵∠FEC=∠HEC=45°， ∴EP=FP，HQ=EQ. ∴ ∴，即. ∴CQ=EP ∴. ∴，故③正确； ∵AE=EF，CQ=EP， ∴，故④错误， 综上，正确的有①②③. 故答案为：A. 【分析】①、由图可知，在△EFC中若求∠AFC，则需要知道∠ECF与∠FEC的度数. 而∠ECF易知可用90°减去∠ECD（由条件△CDE为正三角形可知∠ECD=60°），那么剩下的重点就是求∠FEC. 而∠FEC可用180°减去∠CED（60°）与∠AED之和. 而∠AED为△AED内的一角，可以通过180°减去∠ADE与∠EAD之和. 而结合条件又易知△AED为等腰三角形，AD=DE，即∠AED=∠EAD，且∠ADE与∠ECF情况类似，也是30°，因此也就能得出∠AED的度数. 所以，解题过程就是：要求∠AFC，从求∠AED开始；②、首先思考等式右边的2EF，实际上就是AF，也就是要验证GH是否等于AF. GH与AF的等量关系不好直接判断，但可将GH平移到BM的位置，通过△ABF与△BCM是否全等来判定. 主要考虑到△ABF与△BCM都是直角三角形，且已经存在AB=BC，而∠BAF与∠MBC通过条件与①，也计算出是相等的，则能判定，从而证明AF=BM，即 ；③、验证的重点在于作出辅助线FP、HQ. 通过解直角三角形可知③是正确的；④、结合③的过程，以EP表示出AE与EH，最终计算出的比值从而验证④. 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11． 已知为锐角，且，则　 　°． 【答案】60 【知识点】求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】 ， 故答案为： 60 . 【分析】根据特殊角的三角函数值进行求解即可. 12．某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度，如图，小明在处测得教学楼CD的顶部的仰角为，向前走到达处，测得教学楼CD的顶部的仰角为，已知小明的身高AB为（眼䀧到头顶的距离可忽略不计），则教学楼CD的高度约　 　.（结果精确到，参考数据：） 【答案】28.9 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—含30°角直角三角形 【解析】【解答】解：如图， 依题意得，四边形ABFE和四边形EFGC均为矩形， ∠DBG=30°，∠DFG=45°，BF=20 m， 设DG=x， 由∠DGB=90°， ∴FG=DG=x， 在Rt△BGD中， ， ∴， ∴BF=BG-FG=， 解得 ∴CD=DG+CG=DG+AB=+1.6=28.9. 故答案为：28.9. 【分析】根据题意读题标量分析特殊角解直角三角形，利用特殊角的直角边比值直接设元并建立等量关系解之即可. 13．利用无人机探照灯测量坡面的角度.如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线DA落在坡脚点处，上边缘光线DB落在斜坡点处，此时无人机离地面6米，将无人机沿水平方向前进2.5米到达点处，探照灯的上下边缘光线EC，EB落在斜坡B，C处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则　 　. 【答案】 【知识点】相似三角形的应用；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图，连接，作于， 点恰好在的正上方， 是直角三角形， 又，， 根据勾股定理得， ， ∵ ， ，， ， ， 又∵， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】通过做辅助线，构造直角，根据勾股定理求出的长，易证，依据相似的性质得出，求出BE，作于，由，列比例解出和，进而求出，根据，，进而求出． 14． 如图，四边形中，，，，．连接，则的最大值为　 　． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解： 如图，过点C作CD的垂线，截取，连接BE、DE， ∵CD=3， ∴， ∴， ∵tan∠ABC=2， ∴， ∵CE⊥CD，∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCE=90°-∠ACE， ∴， ∴， 即， ∴， 当B、E、D三点共线时，BD取最大值，最大值为. 故答案为：. 【分析】过点C作CD的垂线，截取，连接BE、DE，根据勾股定理求出DE的长，证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出BE的值，根据，当B、E、D三点共线时，BD取最大值，即可得到答案. 15．如图，在矩形ABCD中，，．将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为EF，则的面积为　 　． 【答案】 【知识点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形 【解析】【解答】作DL⊥AC于点L，设EF交AC于点H，延长EF交DD'于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8， ∴CD=AB=6，∠ADC=90°， ∴AC=， ∴S△ADC=×10DL=×6×8， 解得：DL=， 根据折叠的性质可得：点D与点D'关于直线EF对称， ∴EF垂直平分AC，EF垂直平分DD'， ∴∠DLH=∠GHL=∠DGH=90°，AH=CH=AC=×10=5， ∴四边形LDGH是矩形， ∴GH=DL=， ∵∠AHF=∠ALD=90°， ∴， ∴FH=AH=×5=，AL=DL=×=， ∴D'G=DG=HL=AL-AH=，FG=GH-FH=， ∴DD'=2DG=2×=， ∴S△FDD'=DD'×FG=××=， 故答案为：. 