精品解析：江西省上犹中学南校区2025届高三上学期第一次月考数学试卷

上犹中学南校区2025届高三上学期第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：黄子霜 李建军 刘光胜 做题人：徐伟 陈小健 曾桥生 审题人：周晓灵 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 6. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（ ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 11 8. 已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，若，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，是的一个周期 B. 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2 C. 若存在，使得，则的取值范围是 D. 存在，使得在上单调递减 11. 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若成等差数列，则 D. 若成等比数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，，，则________． 13. 已知函数满足，则的值为________． 14. 某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域，其中三角形区域中，百米，百米，三角形区域是以为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域内修建水上项目，则的最大面积为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. （1）求的通项公式： （2）若为数列的前项和，求证：． 16. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若为边上一点，，求. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知，函数，其中.请从条件（1）、条件（2）、条件（3）这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题. 条件（1）：； 条件（2）：最大值为； 条件（3）：在区间上单调，且最大值为； （1）求函数的对称中心； （2）若方程在区间内有且仅有1个实根，求的取值范围. （3）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围. 19. 牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解.对于函数，已知. （1）若给定，求的二阶近似值； （2）设 ①试探求函数的最小值与的关系； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上犹中学南校区2025届高三上学期第一次月考 数学学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：黄子霜 李建军 刘光胜 做题人：徐伟 陈小健 曾桥生 审题人：周晓灵 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，根据复数代数形式的除法运算化简，从而求出其共轭复数. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解对数不等式求出集合A，再结合交集定义计算即可. 【详解】因为，所以，即， 所以 所以. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将向量，转化为以向量，为基底的表示形式，再利用平面向量数量积的定义可得结果. 【详解】如图： ∵，∴， ∴， ， ∴ . 故选：B. 5. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示判断即可. 【详解】在中，由，得，则， 因此，所以是直角三角形. 故选：D 6. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（ ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可知，，列出不等式组得出，得，即可求使得的的最大值， 【详解】设的公差为，由题意得， 即，解得， 即， ∴， 所以 由，解得，即的最大值为. 故选：C. 8. 已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件证明，然后在的情况下证明不等式恒成立，即可得到的取值范围是. 【详解】设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，所以，故. ①一方面，在条件中令，即得. 假设，则，从而，矛盾. 所以一定有. ②另一方面，若： 首先有. 以及. 将两个不等式相加，就得到，从而. 由于，故，所以对任意，有. 而对任意的，显然也有，所以，从而时条件一定满足. 综合①②两个方面，可知的取值范围是． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，若，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用与关系，推得是等比数列，进而依次求得和，从而得解. 【详解】 ，即， 又， 是首项为1，公比为的等比数列， ，故A正确； 又当时， 当时，不符合上式， ，故BC错误； 当时，，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，是的一个周期 B. 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2 C. 若存在，使得，则的取值范围是 D. 存在，使得在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：借助正弦型函数的周期性即可得；对B：得到后由奇函数性质即可得；对C：结合题意计算可得，解出即可得；对D：结合正弦型函数的单调性计算即可得. 【详解】对A：当时，，所以最小正周期为， 所以是的一个周期，故A正确； 对B：将的图象向右平移个单位后得到， 因为是奇函数，所以，解得， 当时，最小此时为2，故B正确； 对C：因为， 当时，， 当时，, 又存在，使得， 所以当时，，解得，故C正确； 对D:若在上单调递减，， 因为，所以，结合余弦函数的图像可知不存在满足题意，故D错误. 故选：ABC. 11. 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若成等差数列，则 D. 若成等比数列，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A项由零点个数可知单调区间至少三个，求导函数，转化为二次函数判别式求解可得；B项利用三次函数三根式表达形式，求导后赋值通分化简可得；C项将三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；D项由根与系数的关系消元转化，用分别表示即可判断. 【详解】A项，由题意得有三个零点， 则至少有三个单调区间，故有两个不等实根， 所以，解得，故A错误； B项，由题意可知， 则， ， 同理 ，故B正确； C项， ， 若成等差数列，则， 则，，则， 所以，即，故C正确； D项，若成等比数列，则，， 故，， 则，由，可知，故D错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用.