专题08 数列（考点清单+知识导图+ 21个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单08 数列 （21个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【清单02】等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【清单03】等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 【清单04】等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【清单05】等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【清单06】等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【清单07】等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 【清单08】等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【清单09】等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【清单10】等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【清单11】等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【清单12】数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【清单13】数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【考点题型一】（判断与验证）等差数列 【例1】（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（23-24高二上·陕西咸阳）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【变式1-2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，证明：是等差数列. 【考点题型二】等差数列角标和性质 【例2】（23-24高二下·上海宝山·期末）在等差数列中，，则的值是 . 【变式2-1】（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ． 【变式2-2】（23-24高二上·上海虹口·期末）等差数列中，，则 . 【考点题型三】等差数列单调性 【例3】（24-25高二·全国·随堂练习）已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的增减性． 【变式3-1】（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【变式3-2】（24-25高三上·北京）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【考点题型四】求等差数列最大（小）项 【例4】（23-24高一下·四川南充）设为等差数列的前n项和，且满足，，对任意正整数n，都有，则k的值为（    ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 【变式4-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列的首项，公差，当最小时，＝ ． 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·广西百色·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列有最大项，无最小项 C．当时， D．当或3时，取得最大值 【考点题型五】等差数列基本量计算 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）已知数列为等差数列，其前项和记为. (1)若，则； (2)已知等差数列的公差，，求其通项公式. 【变式5-1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【变式5-2】（23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【考点题型六】等差数列片段和性质 【例6】（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·广东揭阳）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【考点题型七】两个等差数列前项和比 【例7】（23-24高二下·黑龙江鹤岗）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）等差数列的前项和分别为，若，则 . 【变式7-2】（24-25高二上·上海徐汇）设等差数列，的前项和分别为，，且，则 【考点题型八】等差数列奇偶项和 【例8】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【变式8-1】（24-25高二上·上海徐汇）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中，已知公差，且，求的值． 【考点题型九】含绝对值等差数列前项和 【例9】（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）数列是递增的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式9-1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 【变式9-2】（2024·上海青浦）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 【变式9-3】（23-24高二上·辽宁本溪·阶段练习）在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【考点题型十】判断验证等比数列 【例10】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一下·上海·期中）若数列的通项公式为，则这个数列是一个（    ） A．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以为公比的等比数列 C．以为首项，以3为公比的等比数列 D．以为首项，以为公比的等比数列 【变式10-2】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）数列中，是正整数，数列的前项和. (1)若，且，求的值； (2)若，求证是等比数列，并求. 【考点题型十一】等比数列角标和性质 【例11】（23-24高三上·山东济南·阶段练习）已知正项等比数列中，，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 【变式11-2】（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ． 【考点题型十二】等比数列片段和性质 【例12】（23-24高三下·江西·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高三上·河北石家庄·期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A．27 B．39 C．81 D．120 【考点题型十三】等比数列奇、偶项和 【例13】（23-24高三上·山西太原·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 【变式13-1】（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（    ） A．3 B．4 C．7 D．9 【变式13-2】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为 . 【考点题型十四】数列中最大（小）项 【例14】（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【变式14-1】（多选）（24-25高三上·重庆·期中）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求的最大值和最小值． 【考点题型十五】数列求通项（累加法，累乘法） 【例15-1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【例15-2】（2024·四川成都）在数列中，，，则数列的前项和 ． 