【分析】作DL⊥AC于点L，设EF交AC于点H，延长EF交DD'于点G，先利用等面积法求出DL=，再结合求出FH=AH=×5=，AL=DL=×=，再求出DD'=2DG=2×=，最后利用三角形的面积公式求出S△FDD'=DD'×FG=××=即可. 三、解答题：共8题，共75分。 16．（10分）（1）计算： 【答案】解：原式=1+ -1+(-3)-3× =(-3)+ - =-3 【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值 【解析】【分析】原式第一项根据零指数幂的法则计算，第二项根据绝对值的意义进行计算，第三项根据负整数指数幂法则进行计算，第四项根据特殊角锐角三角函数值进行计算，最后进行加减运算即可． （2）计算： ． 【答案】解：原式 【知识点】二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值 【解析】【分析】化为最简二次根式，利用负指数幂法则计算，利用绝对值的代数意义化简，利用特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果. 17．（7分）已知在直角中，，，，求和大小． 【答案】解：∵在直角中，，，，， ∴，，即， ∴， 【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形 【解析】【分析】在直角中，由锐角三角函数cosA=并结合已知可求出AB的值；根据特殊角的三角函数值可求得∠A的度数，然后由直角三角形两锐角互余可求解. 18．（8分）如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2、图3是吊机的示意图，支架AB=150cm，吊杆 AM=200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37°. （1）如图 2，若AM⊥AB，求点 M到直线 BC的距离； （2）如图3，当液压杆 DE 伸长时，此时点 M 比(1)中的点 M到直线BC 的距离升高了21cm， 求∠MAB的度数.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin45°≈0.7） 【答案】（1）如图2中，过点 M 作 MF⊥BC，垂足为 F，过点A 作 AG⊥MF，垂足为 G. ∵∠ACB=90°，∴四边形ACFG是矩形. ∴AC=GF，∠CAG=90°. 在Rt△ACB中，AC=AB·cos∠BAC≈150×0.8=120(cm)， ∴AC=GF≈120 cm. ∵AM⊥AB， ∴∠MAB=90°. ∴∠MAG=∠BAC=37°. 在Rt△AMG中，MG=AM·sin37°≈200×0.6=120(cm)， ∴MF=MG+GF≈240 cm. （2）如图3 中，过点 M作MP⊥BC，垂足为 P，过点 A 作AN⊥MP，垂足为 N. ∵∠ACB=90°， ∴四边形ACPN是矩形. ∴AC=NP，∠CAN=90°. ∴∠BAN=∠CAN-∠CAB=90°-37°=53°. 在 Rt△ACB中，AC=AB·cos∠CAB≈150×0.8=120(cm)， ∴AC=NP≈120 cm. 由题意，得 MP=240+21=261(cm). ∴MN=MP-NP≈261-120=141(cm). 在Rt△MAN中， =∠MAN+∠BAN≈53°+45°=98°. ∴∠MAB的度数约为98°. 【知识点】解直角三角形的其他实际应用 【解析】【分析】(1)画出图像构造矩形 ACFG 和直角 △AMG，在△ACB中，利用三角函数可得AC的长，在△AMG中，可得MG的长，于是可求出MF的长； (2)在△ACB中，利用三角函数求出AC和MP、MN的长度，在△MAN中，求出即可求出∠MAB的度数. 19．（8分）图1是某景区塔，图2是它的测量示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是塔高AB所在的直线。为了测量塔高，在地面上点测得塔顶的仰角为，继续向前走22米到达点，又测得塔顶仰角为，此时N，C，A恰好共线，若塔顶底部米与CD交于点在同一水平线上，参考数据： （1）求塔尖高度AH. （2）若塔身与地面夹角的正切值为6(即tan∠CEB=6)，则还需要往前走多少米到达塔底E处（精确到0.1米）. 【答案】（1）解： （2）解： ​​​​​​​ 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】(1)根据对称轴的性质得出CH=5，再根据两直线平行，内错角相等，得出最后根据正切值求出AH (2)设AB=x，根据45°，60°的三角函数，列出方程：解出x的值，求出AB，NB，再根据（1）中AH的长，求出HB，即CG的长，再根据 tan∠CEB=6，求出EG，最后利用求出NE. 20．（8分）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼AB和楼CD之间竖直放置测角仪MN，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角∠BNE=45°，楼顶D的仰角∠DNF=68.2° 【步骤三】利用皮尺测出AM=40米，CM=20米. 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离 请你帮助兴趣小组解决以上问题.（计算结果保留整数） 参考数据：sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50，≈6.08 【答案】解：过B作BG⊥CD交于G，如图： 由测量步骤可得： 四边形AMNE、四边形CMNF、 四边形ACFE、四边形BEFG均是矩形 ∵EN=AM=40 ∴FN=CM=20， ∴EF=EN+FN=60， ∴BG=FF=60 ∵∠EMB=45°， ∴∠EBM=∠EMB=45°， ∴BE=EM=40， ∴FG=BE=40， 在Rt△DFN中 tan∠DNF= ∴DF=20×tan68.2°≈50， ∴DG=DF-FG=50-40=10， 在Rt△BGD中， 故两幢楼楼顶B，D之间的距离为608米. 【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】过B作BG⊥CD交于G，四边形ACFE、四边形BEFG均是矩形，EN=AM=40，FN=CM=20，得到BG=FF=60，利用锐角三角函数求出DF≈50，得DG=DF-FG=10，在Rt△BGD中，根据勾股定理可得BD的长. 21．（9分）阅读材料： 关于三角函数还有如下的公式：； ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例： 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 （1）计算：； （2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底距离7米的处，测得塔顶的仰角为，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据， 【答案】（1）解：； （2）解：在中，，，米， ． ， 米， （米． 答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米． 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】（1）利用公式，进而将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）在中利用正切函数的定义得到：，利用公式求出，进而得到BE的长度，即可求解. 22． （12分）综合与实践 23． 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一平面内. （1）求的长； （2）求楼与之间的距离的长.（参考数据：，，，）. 【答案】（1）解：延长和分别与直线交于点和点，则，， ∵，，， ∴， ∴， ∴（米）； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形. 在中， ， ∴， 同理在中， ，， ∴， ∴米. 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】（1） 延长和分别与直线交于点和点，则，，由三角形外角的性质可求得∠FEO的的度数，结合已知可得∠FEO=∠FOE，然后根据等角对等边得FE=FO求解； （2）由题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形ACPQ是矩形，在直角三角形PEF中，由锐角三角函数可求得FP的值，同理在直角三角形AOQ中可求得OQ的值，则AC=PQ可求解. 23.（13分）综合与探究 已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为. （1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）在轴上是否存在点使为直角三角形?若存在，确定点的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）解：将代入的解析式得：， . 将代入的解析式得：， 解得， 即. 将点和点的坐标代入，得： ， 解得：. 抛物线的解析式为. ， . （2）解：①当时，如图所示： 时， . 又 . . ，， . ②当时，则. ∴ ， 即 ， 解得：. ， . 综上所述，点的坐标为或. 【知识点】勾股定理；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用 【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+3中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点B、A的坐标，将点A、B的坐标分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式，进而将抛物线的解析式配成顶点式可得点D的坐标； （2）①当∠DNA=90°时，根据坐标与图形的性质可得点N的坐标，从而利用勾股定理算出AD即可；②当∠N'DA=90°时，由同角的余角相等得∠DN'A=∠NDA，由等角的同名三角函数值相等得 ， 据此可求出AN'的长，结合点A的坐标，即可求出点N'的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$