专题05 因式分解（十大题型，65题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

专题05 因式分解（十大题型，65题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 判断是否是因式分解 1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B．） C． D． 3．（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列等式中，从左往右属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·上海·期末）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·上海松江·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24七年级上·上海·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·上海·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 已知因式分解的结果求参数 11．（23-24七年级上·上海松江·期末）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 12．（23-24七年级上·上海·期末）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 14．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 15．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 提公因式法分解因式 16．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解： ． 18．（23-24七年级上·上海青浦·期末）分解因式： ． 19．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果一个多项式因式分解后有一个因式为，那么符合条件的多项式可以是 ．（只需写一个） 20．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式： ． 21．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式： ． 22．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 23．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 平方差公式分解因式 24．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 25．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：． 26．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 27．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： (1)； (2)． 28．（23-24七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 完全平方公式分解因式 29．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 30．（23-24七年级上·上海·期末）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）分解因式： = 32．（23-24七年级上·上海静安·期末）因式分解：m2-n2-2m+1= ． 33．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20． 34．（23-24七年级上·上海·期末）若与互为相反数，把多项式因式分解． 35．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 综合运用公式法分解因式 36．（23-24七年级上·上海崇明·期末）因式分解： ． 37．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 38．（23-24七年级上·上海宝山·期末）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 39．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 40．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 综合提公因式和公式法分解因式 41．（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 43．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ． 44．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 45．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 46．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）已知，，求的值． 47．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式：． 48．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 八、题型八：十字相乘法 49．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 50．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式： ． 51．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： 52．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 53．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 54．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式：． 九、题型九：分组分解法 55．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式： 56．（2024七年级上·上海·期末）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 57．（2024七年级上·上海·期末）当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 58．（2024七年级上·上海·期末）求多项式的最小值； 59．（2024七年级上·上海·期末）已知，求m，n的值． 60．（2024七年级上·上海·期末）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 十、题型十：因式分解的应用 61．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 62．（23-24七年级上·上海·期末）已知，，，那么 63．（23-24七年级上·上海·期末）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 64．（23-24七年级上·上海·期末）正数，，满足，求的值． 65．（2024七年级上·上海·期末）若为实数且满足，，求的最小值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因式分解（十大题型，65题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 判断是否是因式分解 1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．此题考查因式分解的意义，解题关键在于掌握多项式的因式分解． 【详解】A、等式右边不是乘积形式，故选项不符合题意； B、，是因式分解，故选项符合题意； C、，不是因式分解，故选项不符合题意； D、，等式右边不是乘积形式，故选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B．） C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意； B、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意； C、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意； D、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 3．（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列等式中，从左往右属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的判断．根据分解因式的概念“将一个多项式分解成几个因式的积的形式”即可判断四个选项是否正确． 【详解】解：A、表示的是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； B、等号的左侧是单项式，不是因式分解，本选项不符合题意； C、是因式分解，本选项符合题意； D、等号的右侧不是几个因式的积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级上·上海普陀·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解；根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断． 【详解】解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； B、符合因式分解的概念，故本选项符合； C、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； D、该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合． 故选：B． 6．（23-24七年级上·上海·期末）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据因式分解的定义，把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此依次进行判断即可． 【详解】解：A、是几个整式的积的形式化为一个多项式，是整式的乘法，不符合题意； B、是把一个多项式分成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，是整式的乘法，不符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、，等式右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：A． 8．（23-24七年级上·上海松江·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义是解决本题的关键． 利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解”解题即可． 【详解】解：①是整式乘法； ②结果是和的形式，不是因式分解； ③是整式乘法； ④是因式分解； ⑤是因式分解； ⑥中含有不是整式的式子，不是因式分解； 故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义， 故选：B． 9．（23-24七年级上·上海·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解；根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，右边不是整式的积，不是因式分解，故本选项不符合； B、，符合因式分解的概念，故本选项符合； C、，该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； D、，该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合． 故选：B． 10．（23-24七年级上·上海·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式写成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可 【详解】解：A、，不属于因式分解；故不符合题意； B、，不属于因式分解，故不符合题意； C、，不属于因式分解，故不符合题意； D、，属于因式分解；故符合题意； 故选D 已知因式分解的结果求参数 11．（23-24七年级上·上海松江·期末）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【答案】C 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将展开，分别对应即可得出答案． 【详解】解：， ∵多项式分解因式得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得进行求解． 12．（23-24七年级上·上海·期末）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴、， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 故选：C． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 14．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 15．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 提公因式法分解因式 16．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 17．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 18．（23-24七年级上·上海青浦·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据提公因式法进行因式分解． 【详解】解：原式； 故答案为． 19．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）如果一个多项式因式分解后有一个因式为，那么符合条件的多项式可以是 ．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查多项式的因式分解，根据提取公因式、平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 20．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 21．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】前两项一组，提取公因式x，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式整理即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 22．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据分组分解法和提取公因式法进行分解即可，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 23．（23-24七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解和分组进行因式分解； 先对原式进行变形，分组提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 平方差公式分解因式 24．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【详解】解： ． 25．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 26．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查利用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，注意要分解彻底． 【详解】解： 27．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法则；熟悉因式分解的一般步骤，并正确运用其法则是解题的关键． （1）本题先用提公因式法提出公因式，再运用十字相乘法进行因式分解； （2）本题先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： （2） 28．（23-24七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解． 完全平方公式分解因式 29．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 30．（23-24七年级上·上海·期末）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 31．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）分解因式： = 【答案】 【分析】先用完全平方公式因式分解，再用平方差因式分解． 【详解】 【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉公式法因式分解． 32．（23-24七年级上·上海静安·期末）因式分解：m2-n2-2m+1= ． 【答案】（m-1+n）（m-1-n） 【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可． 【详解】原式=m2-2m+1-n2 =（m-1）2-n2 =（m-1+n）（m-1-n）． 故答案为（m-1+n）（m-1-n）． 【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键． 33．（23-24七年级上·上海普陀·期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20． 【答案】 【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可． 【详解】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4） ＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2． 【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于熟练运用十字相乘法、公式法进行因式分解． 34．（23-24七年级上·上海·期末）若与互为相反数，把多项式因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式以及互为相反数的概念、绝对值和偶次幂的非负性的性质，灵活运用公式进行因式分解是解题的关键．根据互为相反数的两数和为0以及绝对值和偶次幂的非负性，求得的值，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，． ∴ ． 35．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的应用．根据完全平方公式和提取公因式法即可因式分解． 【详解】解： ． 综合运用公式法分解因式 36．（23-24七年级上·上海崇明·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解．熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用平方差、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 37．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 【答案】5 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 38．（23-24七年级上·上海宝山·期末）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 【答案】（1）1；25；121；361（2）（3）见解析 【分析】本题考查了规律型:数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）根据有理数的乘法和加法可以计算出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以写出第n行的等式； （3）根据因式分解的方法可以说明第n行等式成立的理由． 【详解】解：（1）第一行：； 第二行：； 第三行：； 第四行：； 故答案为：1；25；121；361； （2）第n行的等式是：， 故答案为：； （3）证明：∵ ∴ 39．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 40．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当时，，得多项式必有一个因式，设，然后比较同类项的系数，进而可得出答案； （2）根据多项式既能被整除，又能被整除，得当或时，，将代入整理得①，将代入整理得②，再由①②解出，的值即可． 【详解】（1）解： 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； （2）解：多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：． ，． 综合提公因式和公式法分解因式 41．（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 42．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据平方差公式及提公因式进行因式分解． 【详解】解：原式； 故答案为． 43．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将原式展开再分组为，再根据平方差公式和提公因式法进行分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 44．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 45．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 46．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）已知，，求的值． 【答案】36或60 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，先根据完全平方公式求出，再把所求式子因式分解为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时， ； 当时， ； ∴的值为36或60． 47．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分组分解法，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先对原式使用分组分解法分解因式，得到，然后提取公因式，再对剩余部分使用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 48．（23-24七年级上·上海徐汇·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 八、题型八：十字相乘法 49．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 50．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 先用十字相乘法分解，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 51．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： 【答案】 【分析】先把二次三项式利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关键． 【详解】解： ． 52．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．前三项利用十字相乘法分解，再将看作整体，然后利用十字相乘法分解继续分解即可． 【详解】解： ． 53．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，先提公因式，再进行十字相乘法因式分解． 【详解】解： 54．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；先根据整体思想把代数式展开，然后再根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 九、题型九：分组分解法 55．（23-24七年级上·上海·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，分组分解法等知识点，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先对原式利用平方差公式分解因式，得到，然后对前后两部分分别使用分组分解法即可． 【详解】解： ． 56．（2024七年级上·上海·期末）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组法因式分解是解题的关键． 根据分组法分解因式，得出或，找出三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 57．（2024七年级上·上海·期末）当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】，1 【分析】本题考查了分组因式分解的配方法求最值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 将二次三项式配成完全平方形式，然后根据非负性即可解答； 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为1． 58．（2024七年级上·上海·期末）求多项式的最小值； 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质．熟练掌握利用完全平方公式因式分解是解题的关键； 先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：原式， ， ∵， 多项式有最小值，最小值是； 59．（2024七年级上·上海·期末）已知，求m，n的值． 【答案】m的值为，n的值为3 【分析】本题考查了完全平方公式，分组法因式分解，熟练掌握性质，活用公式是解题的关键． 利用完全平方公式，分组配方进行因式分解，后根据乘方的非负性计算即可． 【详解】解：， ， 即， ，， 解得：，， 的值为，n的值为3． 60．（2024七年级上·上海·期末）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2） ， ， ， （3）， ， ， ， ， ， ， 当时，最小值为． 十、题型十：因式分解的应用 61．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 62．（23-24七年级上·上海·期末）已知，，，那么 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解．先将因式分解为，再将其值代入计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：． 63．（23-24七年级上·上海·期末）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白部分的面积为． 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答． （2）①先根据长方形的周长公式列出关于的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是，几何第一步中求出的的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 64．（23-24七年级上·上海·期末）正数，，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， ， ， 同理求得：，， ， 可化为， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 65．（2024七年级上·上海·期末）若为实数且满足，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，非负数的性质，先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值，掌握分组分解法和整体代入法是解题的关键． 【详解】解：由题得，， ∴ ， ， ， ∴，， ∴，当且仅当时取等号， 经检验当时满足， 的最小值为． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$