【变式15-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 【变式15-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨）数列满足，，则 ． 【考点题型十六】数列求通项（与关系） 【例16-1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式． 【例16-2】（2024高三·全国·专题练习）设为数列的前项和，已知，，，求. 【变式16-1】（24-25高三上·上海松江·期中）（1）已知等差数列的前项和为，求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，其中，求的通项公式. 【变式16-2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式． 【考点题型十七】数列求通项（观察法） 【例17-1】（23-24高二下·山东淄博）已知数列满足，，则数列的通项公式为 【例17-2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足，求． 【变式17-1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 【变式17-3】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【考点题型十八】数列求和（倒序相加法） 【例18】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【变式18-2】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ． 【变式18-3】（23-24高二上·江苏常州）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . 【考点题型十九】数列求和（分组求和法） 【例19-1】（2024高三·全国·专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【例19-2】（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式19-1】（24-25高三上·广西·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【变式19-2】（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知数列满足. (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求的前100项和. 【考点题型二十】数列求和（裂项相消法） 【例20-1】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知数列为等差数列，为前项和，， (1)求的通项公式； (2)设，比较与的大小； 【例20-2】（24-25高三上·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，若公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【例20-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 【变式20-1】（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 【变式20-2】（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围． 【考点题型二十一】数列求和（错位相减法） 【例21-1】（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【例21-2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足.求数列的前n项和. 【变式21-1】（2024·河北）已知数列，其前项和， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式21-2】（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 提升训练 一、填空题 1．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 2．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 3．（24-25高二上·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 4．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列，设，，则当时，的最大值是 ． 5．（24-25高三上·上海·期中）数列中，，，若，则 . 6．（24-25高三上·上海·期中）已知数列为无穷等比数列，若，公比   则无穷等比数列的各项和为 . 7．（24-25高三上·上海·期中）小张和小李同学在玩数字游戏，在一张空白纸上依次写有这211个自然数，然后小张划掉最前面的4个数1，2，3，4，并将它们的和10写在数列的最后，然后小李继续划去5，6，7，8这4个数，并将其和26写在10的后面.两人依次操作，假设他们俩在计算和操作都正确的情况下，最后将剩下一个数，该数为 . 8．（24-25高三上·上海青浦·期中）记为数列的前项和，已知，则数列的通项公式 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知无穷数列满足：存在正整数T，使得对一切正整数成立，则称是周期为T的周期数列．若数列为周期数列，且为正整数)，则该数列的前项和为 10．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 ． 二、单选题 11．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 15．（24-25高三上·上海·阶段练习）在数列中，满足（为正整数），则①一定存在常数，使得都成立；②一定存在常数，使得（为正整数）都成立上面判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题 16．（24-25高三上·上海·期中）已知数列和满足，（为常数且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值． 17．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 18．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 19．（24-25高二上·上海·开学考试）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. (1)求的通项公式： (2)若，为数列的前n项和，求. 20．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，，其中是正整数． (1)求的通项公式； (2)数列满足，且，，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 数列 （21个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【清单02】等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【清单03】等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 【清单04】等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【清单05】等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【清单06】等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【清单07】等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 【清单08】等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【清单09】等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【清单10】等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【清单11】等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【清单12】数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【清单13】数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【考点题型一】（判断与验证）等差数列 【例1】（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断等差数列 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误； 故选：C． 