专题14 图形的运动（压轴题，期末预测25题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

专题14 图形的运动（压轴题，期末预测25题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，求的度数； (2)如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，当旋转的角度α为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，当射线，，，构成伴随角时，直接写出旋转的时间． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，（b＞a＞0），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△． (1)画出△． (2)将△ABC沿射线CB方向平移，平移后得△． ①当平移距离等于a（点C2和点B重合）时，求四边形的面积．（用a，b的代数式表示） ②若a＝1，b＝2，当△的面积和△的面积相等时，平移距离多少？（直接写出答案） 3．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角. (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则______； (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由. 4．如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 5．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线OC，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度，______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是______秒． 6．一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度； (2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．． ①用含的代数式表示：（________）°； （________）°； ②当为何值时，边平分； ③直接写出当为何值时， 7．一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，是的内半角，则____，若，_____； (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？请说明理由； (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 9．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线在的内部，且，则是的内半角，根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内半角，则______，______． (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值． (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，请求出的值． 10．如图，一副三角板的边在直线上，直角顶点C、M分别在直线的上方和下方，． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，则 ； (2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转到图2的位置，使在的内部，求的度数； (3)将图1中的三角板同时绕点O按逆时针方向旋转，速度分别为每秒和每秒，当三角板第一次旋转到起始位置时，一副三角板都停止运动．设运动时间为t秒，当直线恰好平分时，求t的值． 11．新定文：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内半角，则________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值； (3)如图3，已知，把三角板如图3放置（），、分别以和按照顺时针方向转动一周，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值． 12．如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 13．如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点；，若与互为“伙伴角”，求的度数； (3)如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 15．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线．    (1)一个角的角平分线 ___________这个角的奇妙线．（填是或不是） (2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为． ①当t为何值时，射线是的奇妙线？ ②若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止旋转．请求出当射线是的奇妙线时t的值． 16．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，其中E点在边上，F、G分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图2，其中； 乙同学的操作如图3，落在所在直线上； 丙同学的操作如图4，落在上，落在上． (1)求出图2中的度数； (2)直接写出图3中的度数； (3)直接写出图4中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． 17．问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    18．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 19．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由． (3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 20．一副三角尺按如图所示摆放，将三角尺绕点以每秒15°的速度顺时针旋转，同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，三角尺的直角边与重合时停止旋转，三角尺也停止旋转，设运动的时间为． (1)用含的代数式表示：______；______； (2)当为何值时，？ (3)下列三个问题，依次按易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题完成做答． ①当为何值时，与重合？ ②当为何值时，？ ③在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 21．如图，在的内部绕点O自由旋转，旋转过程中、的大小始终保持不变，其中．首先绕点O顺时针匀速旋转，旋转速度为每秒，旋转开始前与重合，当旋转至与重合时，立即再以另一速度绕点O逆时针匀速旋转，当旋转至与重合时，旋转停止，设时间为t秒，记，W用含t的代数式表示，已知绕点O顺时针匀速旋转过程中，当和时，与之对应的W的两个值互为相反数；从开始旋转到最后停止，整个过程总用时秒． (1)绕点O顺时针匀速旋转过程中，W的值的变化情况：______（填“由负到正”或“由正到负”）； (2)求的大小及逆时针旋转时的速度； (3)在整个旋转过程中，若，直接写出t的值． 22．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 23．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 24．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 25．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 图形的运动（压轴题，期末预测25题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，求的度数； (2)如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，当旋转的角度α为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，当射线，，，构成伴随角时，直接写出旋转的时间． 【答案】(1) (2)旋转的角度为时，是的伴随角 (3)当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角 【分析】（1）根据伴随角的定义可求得，进一步解答即可； （2）首先求得，然后根据伴随角的定义进一步解答即可； （3）根据伴随角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：已知，，是的伴随角， ， ； （2）解：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至， ， ， 是的伴随角， ， ， 旋转的角度为时，是的伴随角； （3）解：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 如图2， 是的伴随角，， ， ， ， ； 如图3， 是的伴随角，， ， ， ， ， 如图4， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角． 【点睛】本题考查了角的计算，角的和差及一元一次方程的应用，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，（b＞a＞0），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△． (1)画出△． (2)将△ABC沿射线CB方向平移，平移后得△． ①当平移距离等于a（点C2和点B重合）时，求四边形的面积．（用a，b的代数式表示） ②若a＝1，b＝2，当△的面积和△的面积相等时，平移距离多少？（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①四边形的面积为，②平移距离为2.5或3.5 【分析】（1）根据旋转的性质和方向，画出示意图即可； （2）①把四边形的面积分割成梯形与三角形的面积之和计算即可； ②设平移的距离为h，分h小于a+b和大于a+b，两种情形求解即可． 【详解】（1）根据旋转的性质，画图如下， 则△即为所求． （2）①当平移距离等于a（点C2和点B重合）时，如图所示， = =． ②∵a＝1，b＝2，如图2所示，设平移的距离为h， 当△的面积和△面积相等时，根据题意，得， ∴， 解得h=2.5； ∵a＝1，b＝2，如图3所示，设平移的距离为h， 当△的面积和△面积相等时，根据题意，得， ∴， 解得h=3.5； ∴当△的面积和△面积相等时，平移距离为2.5或3.5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，图形面积分割法计算，正确进行图形分割和分类计算是解题的关键． 3．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角. (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则______； (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角. 【分析】（1）根据内半角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴ ∵， ∴， （2）∵， ， ∴，， ∵是的内半角， ∴， ∴， ∴旋转的角度为21°时，是的内半角； （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：，∴； 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角. 【点睛】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 4．如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解； （2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解； （3）由题得从而可求，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图 为所求三角形； （2）解：由旋转得 ， ， ； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 由图得： ， 整理得： 解得：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握、之间的转换运算利用面积法求线段的长是解题的关键． 5．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线OC，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度，______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是______秒． 【答案】(1)120；150 (2)，理由见解析 (3)6或24 【分析】（1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出、的度数； （2）首先根据求出，然后根据，判断出与之间满足什么等量关系即可． （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分， ∴， ∴． ． 故答案为：120；150； （2）解：， 理由：如图3， ， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 故答案为：6或24． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，以及旋转的性质，解题的关键是认真观察图形，并动中找静，分析出角之间的关系． 6．一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度； (2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．． ①用含的代数式表示：（________）°； （________）°； ②当为何值时，边平分； ③直接写出当为何值时， 【答案】(1) (2)①，②③t为5秒或秒 【分析】（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案； （2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可； ②根据角平分线平分角，结合平角的定义，列出方程，解方程即可得到答案； ③分与相遇前和相遇后两种情况分析解答即可； 【详解】（1）解：当时，旋转的角度为， ∴边经过的量角器刻度线对应的度数是； （2）①当旋转时间为时，则，； 故答案为：，； ②如图， 由旋转可得，， 平分，， ， ， ， ， ， 解得：， 当秒时，边平分； ③在三角尺和三角尺旋转前，， 而， 分两种情况：与相遇前， 则： ， 解得：， 与相遇后，则： ， 解得：， ∴当t为5秒或秒时，． 7．一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①秒；②当秒或秒时， 【分析】（1）根据三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，进行计算即可得到答案； （2）①由旋转可得，，由角平分线的定义可得，从而得到，最后由，列出方程，解方程即可得到答案； ②分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转， 当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是：， 故答案为：85； （2）解：①如图， 由旋转可得，， 平分，， ， ， ， ， ， 解得：， 当秒时，边平分； ②设运动时间为秒，则由旋转可得，， 如图，当在左侧时， 此时，， 若， ， 解得：； 如图，当在右侧时， 此时，， 若， ， 解得：， 综上所述，当或秒时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 8．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，是的内半角，则____，若，_____； (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？请说明理由； (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或30或90 【分析】本题考查了新定义，角的相关计算，旋转的性质，解题关键是理解什么是内半角的定义． （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； （3）①如图4所示，此时是的内半角， 设旋转时间为t， 由旋转性质可知：， ∴，， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ②如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ③如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ④如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：（此情况不符合题意，舍去）； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30或90． 9．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线在的内部，且，则是的内半角，根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内半角，则______，______． (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值． (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，请求出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）本题主要考查了角的和差，先根据题意算出的度数，再利用即可解答；弄清楚角之间的关系是解题的关键； （2）本题主要考查看旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值即可；掌握内半角的定义是解题的关键； （3）本题主要考查了旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可．掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即，解得：． ∴的值为． （3）解：①如图4：此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即，解得：； ②如图：此时是的内半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即，解得：； ③如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即，解得：； ④如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即，解得：． 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或或或． 10．如图，一副三角板的边在直线上，直角顶点C、M分别在直线的上方和下方，． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，则 ； (2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转到图2的位置，使在的内部，求的度数； (3)将图1中的三角板同时绕点O按逆时针方向旋转，速度分别为每秒和每秒，当三角板第一次旋转到起始位置时，一副三角板都停止运动．设运动时间为t秒，当直线恰好平分时，求t的值． 【答案】(1)30 (2) (3)或 【分析】（1）由，再根据旋转角的定义即可得到结论； （2）由，易得，代入即可求的度数； （3）先根据已知条件设的旋转角度为，的旋转角度为，再根据直线恰好平分，分三种情况列出方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，图1中的三角板绕点O逆时针旋转， ，， ， 故答案为：30； （2）解：， ； （3）解：设的旋转角度为，的旋转角度为， 如图1， 此时：， 解得：； 如图2， 此时：， 解得； 但当时，，不符合实际； 如图3， 此时：， 解得， 综上，或． 【点睛】本题考查角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键． 11．新定文：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内半角，则________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值； (3)如图3，已知，把三角板如图3放置（），、分别以和按照顺时针方向转动一周，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)3或12或21或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，掌握内半角的定义是解题的关键． （1）先根据题意算出的度数，再利用即可解答； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值即可； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有五种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即，解得：． ∴的值为． （3）解：如图3-1所示，当，且是的内半角时， ∴， 解得（舍去）； 如图3-2所示，当，且是的内半角时， ∴， 解得； 如图3-2所示，当，且是的内半角时， ∴， 解得； 如图3-4所示，当，且是的内半角时， ∴， 解得； 如图3-5所示，当，且是的内半角时， ∴， 解得； 综上所述，当t的值为3或12或21或时，射线、、、构成内半角． 12．如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 【答案】(1)①；② (2)，成立，理由见详解 (3)当时，射线旋转的时间t的值为或 【分析】本题主要考查角的变换计算与角的和差运算，角平分线的性质，解一元一次方程的综合，掌握角平分线的性质与角的和差运算，射线运动与角度数量关系是解题的关键． （1）根据题意，，①根据图示得，由此即可求解；②根据图示得，由此即可求解； （2）解析方法与②的类似； （3）根据题意，分类讨论，①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线；②如图所示，射线追上射线；运用角平分线的性质，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∵直角三角尺， ∴， ∵平分， ∴， ①若， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②根据上述的证明可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，成立，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止， ∴旋转一周的时间为：（秒）， ∵射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转， ∴当停止时，射线旋转的度数为：， 根据题意，设运动时间为，射线的运动速度比的速度快， ①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线， ∴，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； ②如图所示，射线追上射线， 根据①中证明，当时，，即当时，射线与射线重合， ∴当时，， 根据题意，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； 综上所示，当时，射线旋转的时间t的值为或． 13．如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②存在，或，理由见解析 【分析】（1）当与互余时有以下两种情况：（ⅰ）当在的上方时，（ⅱ）当在的下方时，根据两种不同情况画出图形，计算出的度数即可； （2）①当，画出图形，计算出的度数即可； ②依题意得：，然后分两种情况讨论如下：（ⅰ）当在内部时，（ⅱ）当在内部时，根据两种不同情况画出图形，计算出的度数即可． 【详解】（1）解：若与互余， 有以下两种情况： （ⅰ）当在的上方时，如图1所示： 点在直线上，， ， ， 与互余， ， 即， ； （ⅱ）当在的下方时，如图2所示： ， 与互余， ， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． （2）解：①，如图3所示： 点在直线上，， ， 平分， ， ； ②存在，或，理由如下： 依题意得：， 分两种情况讨论如下： （ⅰ）当在内部时，如图4所示： 与互余， ， 即， ， 平分， ， 当与互余时，； （ⅱ）当在内部时，如图5所示： 与互余， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 当与互余时，． 综上所述：当或时，使得与互余． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，互为余角的定义，角的计算，理解角平分线的定义，互为余角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 14．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点；，若与互为“伙伴角”，求的度数； (3)如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)的值为或． (3) 【分析】本题主要考查了新定义、折叠以及角的和差运算等知识点，一元一次方程的应用，掌握折叠的性质以及方程思想的应用是解答本题的关键． （1）按照“互优角”的定义，建立方程求解即可； （2）按照“互优角”的定义可得或，再建立方程解答即可； （3）按照“互优角”的定义可得，再结合轴对称的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． （2）∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或． （3）∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， 由对折可得：，，而， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 15．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线．    (1)一个角的角平分线 ___________这个角的奇妙线．（填是或不是） (2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为． ①当t为何值时，射线是的奇妙线？ ②若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止旋转．请求出当射线是的奇妙线时t的值． 【答案】(1)是 (2)①9或12或18；②或或 【分析】（1）根据角平分线的定义和“奇妙线”的定义进行计算即可； （2）①分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别列出方程进行求解即可； ②分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“奇妙线”； 故答案为：是． （2）解：①依题意有： A．当时， ， 解得：； B．当时， ， 解得； C．当时， ， 解得：； 故当t为9或12或18时，射线是的“奇妙线”； ②依题意有 A．当时， ， 解得：； B．当时， ， 解得； C．当时， ， 解得：． 故当射线是的奇妙线时t的值为或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，新定义运算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 16．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，其中E点在边上，F、G分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图2，其中； 乙同学的操作如图3，落在所在直线上； 丙同学的操作如图4，落在上，落在上． (1)求出图2中的度数； (2)直接写出图3中的度数； (3)直接写出图4中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解． （3）根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解． （4）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1） ， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2） 由折叠的性质得：，， ， ， ， 即， ； （3） 由折叠的性质得：，， ， ， ， 即； （4） 分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：，， ， ， 即， ， ； ②当与重叠时，如图2所示： 由折叠的性质得：，， ， 又， ， 即， ． 综上所述：的度数为或． 17．问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    【答案】（）；（）度数不会发生变化，为；（）或． 【分析】（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）由，可判断出与重合前（含重合）和与重合后这两个阶段不存在满足条件的值，由此得到满足条件的值在与重合后到与重合时这个阶段，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了角的旋转，角的计算及角平分线的定义，能通过图形找到所求角的和差关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在直线上，，， ∴， ∵为平分线， ∴， 故答案为：； （）∵将三角板绕点逆时针旋转， ∴，， ∵平分，为平分线， ∴， ， ∴， ∴度数不会发生变化，为； （）由图可知，当与重合前（含重合）和与重合后，， ∴在这两个阶段不存在满足条件的值， 当与重合后到与重合时， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，的值为或． 18．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 【答案】问题探究：见详解 类比探究：秒或秒或秒 问题拓展：不变， 【分析】本题考查了角分线的定义、旋转的性质、角度的加减等知识，由图和正确分类讨论是解题的关键． 问题探究：利用已知条件，旋转的性质和角平分线定义即可得出答案； 类比探究：由分类讨论和旋转的性质，结合题意即可得出答案； 问题拓展：通过设未知数，并根据角的和与差的运算消去未知数即可得出答案． 【详解】解： 问题探究：由题意可知， 、、组成的图形为“角分图形”； 类比探究： 当射线在中间时 此时位于上方，且 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 综上所述，秒或秒或秒； 问题拓展： 不变，差值为 设， ． 19．