精品解析：广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高一上学期第二次段考（12月）数学试题

秘密★启用前 2024—2025学年度第一学期第二次段考 高一年级数学 试题教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､试室号和座位号填写在答题卡上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5.考生必须保证答题卡的整洁. 第I卷（选择题） 一､单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 8. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的值域为，那么的取值可以是（ ）. A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 11. 已知函数，则函数的定义域为_____________. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 13. 已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 14. 回答下面两个题 （1）计算：. （2）若，求的值. 15. 已知全集，集合,. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 16. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数在区间D上的“和值”为. （1）判断函数在上的“和值”是否为0，并说明理由； （2）若函数在区间上的“和值”为，求实数的取值范围； （3）若，且函数在区间上有唯一“和值”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2024—2025学年度第一学期第二次段考 高一年级数学 试题教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､试室号和座位号填写在答题卡上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5.考生必须保证答题卡的整洁. 第I卷（选择题） 一､单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，进而求得两个集合的并集. 【详解】由，，得. 故选：D. 2. 已知命题p：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题p：“”，则其否定是. 故选：C 3. 下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个函数相等的条件，定义域必须相同即可判断． 【详解】对于A，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数； 对于B，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数； 对于C，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数； 对于D，和定义域均为，，所以两个函数为相同函数. 故选：D. 4. 函数的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得. 【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为. 对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误； 对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确； 对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误； 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性，以及对数运算公式，函数值和1比较，即可比较大小. 【详解】且，且且，，即且， ，，，所以 故. 故选：B 6. 已知函数的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得的值域为，分和讨论即可求解. 【详解】由题意得的值域为， 当时，的值域为，符合题意， 当时，，解得； 综上：的取值范围为. 故选：. 7. 已知函数的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意转化为，关于原点的对称图象与时的函数有交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】由函数定义域可知，， 当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解， 所以，即在时有解， 作出函数的图象如图， 由图象可知，若和的图象有一个交点，则，得， 当时，与有一个交点， 综上所述，. 故选：D 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 8. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，由函数的解析式，判断函数的单调性，即可判断选项. 【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为， 所以函数为偶函数， 当时，内层函数单调递增，外层函数也为增函数， 所以，函数在区间上单调递增，A选项合乎要求； 对于B选项，设，该函数的定义域为， 所以函数为奇函数，B选项不合乎要求； 对于C，由，定义域关于原点对称， 得是偶函数. 当时，，故在上单调递增，C正确 对于D选项，为偶函数，但该函数在区间上递减，D选项不合乎要求. 故选：AC 9. 已知函数的值域为，那么的取值可以是（ ）. A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理得到的关系式，即可判断A，再结合基本不等式，以及函数关系求最值，即可判断BCD. 【详解】A选项，由题意得是的两个根， 故，消去得，A正确； B选项，， ，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，B正确； C选项，， 由基本不等式得 ，当且仅当， 即时，等号成立，C正确； D选项，，解得， ，故当时，取得最小值D错误. 故选：ABC 第II卷（非选择题） 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 11. 已知函数，则函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于0，偶次根式非负以及分母不为0列式求解. 【详解】函数的定义需满足，得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意确定函数在定义域的单调性，再根据函数的定义域和单调性，列式求解抽象不等式的解集. 【详解】由题意得，函数在上单调递减，且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减， 由得，，解得： 故不等式的解集为. 故答案为: 13. 已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合，把复合函数的零点个数转化为二次函数存在区间零点的条件问题，再进行求解. 【详解】作出函数的图象， 由有5个零点， 得或. 令，则， 即的两个零点分别在区间和内， 因为，所以只需要满足：， 另解：，令， 根据对勾函数图象以及结合题意可得： 故答案为：. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 14. 回答下面两个题 （1）计算：. （2）若，求的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用换底公式，以及对数运算法则，即可求解； （2）利用立方和公式，以及指数运算法则，即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以 . 15. 已知全集，集合,. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解分式不等式和一元二次不等式，再利用集合的交并补运算计算即得； （2）由题意得集合是集合的真子集，借助于数轴表示得到不等式组，解之即得. 【小问1详解】 由，可得， 解得，即， 当时，即，解得， 即，故. 于是. 【小问2详解】 由“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集. 因，由可知， 故得，解得. 故实数的取值范围为. 16. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 【答案】（1）； （2）1.5小时. 【解析】 【分析】（1）根据题图及图象所过的点，结合给定模型求函数关系式； （2）经分析有，结合指数函数单调性及指对数关系求范围，即可得结论. 【小问1详解】 由图，直线过点，所以图象中线段的方程为， 又点在曲线上，所以，则， 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为. 【小问2详解】 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室， 则，所以，所以，解得， 所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 在上单调递增.证明如下： 设， 则， 其中， 则，即， 所以函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由与联立求解，再验证可得； （2）利用“作差—变形—定号—结论”步骤证明； （3）由不等式恒成立转化为函数最值问题，再利用单调性求最值可得. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得，所以函数， 检验：，函数为奇函数. 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，， 在上单调递增，可得， 又，由在上单调递增，则， 即，且当时取到最大值. 要使不等式在上恒成立， 则，即实数的取值范围为. 18. 设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数在区间D上的“和值”为. （1）判断函数在上的“和值”是否为0，并说明理由； （2）若函数在区间上的“和值”为，求实数的取值范围； （3）若，且函数在区间上有唯一“和值”，求的值. 【答案】（1） 函数在上的“和值”不为0,理由如下： 若函数在上的“和值”为0， 由于，不妨令，此时无解，矛盾， 从而函数在上的“和值”不为0； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）令，此时，方程无解，故函数在上的“和值”不为0； （2）先求出，，由题意得到，从而得到不等式组，求出答案； （3）解法1：先求出，分，，三种情况，其中时，再由函数单调性及特殊点函数值细分，，，和四种情况，求出的值域，从而根据包含关系得到不等式，求出或； 解法2：求出，而的最值只可能在中取，根据的最小值为0，于是必然，而的值唯一，那么，于是的最大值必然等于2，分最大值在和处取，检验后得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则，， 由于对任意，都存在，使得， 那么，于是，解得； 【小问3详解】 解法1：，则， 若，则在单调递增，则， 则， 于是，则， 其中，故，与有唯一“和值矛盾； 若，则在单调递减， 又时，，时，，故， 则， 于是，解得，与有唯一“和值矛盾； 若，则在单调递减，在上单调递增， 则时，取最小值； 当时，此时的最小值为， 故， 于是，无解，则无解； 当时，中，时，，时，， 由于，故， 其中， 当时，，即， 故， 于是，解得， 要想有唯一“和值，则，解得； 当时，，即， 故， 于是，而，故无解，则无解； 若，由于，故， 那么，解得， 要想有唯一“和值，则，解得，负值舍去， 综上，或； 解法2：由于，的最值只可能在中取， 因此的最小值为0，于是必然，则， 而的值唯一，那么，于是的最大值必然等于2，否则不唯一， 若最大值在处取，则，此时，符合； 若最大值在处取，则，则， 若，此时，矛盾； 若，此时符合， 综上所述：或. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $