专题12 分式（压轴题，期末预测25题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

专题12 分式（压轴题，期末预测25题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知（a，b，c互不相等）求（    ） A． B．1 C． D．x无解 2．设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(   ) A．1959 B．7954 C．82 D．3948 二、填空题 3．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 4．已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 5．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 6．若，，，则 ． 7．随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ． 8．“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ． 9．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 三、解答题 10．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 11．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 12．若 (1)化简A； (2)若 ，且 ，求A的最小值； (3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 13．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 14．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 15．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 16．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 17．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 18．已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 19．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； (2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由； (3)当整数取多少时，的值为整数？ 20．某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 21．已知，，，求的值． 22．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 23．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”； (2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 24．已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 25．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售、两种山娃纪念品，其中种纪念品的利润率为，种纪念品的利润率为．当售出的种纪念品的数量比种纪念品的数量少时，该零售商获得的总利润率为；当售出的种纪念品的数量与种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率利润成本） 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 分式（压轴题，期末预测25题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知（a，b，c互不相等）求（    ） A． B．1 C． D．x无解 【答案】C 【分析】将已知条件变形后可得：，可得并求解即可． 【详解】解：由可得：① 由可得：② 将②代入①可得 整理得： 同理可得： ∴ ∵a、b、c互不相等 ∴，解得：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式的基本性质等知识点，根据分式的基本性质对分式进行变形是解答本题的关键． 2．设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(   ) A．1959 B．7954 C．82 D．3948 【答案】B 【分析】设，则，得到，再设是数的平方数，得到，再根据题意推出，据此求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 再设是数的平方数， ∴， ∴， ∵是某个整数的平方数，， ∴， ∴且a为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值可以为、、、， ∴所有满足条件的n之和为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了完全平方数，分式的加减，正确理解题意是解题的关键． 二、填空题 3．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 【答案】4 【分析】先求出，则，进而得出，则，把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ， 当时，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 4．已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 【答案】 【分析】先在等式的两边同时乘非零数，得到，变形为，，再将三个等式代入所求代数式化简即可得出答案． 【详解】 ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，将已知等式变形是解题的关键． 5．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 6．若，，，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得：，， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求． 7．随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ． 【答案】/． 【分析】：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为，设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为，此时语文时间为：，英语时间为：，依据语文英语时间的比值解得：，此时各科学习时间分别为语文：，数学：，英语：，设挤出的休息时间为，则第二次调整后语文时间为：，依据语文时间的比求出，则总学习时间为：，设此时他的数学时间为，则英语，依据数学英语时间和占总时间的，求出，从而求出数学时间以及和总时间的比值． 【详解】解：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为， 依题意： 他分给语文和英语的复习时间和为，剩余数学时间为， 设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为， 此时语文时间为：， 英语时间为：， 依题意得：， 解得：， 故第一次调整后语文时间为：， 数学时间为：， 英语时间为：， 设挤出的休息时间为， 则第二次调整后语文时间为：， 依题意得：， 解得， 则总学习时间为：， 设此时他的数学时间为，则英语， 依题意得， 解得：， 故数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为： ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式的实际应用；解题的关键是用代数式准确表示出每次调整后各学科的时间，依据比例列方程求解． 8．“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ． 【答案】 【分析】设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵，根据三个村民小组各需两种果树之和的比为列出方程求出，，从而求出三个村民小组种植两种果树的情况；设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元，分别表示出预算总费用，实际两种果树的费用和实际两种果树的总费用，再根据预算总费用和实际总费用相等求出，然后代值计算即可得到答案． 【详解】解：设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵 ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴红锦村需要晚熟香桃树棵； 设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元， ∴预算总费用为 ， 实际购买晚熟香桃树的费用为 ， 实际购买高山脆李的费用为 实际总费用为， ∴， ∴，即 ∴实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 9．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 三、解答题 10．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 【答案】(1)14；194 (2)；52 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值；对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值； （2）根据多项式乘多项式计算法则进行计算，求出，根据得出的公式，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为：14；194． （2）解： ， 即， ∴ ． 11．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等． 数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 12．若 (1)化简A； (2)若 ，且 ，求A的最小值； (3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 【答案】(1) (2)A的最小值为； (3) 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把代入A，得到，再根据得到，然后即可求解； （3）由题意可得，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：由（1）得： 把代入得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴A的最小值为； （3）∵A，B均为正整数 ∴ 当时， ，解得： 当时 或，解得：或 经检验，是原方程的解 ∵a， b为正整数， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 14．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵ ∴，即：， ∴ 则： ∴ 故答案为：； （3） 由分母，可设， 则： 对于任意上述等式成立， ∴，解得，， ∴ 又∵，即： ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 15．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 16．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真；②， (2)，或或或 (3)36 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【详解】（1）解：， （2）根据题意可得： （3） （4） 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 18．已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 【答案】(1)当时， (2)若是正整数，的正整数值是12或15． 【分析】（1）先求出的值，再根据当时，，，即可得出； （2）先求出的值，再根据和都是正整数，得出的取值，进一步得到的取值，然后分类讨论，即可得到的正整数值． 【详解】（1）当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴，， ∴ （2）∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵和都是正整数， ∴是正整数， ∴可取4，8， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15． 【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的正整数值是解题的关键． 19．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； (2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由； (3)当整数取多少时，的值为整数？ 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题干“和谐分式”定义，逐个化简变形即可得到答案； （2）将式子化简变形即可得到答案； （3）将式子化简，根据值为整数及分式的分子是分母的整数倍得到相关数值，再根据分式有意义取舍即可得到答案； 【详解】（1）解：∵①，是“和谐分式”； ②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”， 故答案为①③； （2）解：是“和谐分式”，理由如下， ∵， ∴是和谐分式； （3）解： 当，，0，1时，的值为整数． 由于当，0，1时，原分式没有意义， 所以当时，该分式的值为整数． 【点睛】本题考查分式化简，新定义的理解及分式有意义条件，解题的关键是读懂题干新定义． 20．某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元 【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答． 【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服， 则，解得：或 经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去， 则乙流水线每天加工270套防护服 所以甲需要天，乙需要天， 所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元． 所以乙流水线成本较小． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 21．已知，，，求的值． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得， ，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简． 22．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 23．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”； (2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)A与B是“完美分式”，且“完美值”； (2)①；②． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得m的值； （2）①由“完美分式”及“完美值”的定义可得，再整理即可求出所代表的代数式；②由，可确定，再根据为正整数，分式的值为正整数，即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴A与B是“完美分式”，且“完美值”； （2）解：①∵与互为“完美分式”， ∴， ， ， ∴； ②∵， ∴． ∵为正整数，分式的值为正整数， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义运算，分式的加减运算．读懂题意，理解“完美分式”和“完美值”的定义是解题关键． 24．已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)或或8 【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根； （2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可． 【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到， 解得：， 将分式方程化为整式方程：， 整理得：， 将代入得：， 即若方程有增根，则． （2）解：∵是方程的解， 将代入得：， 整理得：， ∴， ∴，且 ∵，均为整数且， ∴或2或（舍去）或， 当时，即，； 当时，即，； 当时，即 当时，即，； 当时，即，； 综上，的值为或或8． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 25．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售、两种山娃纪念品，其中种纪念品的利润率为，种纪念品的利润率为．当售出的种纪念品的数量比种纪念品的数量少时，该零售商获得的总利润率为；当售出的种纪念品的数量与种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率利润成本） 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出分式方程是解答本题的关键． 先列出分式方程求出和进价之间的关系，然后计算出利润率即可． 【详解】解：设进价为元，则售出价为元；的进价为元，则售出价为元；若售出有件，则售出有件，根据题意得： ， 解得：， 故售出的，两种纪念品的件数相等，均为时，这个商人的总利润率为： ． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$