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由． (3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，一元一次方程的应用，掌握分类讨论是解题的关键． （1）根据折叠的性质解题即可； （2）根据折叠的性质计算即可解题； （3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ∴； （2）解：，理由为： 由折叠可得：，， ∴， ∴； （3）如图1所示，由折叠可得：，， ∴ ， 当时，， 解得； 如图3，， 当时，， 解得：；    如图4所示，， 当时，， 解得：；    综上所述，的度数为或或时，和中，当其中一个角是另一个角的3倍时． 20．一副三角尺按如图所示摆放，将三角尺绕点以每秒15°的速度顺时针旋转，同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，三角尺的直角边与重合时停止旋转，三角尺也停止旋转，设运动的时间为． (1)用含的代数式表示：______；______； (2)当为何值时，？ (3)下列三个问题，依次按易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题完成做答． ①当为何值时，与重合？ ②当为何值时，？ ③在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)①  ②  ③或或，理由见解析 【分析】本题考查旋转求角度问题，涉及三角板、旋转性质、平角定义、角平分线定义及角的和差倍分关系等知识，根据题意，数形结合表示出各角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． （1）由旋转性质，三角板特征，数形结合列式求解即可得到答案； （2）根据题意，分类讨论：①与重合前；②与重合后两种情况，数形结合，列方程求解即可得到答案； （3）①数形结合，由平角为列方程求解即可得到答案；②数形结合，由后角度之间的和差关系列方程求解即可得到答案；③根据题意，分类讨论：i：当射线是由射线、射线的角平分线时；ii：当射线是由射线、射线的角平分线时；iii：当射线是由射线、射线的角平分线时；数形结合，由角平分线定义及平角为列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：三角尺是等腰直角三角形，且绕点以每秒15°的速度顺时针旋转， ； 三角尺是含的直角三角形，且绕点以每秒的速度逆时针旋转， ； 故答案为：，； （2）解：①如图所示： ∵，，，， ∴，解得； ②如图所示： ∵，，，， ∴，解得， ∴综上所述，当为或时，； （3）解：①∵与重合，如图所示： ∴， ∵，， ∴，解得， ∴当为时，与重合； ②当时，如图所示： ∴， i：∵， ∴，解得； ii：∵， ∴，解得， ∵与重合时，三角尺停止旋转， ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上所述，当为时，； ③i：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图所示： ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得； ii：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图所示： ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得； iii：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图所示： ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得； 综上所述，的值为或或． 21．如图，在的内部绕点O自由旋转，旋转过程中、的大小始终保持不变，其中．首先绕点O顺时针匀速旋转，旋转速度为每秒，旋转开始前与重合，当旋转至与重合时，立即再以另一速度绕点O逆时针匀速旋转，当旋转至与重合时，旋转停止，设时间为t秒，记，W用含t的代数式表示，已知绕点O顺时针匀速旋转过程中，当和时，与之对应的W的两个值互为相反数；从开始旋转到最后停止，整个过程总用时秒． (1)绕点O顺时针匀速旋转过程中，W的值的变化情况：______（填“由负到正”或“由正到负”）； (2)求的大小及逆时针旋转时的速度； (3)在整个旋转过程中，若，直接写出t的值． 【答案】(1)由负到正 (2)， (3)或18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、角的计算等知识点，理解题意、表示出相关角以及分类讨论思想是解题的关键． （1）在绕点O顺时针匀速旋转过程中，从逐渐增大到，从逐渐减小到，结合即可解答； （2）设的度数为，分别表示出和时的，然后根据题意列出关于x的一元一次方程列式可求得的度数，再利用时间等于的度数与的差除以顺时针旋转的速度可得顺时针旋转的时间，进而求得逆时针旋转的时间，最后求出逆时针旋转速度即可； （3）分及两种情况，分别表示出、，再根据题意列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：绕点O顺时针匀速旋转过程中，从逐渐增大到，从逐渐减小到， ∵， ∴的值的变化情况是由负到正． 故答案为：由负到正． （2）解：设的度数为， 当时，， 当时，， 根据题意得，， ， ， ， ∴, ∵， ∴逆时针旋转时的速度为． 答：的大小为，逆时针旋转时的速度为每秒． （3）解：当时，、， ，解得:； 当时，、， ，解得: ． 答：当W=60时，t的值为或18． 22．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或60或70秒 【分析】（1）先根据平分，得到，即可求出； （2）先根据题意可得，，然后作差即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）平分， ， 三角板旋转的角：， （2）当在外部时，，理由如下： ，， ，， ； 当在内部时，，理由如下： ，， ； （3）射线平分，射线平分， ，， 选择前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，， ； ④，解得，， ， 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或60或70 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 23．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 【答案】(1) (2)图2中，；图3中， (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）解：图2中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：，， ， ， 即， ， ； ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：，， ， 又， ， 即， ． 综上所述：的度数为或． 24．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 【点睛】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． 25．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）先根据平分得到，即可求出； （2）根据题意可得，作差即可求解； （3）先求出旋转前的夹角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：平分， ， 三角板旋转的角∶ ， 故答案为：． （2）当在外部时，，理由如下∶ ， ，， 当在内部时，，理由如下∶ ， ； （3）射线平分，射线平分， ， 旋转前， 旋转前与的夹角为：， 与第一次相遇的时间为：秒， 此时旋转的角度为： 此时OC与的夹角为： 与OD第二次相遇的时间为：(秒)， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为， ①， 解得∶， ②， 解得∶， ③， 解得∶， ， ④， 解得∶， ． 在OC与OD第二次相遇前，当时，旋转时间为或或或． 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$