【变式1-1】（23-24高二上·陕西咸阳）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】C 【知识点】判断等差数列 【分析】利用等差数列的定义判断即可. 【详解】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确； B选项：，所以数列为等差数列，故B正确； C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错； D选项：，所以数列为等差数列，故D正确. 故选：C. 【变式1-2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列 【分析】给两边同时减去1，再化简变形，结合等差数列的定义可证得结论， 【详解】因为，所以， 所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列. 【考点题型二】等差数列角标和性质 【例2】（23-24高二下·上海宝山·期末）在等差数列中，，则的值是 . 【答案】12 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】应用等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中， ，则， 所以. 故答案为：12 【变式2-1】（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ． 【答案】6 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 【变式2-2】（23-24高二上·上海虹口·期末）等差数列中，，则 . 【答案】37 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质直接得出结果. 【详解】因为数列为等差数列，， 所以. 故答案为：37 【考点题型三】等差数列单调性 【例3】（24-25高二·全国·随堂练习）已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的增减性． 【答案】(1)，； (2)图象见解析； (3)单调递减. 【知识点】根据实际问题作函数图象、利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性 【分析】（1）利用给定的通项公式计算即得. （2）在直角坐标系内作出数列的图象. （3）利用数列单调性定义判断单调性即得. 【详解】（1）等差数列的通项公式为，所以首项， 公差. （2）数列的图象，如图， （3）由，，得， 因此，所以数列是单调递减数列. 【变式3-1】（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件、等差数列的单调性 【分析】利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可. 【详解】由等差数列的通项公式，不妨设. ①“对任意正整数，都有成立”即，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，①正确； ②由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，②正确 故选：A 【变式3-2】（24-25高三上·北京）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性 【分析】根据单调性判断公差范围，根据已知求的关系，用通项表示出即可求解. 【详解】∵等差数列单调递增，∴， ∵，即，即， ∴． 故选：B 【考点题型四】求等差数列最大（小）项 【例4】（23-24高一下·四川南充）设为等差数列的前n项和，且满足，，对任意正整数n，都有，则k的值为（    ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 【答案】C 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列的单调性 【分析】根据，，结合等差数列求和公式得到，且，从而确定公差，且最小，从而得到正确答案. 【详解】因为，，所以，， 故，， 故，且， 可知等差数列的公差，且， 故，， 结合，可得：最小. 综上：的值为1010. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列的首项，公差，当最小时，＝ ． 【答案】16 【知识点】求等差数列中的最大（小）项 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·广西百色·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列有最大项，无最小项 C．当时， D．当或3时，取得最大值 【答案】BCD 【知识点】由Sn求通项公式、等差数列的单调性、求等差数列中的最大（小）项、求等差数列前n项和的最值 【分析】利用的关系可判定数列为等差数列，求出首项和公差，再根据数列的函数特性判定选项即可. 【详解】因为， 当时，， 当时，，满足， 故数列的通项公式为，易得， 故数列为首项，公差的等差数列. 对于选项A,B:因为公差，所以数列是递减数列,且数列有最大项，无最小项，故选项A错误，选项B正确； 对于选项C:因为，所以 因为数列是递减数列，故当时，，故选项C正确； 对于选项D: 由，, 结合二次函数知识可知,当或时，取得最大值,故选项D正确. 故选：BCD. 【考点题型五】等差数列基本量计算 【例5】（24-25高二·上海·课堂例题）已知数列为等差数列，其前项和记为. (1)若，则； (2)已知等差数列的公差，，求其通项公式. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列的性质结合求和公式即得； （2）根据等差数列的求和公式可得首项，进而即得. 【详解】（1）因为， 所以 ； （2）由，解得. 故. 【变式5-1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】（1）解得： （2）解得： 【变式5-2】（23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1)44 (2) 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】 （1）根据等差数列通项公式设，根据，的值得出关于，的方程组，解出后根据等差数列求和公式求出； （2）根据等差数列通项公式设，根据，的值得出关于，的方程组，解出后根据等差数列求和公式求出. 【详解】（1）设， 则 解得 故. （2）设， 则 解得 故. 【考点题型六】等差数列片段和性质 【例6】（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】 根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解. 【详解】 在等差数列中，，，成等差数列，即， 设，则，于是，解得，所以． 故选：A 【变式6-1】（23-24高二上·广东揭阳）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，根据题意可将都用表示，可求得结果. 【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列， ∵，即，， ∴，，∴，， ∴. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差中项的应用 【分析】根据等差数列片段和性质可得，，成等差数列，再根据等差中项的性质计算可得； 【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，，所以，解得. 故答案为：. 【考点题型七】两个等差数列前项和比 【例7】（23-24高二下·黑龙江鹤岗）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列的求和公式，设，，求出即可得解. 【详解】， 令，则， 所以，， 所以， 故选：B 【变式7-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）等差数列的前项和分别为，若，则 . 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、数列的极限 【分析】利用等差数列和的关系求解即可. 【详解】等差数列的前项和分别为， 故， 故. 