问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如CD项的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B项中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质以及等比数列的定义即可求解. 【详解】由于，故. 从而，即，故. 所以. 故答案为：. 13. 已知函数满足，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】首先根据题意得到，即的周期为4，再分别计算出，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以，即的周期为4. 令，则， 令，则， 令，则， 又因为，所以. 所以. 故答案为：0 14. 某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域，其中三角形区域中，百米，百米，三角形区域是以为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域内修建水上项目，则的最大面积为______ 【答案】平方百米 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用点坐标以及点的轨迹求得的最大面积. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设，则，， 所以的面积为， 由于，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 设，则， 所以， 所以当时，三角形的面积取得最大值为平方百米. 故答案为：平方百米 【点睛】求解三角形面积有关问题，要选择合适的三角形面积公式.求解三角形面积最值有关问题，可先求得三角形面积的表达式，然后根据表达式的结构，考虑利用三角函数、不等式等知识来求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. （1）求的通项公式： （2）若为数列的前项和，求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）可得，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，故单调递增，则， 又因为． 故，得证. 【解析】 【分析】（1）设出等差数列公差，利用基本量表示已知等量关系，建立方程求解可得； （2）由数列通项证明是等比数列，再利用公式法求和，结合表达式及条件，分析范围可得. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 整理得，由，解得， ， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 略 16. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若为边上一点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等价变形已知条件，得到，结合余弦定理即可得解. （2）法①：由余弦定理求出，结合正弦定理即可求得，最后根据即可得解；法②：由法①得，在中由正弦定理得，又，从而得解；法③：由法①得，在直角中，由（1）问知，代入建立关于的方程，解方程得，从而得出；法④：由等面积法得，建立关于的方程，求得，代入求得，最后结合正弦定理即可得解. 【小问1详解】 ，则， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 法①：由（1）得，，因为，所以， 如图在中，由余弦定理 ，即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中. 法②：同解法①，在中由正弦定理， 即，所以， 又因为，即，所以. 法③同上，在直角中，所以， 由（1）问知，所以，即，得即，所以，. 法④如图由（1）知，则， 因为，所以 ，即，解得，所以，即， 在中，由正弦定理，即，解得. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）代入后再求导，由导数的性质即可得到结果； （2）求导后再次构造函数，分与时再求导，利用单调性和极值分析即可； 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，所以， 设，则，， ①若，则，则在单调递增，则， 所以在上单调递增，则满足题意； ②若，，，令，所以， 又，所以，故，， 所以在上单调递减，则, 所以在上单调递减，则，不符合题意，舍去； 综上，实数的取值范围为. 18. 已知，函数，其中.请从条件（1）、条件（2）、条件（3）这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题. 条件（1）：； 条件（2）：最大值为； 条件（3）：在区间上单调，且最大值为； （1）求函数的对称中心； （2）若方程在区间内有且仅有1个实根，求的取值范围. （3）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简函数，选②求得两个值，对应两个不同函数，不符合题意，由条件①③求出函数式，再借助正弦函数性质求出对称中心. （2）确定函数相位的范围，由零点情况列式求出范围. （3）由，得到，再由正弦定理得到，结合的范围即可求解. 【小问1详解】 依题意， 则， 若选②，，解得或， 当时，，当时，， 因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选； 于是选条件①③，由①知，，解得， 由③知，函数的最小正周期为，即，解得，函数唯一确定， 由，得的对称中心为． 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 当时，，得在内有且仅有1个实根， 则，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 在锐角中，，则由，， 能盖住的最小圆为的外接圆， 所以的外接圆的半径， 由正弦定理可得， 因为是锐角三角形，所以, 所以， 故的取值范围为 19. 牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解.对于函数，已知. （1）若给定，求的二阶近似值； （2）设 ①试探求函数的最小值与的关系； ②证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定方法，求出，求出即可. （2）①求出函数，，利用导数探讨函数的最小值，结合求出与的关系. ②由①的结论，构造函数，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证. 【小问1详解】 函数，求导得， 依题意，，当时，， 同理，而，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，则， ，求导得， 令，求导得， 在上单调递增，函数在上单调递增，， 由，得，且，则， ，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得最小值． ②由①知，，令，求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，而， 则当时，恒成立，即函数在上单调递减， 而，因此，所以． 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数函数的单调性，极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $