精品解析：江苏省盐城市盐城经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024年秋学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，计24分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方正确的是（） A. B. C. D. 3. 如图，已知四边形是的内接四边形，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 5. 如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从口落出的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（ ） A. B. C. D. 8. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，计30分） 9. 一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是_______． 10. 已知一元二次方程的其中一个根为，则的值为_______． 11. 关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是________． 12. 已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 _____． 13. 双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合评价，若宸宸学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为______． 14. 设m、n为关于x的方程的两个实数根，则______． 15. 某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为，方差为．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是，此时全班同学身高的方差为，那么a与b的大小关系是a__________ b．（填“＜”，“＞”或“＝”） 16. 已知-2是三次方程的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法: 解：因为-2是三次方程的唯一实数根，所以 ，可得， 再由，得出c>2 根据小丽的解法，则b的取值范围是______________． 17. 如图，是的两条弦，，过点C的切线与的延长线交于点D，则的度数是_________． 18. 如图，在矩形中，，与边，相切，现有一条过点B的直线与相切于点E，连接，恰为等边三角形，则的半径为__________________． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 解方程： （1）； （2）； 20. “秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； （2）若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________； （3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 21. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径． 22. 已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径． 23. 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 24. 如果关于 x 的一元二次方程 a+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程+x＝0 的两个根是 ＝0，＝﹣1，则方程 +x＝0 是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①﹣x﹣6＝0； ②2﹣2x+1＝0． （2）已知关于 x 的方程﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； （3）若关于 x 的方程 a+bx+1＝0（a、b 是常数，a＞0）是“邻根方程”，令 t＝8a-，试求 t 的最大值． 25. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 26. 如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． （1）求证：与相切； （2）当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 27. 课本改编 （1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则 度， 度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补． 知识运用 （3）如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，计24分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，根据定义即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符合题意； B、二次项系数如果为，则不属于一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； D、属于一元二次方程，故符合题意． 故答案为：D． 2. 用配方法解方程，配方正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】解：把方程x2-2x-4=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=4， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=4+1， 配方得（x-1）2=5． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 如图，已知四边形是的内接四边形，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆的内接四边形对角互补得出，再根据圆周角定理得出即可． 【详解】∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，熟练掌握圆的内接四边形对角互补，一条弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半是解题的关键． 4. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解 【详解】解：∵ x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得x＝3或x＝6， 当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形； 当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论． 5. 如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从口落出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有E、F、G、H四个， 所以，最终从点G落出的概率为， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率问题，解题的关键是掌握概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 6. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 7. 如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，可求的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 二、填空题（每题3分，计30分） 9. 一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是_______． 【答案】12.2 【解析】 【分析】本题考查中位数，求平均数，掌握中位数的定义和求平均数公式是解答本题的关键． 由中位数的定义“将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据”即可判断出x的值，再利用求平均数的公式求出结果即可． 【详解】解：∵这组数据由5个数组成，为奇数个，且中位数为13， ∴， ∴这组数据为4，19，10，13，15， ∴这组数据的平均数．　 故答案为：． 10. 已知一元二次方程的其中一个根为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，先得出，再代入即可． 【详解】解：∵一元二次方程的其中一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为∶ ． 12. 已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 _____． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型．连接，根据圆的半径都相等即可求出答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合评价，若宸宸学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为______． 【答案】86 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式求解即可． 【详解】解：根据题意，宸宸的综合评价得分为 （分）， 故答案为：86． 【点睛】本题考查加权平均数，熟知加权平均数的求解方法是解答的关键． 14. 设m、n为关于x的方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系．先根据m是的一个实数根得出，利用一元二次方程根与系数的关系得出，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， 即． ∵m、n为关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为，方差为．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是，此时全班同学身高的方差为，那么a与b的大小关系是a__________ b．（填“＜”，“＞”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据方差计算公式可知，令全班有n人；当多一个人时，分子没变，而分母加1，方差变小． 【详解】解：由题意得：设全班一共由n人， ∵当多一个人时，由于身高等于平均数， ∴方差公式中分子不变， 因全班同学身高不可能都是170cm，所以方差不是0， ∵此时分母扩大， ∴方差将减小， 即a>b 答案为：> 【点睛】本题考查的是比较方差的大小，掌握方差计算公式是解题的关键． 16. 已知-2是三次方程的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法: 解：因为-2是三次方程的唯一实数根，所以 ，可得， 再由，得出c>2 根据小丽的解法，则b的取值范围是______________． 【答案】b>-3 【解析】 【分析】小丽的解法为待定系数法，先左边展开，根据多项式相等可知：，b=n+2m，再依据题意可知，所设二次方程无解，故代入可得b的取值范围． 【详解】解：因为-2是三次方程的唯一实数，所以， 则 可得m=-2，n=c， 再由 4-4n<0，n>1 n-4>-3， 又∵b=n+2m=n-4 b>-3 故答案为：b>-3． 【点睛】本题是高次方程，考查了高次方程解的情况，解题思路是降次，根据一元二次方程和一次方程解的情况进行解答． 17. 如图，是的两条弦，，过点C的切线与的延长线交于点D，则的度数是_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理，根据切线的性质得到，再由圆周角定理得到，由此可由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，与边，相切，现有一条过点B的直线与相切于点E，连接，恰为等边三角形，则的半径为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过O点作于G，交于H，连接、，根据，结合切线的性质得出，通过勾股定理求得，，设，则，，根据勾股定理列出，从而求得，即可求得的半径为． 【详解】解：过O点作于G，交于H，连接、， ∴G是切点，， ， 为等边三角形， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 设，则，， 在中，， 即 解得 的半径为． 故答案为． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程； 解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）并根据情况灵活选用适当的方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，即， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， 解得：，． 20. “秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； （2）若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________； （3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 【答案】（1）168 （2） （3）①164；②7 【解析】 【分析】（1）用四次试捕中蟹的总质量除以蟹的数量，即可求解； （2）用四次试捕中平均每只蟹的质量乘以成活的蟹的数量，即可求解； （3）①用第3次试捕的蟹的总质量减去其它蟹的质量，可得a的值；②根据方差公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：四次试捕中平均每只蟹的质量为 ； 故答案为：168 【小问2详解】 解：； 故答案为： 【小问3详解】 解：①； 故答案为：164 ② 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，求方差，用样本估计总体，熟练掌握加权平均数，方差的求法是解题的关键． 21. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径． 【答案】该桨轮船的轮子直径为10m 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，本题先表示m，求解m，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：设半径为rm，则m， ∴m． ∵m，， ∴m． 在中有，即， 解得m 则该桨轮船的轮子直径为10m． 22. 已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图1，延长交于F，连接，，， ∵点D为优弧的中点， ∴， ， ∴点D在线段的垂直平分线上， ， ∴点O在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ，即； （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于F，根据圆心角定理的推论及线段垂直平分线的判定定理可得，即； （2）连接并延长交于F，易得，进而可得，再证明，根据全等三角形的性质得到，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接并延长交于F， 设的半径为x， ∵点D为优弧的中点，，， ∴， 由（1）得，， ∴， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题主要考查圆心角定理的推论、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：一元二次方程中， ，，， ， 一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根的判别式是，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根．一元二次方程的根的判别式为，所以一元二次方程总有两个不相等的实数根． 【详解】略 24. 如果关于 x 的一元二次方程 a+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程+x＝0 的两个根是 ＝0，＝﹣1，则方程 +x＝0 是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①﹣x﹣6＝0； ②2﹣2x+1＝0． （2）已知关于 x 的方程﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； （3）若关于 x 的方程 a+bx+1＝0（a、b 是常数，a＞0）是“邻根方程”，令 t＝8a-，试求 t 的最大值． 【答案】（1）不是邻根方程；是邻根方程（2）或（3） 【解析】 【分析】（1）分别解出方程的根，令两根相减，根据邻根方程的定义进行判断即可得解； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值等于，从而得到关于的方程，解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简可得，整体代入再配方可得，即可确定的最大值． 【详解】解：（1）① ， ∴， ∵ ∴不符合邻根方程的定义 ∴不是邻根方程． ② ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴符合邻根方程的定义 ∴是邻根方程． （2）∵关于的方程（ 是常数）是邻根方程 ∴解方程可得：， ∴ ∴， ∴或． （3）∵关于的方程（、 是常数，）是邻根方程，设两个根为、 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴当时，． 故答案是：（1）不是邻根方程；是邻根方程（2）或（3） 【点睛】本题考查了解一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值的方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 25. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 【答案】（1）降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 【解析】 【分析】本题考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用. （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． 【小问2详解】 解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 26. 如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． （1）求证：与相切； （2）当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【答案】（1） 证明：连接， 为的中点，是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是切线， ， ， ， 是切线； （2）如图所示， 点F到直线的距离为：或． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得，根据直径所对的圆周角是直角得出进而得出，证明，得出即可得证； （2）分点在以及半圆上分别作出图形，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点在上时，连接，交于点G， ， ， ， ， ， 直径， ， ， ， ； 当点在半圆上时，过点作，垂足为点，，垂足为点， 四边形是矩形， 在中，， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，点到直线的距离为：或． 27. 课本改编 （1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则 度， 度． （2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补． 知识运用 （3）如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线． 【答案】（1）90，180； （2）证明：如图，连接并延长，交于点E，连接 由(1)可知，，， ， ， 即圆内接四边形的对角互补 （3）证明:连接，如图所示. ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 是线段的中点， 是的半径， 是的切线 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的判定、圆内接四边形性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键. （1）利用圆周角定理及四边形内角和进行解答即可； （2）连接并延长，交于点E，连接根据（1）的 结论进行证明即可； （3）证明，由四边形是圆内接四边形，进一步得到，，又由是的半径，即可证明结论． 【详解】（1）∵四边形为的内接四边形，为的直径， ∴度， ∵ ∴ 故答案为：90，180 (2)略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $