第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值为（　　） A． B． C． D．1 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A，若菱形的顶点分别在，反比例函数图象和轴上，则菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则旗杆BC的高为（　　） A． B．12m C． D． 5．如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 7．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡比，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（　　） A．7米 B．9米 C．12米 D．15米 8．把一副三角尺如图所示拼在一起，其中边长是3，则的面积是（　　） A． B．4 C． D． 9．如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，在矩形 中， ，E是 的中点，连接 ， ，P是 边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在 上的点 处，当 是直角三角形时， 的值为（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．计算cos260°+sin260°的值为　 　. 12．如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为1.5米，表示直角遮阳棚，墙长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为　 　米． 13．如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，E为AC上一点，EF⊥BC于F，CD与EF交于点G，若CF=2EG，则tan∠BCD的值是　 　 14．如图矩形ABCD中，，，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为　 　 . 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为　 　． 三、解答题：共8题，共75分。 16． （10分） （1）计算： （2）如图，中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交边于点D，求的度数． 17．（8分）如图，是的直径，C是上一点， C于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 18．（8分）如图，是菱形的一条对角线，点B在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整，（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求菱形的面积． 19．（8分）如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为.已知与BC的延长线交于点，山坡的坡度为(即). （1）求该建筑物的高度(即AB的长). （2）求此人所在位置P的铅直高度(测倾器的高度忽不计，结果保留根号形式). 20．（8分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．（参考数据，，） （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点时，，求QN． 21．（8分）阅读材料，回答问题： 小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ，AB=c=2，那么 = =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 = = 的关系． 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： （1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？ （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）． 22． （12分）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）. 课题 测量旗杆的高度 成员 组长××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内.点C，D，E在同一条直线上，点E在上. 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是 ▲ m. 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度. （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 23． （13分）综合与探究 在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； （2）如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； （3）如图3，若为等边三角形，连接，为线段上一点，且，为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接、．当取得最小值时，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：tan45°=1； 故答案为：D． 【分析】正切等于对边与邻边的比值，等腰直角三角形的两条直角边相等，比值为1。 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】由图可得 故答案为：B. 【分析】根据网格特点求得再根据正切的定义求解即可. 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A，若菱形的顶点分别在，反比例函数图象和轴上，则菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形 【解析】【解答】解：过点A作轴于点E，轴于点F， 如图：联立得，解得：， ∴点A的横坐标为， 把代入得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 设， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，负值舍去， 故选：B． 【分析】由直线的特点知，根据菱形的性质得出，，设，得出，把代入得：，求出m的值即可． 4．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则旗杆BC的高为（　　） A． B．12m C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 由题意得：AD=6m， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°， ∴（m）， 在Rt△ACD中，∠CAD=60°， ∴（m）， ∴（m）， 故答案为：C. 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD=6m，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可求解. 5．如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形 【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，AE⊥BC， ∴∠AFO=∠CEO=90°， 又∵， ∴∠C=∠A， ∵CD为直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠AOD=2∠C， J即∠AOD=2∠A， ∵∠AFO=90°， ∴∠A=30°， ∵AO=1， ∴OF=AO=，AF=OF=， 同理CE=，OE=， 连接OB， ∵CD⊥AB，AE⊥BC， ∴由垂径定理得：BF=AF=，BE=CE=， ∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=××+=， 故答案为：C． 【分析】根据垂径定理得AF=BF，CE=BE，，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，根据三角形的面积公式，即可得解． 6．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：连接BD，过点D作DE⊥AB于点E， 由图2，可知当点P运动到点D-C时，△PAB的面积不变，最大为， ∵菱形ABCD，∠A=60°， ∴AD=BA， ∴△ABD是等边三角形， ∵设点P的运动路程为x，△APB的面积为y， ∴AE=x，， ∴， 解之：（取正值） ∴ 故答案为：B 【分析】连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，由图2，可知当点P运动到点D-C时，△PAB的面积不变，最大为，利用菱形的性质及∠A=60°，可证得△APB是等边三角形，利用等边三角形的性质，可表示PE的长，然后可以三角形的面积公式，可得到关于x的方程，解方程求出x的值. 7．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡比，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（　　） A．7米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】A 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【解答】解：如图所示： ∵腰的坡度为i=2：1，路基高是4米， ∴DE=2米． 又∵EF=AB=3． ∴CD=2+3+2=7米． 故答案为：A． 【分析】根据题意解直角三角形求出DE，进而即可求解。 8．把一副三角尺如图所示拼在一起，其中边长是3，则的面积是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的面积；勾股定理；求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系 【解析】【解答】解：过点A作AE⊥DE交DC的延长线于点E，如图， 由题意得，AB=AC=3，∠CAB=90°， ∴ BC=， ∵ ∠CBD=30°， ∴ CD=tan∠CBD×BC=， ∵ ∠ACE=45°，AE⊥DE， ∴ AE=， ∴ △ACD的面积==. 故答案为：C. 【分析】过点A作AE⊥DE交DC的延长线于点E，由等腰直角三角形性质及勾股定理可得BC，再根据∠CBD的正切函数及特殊锐角三角函数值可得CD，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得AE，再根据三角形的面积公式，即可求得. 9．如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，如下图所示： ∵△ABC为等边三角形，且OB、OC分别为∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°， ∴△OBC为等腰三角形，由“三线合一”可知： BH=CH=BC=， ∴BO=BH=4， ∵绕点O逆时针旋转得到， ∴∠2=30°=∠1， ∴△OBM为等腰三角形，由“三线合一”可知： BF=BO=2， ∴MO=BM=BF=， ∴MB1=OB1-OM=OB-OM=， 又由旋转可知∠B=∠B1=30°，且对顶角∠BMO=∠DMB1=120°， ∴∠MDB1=180°-∠B1-∠DMB1=180°-30°-120°=30°， ∴△MB1D为等腰三角形， ∴MD=MB1=， ∴CD=BC-MD-BM=， ∵对顶角∠EDC=∠MDB1=30°，且∠ACB=60°， ∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=90°， ∴△CDE为30°、60°、90°直角三角形， ∴DE=CD=. 故答案为：B. 【分析】过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，根据等边三角形的性质以及角平分线的概念可得∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得BH=CH=，然后求出BO，根据旋转的性质可得∠2=30°=∠1，由等腰三角形的性质可得BF=BO=2，然后求出MO、MB1，易得△MB1D为等腰三角形，则MD=MB1，由CD=BC-MD-BM可得CD，推出△CDE为直角三角形，然后根据三角函数的概念进行计算. 10．如图，在矩形 中， ，E是 的中点，连接 ， ，P是 边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在 上的点 处，当 是直角三角形时， 的值为（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】B 【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6， ∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE=3， ∴AE= ， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处， ∴PD′=PD， 设PD′=PD=x，则AP=6-x， 当△APD′是直角三角形时， ①当∠AD′P=90°时， ∴∠AD′P=∠B=90°， ∵AD∥BC， ∴∠PAD′=∠AEB， ∴△ABE∽△PD′A， ∴ ， ∴ ， ∴x= ， ∴PD= ； ②当∠APD′=90°时， ∴∠APD′=∠B=90°， ∵∠PAE=∠AEB， ∴△APD′∽△EBA， ∴ ， ∴ ， ∴x= ， ∴PD= ， 综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD= 或 ， 故答案为：B． 【分析】本题需要分情况讨论，当∠AD′P=90°时，当∠APD′=90°时，再利用折叠的性质及相似三角形的性质列出表达式求解即可。 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．计算cos260°+sin260°的值为　 　. 【答案】1 【知识点】求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解： 故答案为：1. 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值可得：，代入原式可得：，通过计算可得出答案. 12．如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为1.5米，表示直角遮阳棚，墙长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为　 　米． 【答案】1.2 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】解：如图，过点作地面的平行线，过点作， 太阳光与地面的最大夹角为， ， 垂直于地面， ， ，， 四边形是矩形， ，， 米，米， （米， 米， ， ，即， 解得（米， 遮阳棚水平宽应设计为1.2米． 故答案为：1.2． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意可知当太阳光线恰好与平行时，此时太阳光刚好不射入室内，过点作地面的平行线，过点作，根据题意先证明四边形是矩形，利用线段的运算求出米，再根据直角三角形的正切函数可得，代入数据可求出的长． 13．如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，E为AC上一点，EF⊥BC于F，CD与EF交于点G，若CF=2EG，则tan∠BCD的值是　 　 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：过点作与，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则 ，， 则，， ∵， ∴，即，整理得： 即：，令， 则，解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【分析】过点作与，则，由题意可知，，，则，，可得，，进而可知，设，，则，，可得，，根据，得，即，令，则，解得，即可得解. 14．如图矩形ABCD中，，，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为　 　 . 【答案】 【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD=1，CD=， ∵AC=2，tan∠CAB= ， ∴∠CAB=30°， ∵线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF， ∴∠CAE=∠BAF=90°， ∴∠BAG=60°， ∵AG=AB=， ∴阴影部分面积=S△ABC+S扇形ABG-S△ACG． 故答案为：﹣． 【分析】根据勾股定理求出AC，由三角函数的定义式求出∠CAB=30°，根据旋转的性质得到求得∠BAG=60°，最后根据扇形的面积公式求解即可。 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为　 　． 【答案】4 【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形 【解析】【解答】解：过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G， 设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x， ∴∠ADF=2α，∠B=2β，AB=AD+BD=x+1， ∵∠ACB=90°，AD=AC， ∴∠ACD=∠ADC=∠ACB-∠BCD=90°-α ∵∠ADC=∠BCD+∠B=α+2β， ∴90°-α=α+2β， ∴2α+2β=90°， ∵在Rt△DFG中，∠FGD=90°-∠FDA=90°-2α=2β， ∴∠FGD=∠B， ∵， ∴ 解之：， ∴； ∵∠FGD=2β，∠BAE=β， ∴∠GFA=∠FGD-∠BAE=β=∠BAE， ∴GF=AG， 在Rt△FGD中， FG2+DF2=GD2即AG2+4=（x-AG）2， 解之：， 解之：x1=4，x2=0（舍去）， ∴AD=4. 故答案为：4 【分析】过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，可表示出∠ADF，∠B，AC=AD=x，可表示出BA的长，再利用等腰三角形的性质可得到2α+2β=90°，；再证明∠FGD=∠B，利用解直角三角形可得到方程，解方程表示出DG，AG的长；利用三角形的外角的性质可表示出∠GFA，利用等角对等边可证得GF=AG，在Rt△FGD中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长. 三、解答题：共8题，共75分。 16． （10分） （1）计算： （2）如图，中，，，以点A为圆心，为半径画弧，交边于点D，求的度数． 【答案】（1）解： ； （2）解：由作图语句可知，， ， 在中，外角， ． 【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算 【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值，代入特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）根据作图得AD=AC，从而可求出∠ADC的度数；再根据三角形外角的性质即可得到结论. 17．（8分）如图，是的直径，C是上一点， C于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）（1）解：如图，连接， ∵经过圆心， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形 【解析】【分析】（1）如图，连接，先由垂径定理得到垂直平分，得到，再证明，得到，由是的切线，推出，即，即可证明是的切线． （2）如图所示，连接，由是的直径，得到，进而证明，进一步证明，推出，在中，，由此求出，，则，即可得到． （1）解：如图，连接， ∵经过圆心， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）如图，是菱形的一条对角线，点B在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整，（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）解：如图：四边形ABCD即为所求. （2）解：设AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，，， ∵∠CAB=30°， ∴， ∴BD=2BO=6， ∴菱形ABCD的面积为． 【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】（1）先作线段AC的垂直平分线，交AE于点B，再以点A为圆心，以AB为半径画弧，交线段AC的垂直平分线于点D，连接AD、BC、AD，则四边形ABCD即为所求的菱形ABCD； （2）设AC与BD相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直且平分得出AC⊥BD，，，根据锐角函数的定义求出OB=3，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半求出BD=2BO=6，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行计算即可求解． 19．（8分）如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为.已知与BC的延长线交于点，山坡的坡度为(即). （1）求该建筑物的高度(即AB的长). （2）求此人所在位置P的铅直高度(测倾器的高度忽不计，结果保留根号形式). 【答案】（1）解：在中，BC=60，∠ACB=60°， ∴， ∴ ∴该建筑物的高度AB的长为m； （2）解：过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BD于点F，如图， ∴∠EBF=∠BFP=∠PEB=90°， ∴四边形EBFP是矩形， ∴PF=EB，EP=BF， 设PF=x，则EB=x， ∵在中，， ∴CF=2x， 又∵BC=60， ∴BF=BC+CF=60+2x， ∵∠APE=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴AE=EP， ∵，EB=x， ∴， ∴， ∴， 即此人所在位置P的铅直高度为m. 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题 【解析】【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BD于点F，易证四边形EBFP是矩形得到PF=EB，EP=BF.设PF=x，利用题目条件及三角函数关系式把CF用含x的式子表示出来，从而得到BF，根据题目条件求得是等腰直角三角形后把AE用含x的式子表示出来，根据EP=BF得到关于x的方程，解方程求出x即可得到答案. 20．（8分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．（参考数据，，） （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点时，，求QN． 【答案】（1）解：过点P作，垂足为G，延长ME交PG于点F， 由题意得：，，， 在中，， ，∴， ∴， ∴点P到地面的高度约为4m； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【知识点】解直角三角形的其他实际应用 【解析】【分析】 （1）过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，根据已知条件及锐角三角函数，线段和差关系进行计算即可； （2） 根据已知条件及勾股定理，线段和差关系进行计算即可. 21．（8分）阅读材料，回答问题： 小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ，AB=c=2，那么 = =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 = = 的关系． 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： （1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？ （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）． 【答案】（1）解： ∵ =c， =c， =c， ∴“ = = ”成立， 故答案为成立． （2）解： 作CD⊥AB于D． ∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°， ∴sinA= ，sinB= ， ∴ = ， = ， ∴ = ， 同理，作AH⊥BC于H，可证 = ， ∴ = = ． 【知识点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义可得结论； （2）作CD⊥AB于D．在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°， 在Rt△ADC和Rt△BDC中，写出sinA，sinB， 同理 作AH⊥BC于H，可得到sinB、sinC，即可解决问题. 22． （12分）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）. 课题 测量旗杆的高度 成员 组长××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内.点C，D，E在同一条直线上，点E在上. 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是 ▲ m. 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度. （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 【答案】解：任务一：5.5 任务二：由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（m）， 答：旗杆GH的高度为. 任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等. 【知识点】锐角三角函数的定义；平均数及其计算 【解析】【解答】解：任务一：平均值：， 故答案为：5.5； 【分析】任务一：根据平均数公式可求解； 任务二：由矩形的性质可得EH=AC，CD=AB；设EG=xm，在直角三角形DEG中，根据锐角三角函数tan31°=可将DE用含x的代数式表示出来，在直角三角形CEG中，根据锐角三角函数tan26.7°=可将CE用含x的代数式表示出来，然后根据线段的构成CD=CE-DE可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是GH=GE+EH可求解. 23． （13分）综合与探究 在中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； （2）如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； （3）如图3，若为等边三角形，连接，为线段上一点，且，为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接、．当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）解：∵AB=AC，∠B=70°， ∴， ∵， ∴ 由旋转的性质，得AD=AC， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， （2）证明：延长至，使得，如图所示， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ （3） 【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；旋转的性质 【解析】【解答】（3）解： ∵，则，以为边作等边，作的外接圆，如图所示， ∴ ∴在的上运动， 如图所示，作关于的对称点，连接，作交的延长线于点，连接， ∴， 设，则 又∵ ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ∵关于的对称点 ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴在上运动， ∴当，且三点共线时，取得最小值，过点作于点，则，重合，重合，与的交点为，如图所示， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴是等腰直角三角形， ∴ 当取得最小值时，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图所示， 设 ∵， ∴， ∴在中， ∴ 在中， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∴ 即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出∠ACB和∠BAC的度数，根据平角的定义得出∠ACD的度数，根据旋转的性质，结合等腰三角形的判定即可得证； （2）延长HD至K，使得DK=BH，根据SAS证明，，，根据是等腰直角三角形和全等三角形的性质即可得证； （3）作等边三角形ABT和它的外接圆，先确定K在上运动，作A关于BC的对称点J，连接BJ和MJ，作AL⊥AB交BC的延长线于点L，连接JN和NL， 进而得出N在LJ上运动，当ON⊥LJ，且O、K、N三点共线时，KN取得最小值，过点O作OS⊥LJ于点S，则K，重合，N、S重合，OS与BC的交点为，求得，过点K作KF⊥BC于点F，过点A作AE⊥BD于点E，过点O作OG⊥AB于点G，过点K作KH⊥BO于点H，进而解直角三角形，求得KF、KD、AE，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$