故答案为： 【变式7-2】（24-25高二上·上海徐汇）设等差数列，的前项和分别为，，且，则 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，等差数列的前n项和分别为，，且， 因为， 故答案为：. 【考点题型八】等差数列奇偶项和 【例8】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 【变式8-1】（24-25高二上·上海徐汇）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 【变式8-2】（23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中，已知公差，且，求的值． 【答案】 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列通项可构造方程求得，与已知等式作和可求得结果. 【详解】， ， . 【考点题型九】含绝对值等差数列前项和 【例9】（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）数列是递增的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）通过等差数列的通项公式得到关于的方程组，解出即可. （2）分和，讨论，结合等差数列前项和的公式即可得到答案. 【详解】（1）设递增的等差数列的公差， 因为，，所以， 解得，或（舍去），所以. （2）设，则. 由，即，解得. 当，时，. 当，时， . 故. 【变式9-1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 【答案】A 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和 【分析】本题首先可讨论当时，根据得出，然后讨论当时，通过等差数列求和公式得出，通过计算即可得出结果. 【详解】当时， ， 解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意； 当时， ， 即， 若整数恰有2个，则首先，解得， 设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，则，则， 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意， 故可取到的值有或或. 故选：A. 【变式9-2】（2024·上海青浦）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 【答案】或 【知识点】求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】对分，讨论求出，代入运算可得解. 【详解】令，则， 当时， ， ， 由，得，化简整理得，，解得或； 当时， ， 由，得，化简整理得，解得， 这与矛盾，不合题意； 综上，符合题意的正整数或. 故答案为：2或3. 【变式9-3】（23-24高二上·辽宁本溪·阶段练习）在数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由已知条件可得数列是等差数列，再根据可求出公差，从而可求出数列的通项公式， （2）设数列的前n项和为，则由等差数列的求和公式可求出，由可求得时，，当时，，然后分情况可求出. 【详解】（1）∵，∴， ∴数列是等差数列，设其公差为d． ∵，∴， ∴ （2）设数列的前n项和为，则由（1）可得， 由（1）知，令，得， ∴当时，， 则 ； 当时，，则， ∴ 【考点题型十】判断验证等比数列 【例10】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由定义判定等比数列、判断等差数列 【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【详解】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 【变式10-1】（23-24高一下·上海·期中）若数列的通项公式为，则这个数列是一个（    ） A．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以为公比的等比数列 C．以为首项，以3为公比的等比数列 D．以为首项，以为公比的等比数列 【答案】D 【知识点】由定义判定等比数列、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的性质和定义求出首项和公比即可. 【详解】根据题意，数列的通项公式为， 当时，有， 当时，， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列. 故选：D. 【变式10-2】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）数列中，是正整数，数列的前项和. (1)若，且，求的值； (2)若，求证是等比数列，并求. 【答案】(1)或或 (2)证明见解析， 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据得是公差为3的等差数列，求出，再解即可. （2）根据等比数列的定义可证是等比数列从而得到. 【详解】（1）当时，，,所以是公差为3的等差数列， 所以，所以， 因为，所以， 因为是正整数，所以或或. （2）当时，， 因为，，所以是等比数列， 所以， 所以. 【考点题型十一】等比数列角标和性质 【例11】（23-24高三上·山东济南·阶段练习）已知正项等比数列中，，则（    ） A．1012 B．2024 C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】 根据等比数列性质得到，结合对数运算法则求出答案. 【详解】正项等比数列中，， 故， 故 . 故选：B 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 【变式11-2】（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列性质若，则，化简已知条件即可求解. 【详解】根据等比数列的性质若，则，有，， 所以化为，即， 又因为，所以. 故答案为： 【考点题型十二】等比数列片段和性质 【例12】（23-24高三下·江西·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，所以，所以， 所以，即. 故选：A. 【变式12-1】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列前n项和的性质求解. 【详解】由等比数列性质可知，成等比数列， 因为，所以，所以成等比数列， 所以，所以，所以. 故选：C. 【变式12-2】（23-24高三上·河北石家庄·期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A．27 B．39 C．81 D．120 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列片段和的性质可求出结果. 【详解】由题知，，， 因为数列成等比数列， 所以， 所以. 故选：D. 【考点题型十三】等比数列奇、偶项和 【例13】（23-24高三上·山西太原·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【知识点】等比中项的应用、求等比数列前n项和、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前3项之积可求得，从而求得首项. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴， 设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即， ∴，∵,∴解得， 又前3项之积，解得，∴. 故选:B. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等比中项，以及奇数项和偶数项的关系，属于基础题. 【变式13-1】（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（    ） A．3 B．4 C．7 D．9 【答案】A 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】根据等比数列中偶数项和与奇数项和关系列式求解，即得结果. 【详解】因为等比数列共有项，所以等比数列中偶数项有项，奇数项有项， 由题意得，所以偶数项和为，奇数项和为，相减得 故选：A 【点睛】本题考查等比数列和项公式基本量计算，考查综合分析求解能力，属中档题. 【变式13-2】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为 . 【答案】 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设公比是，由题意得，，根据等比数列的通项公式计算可得． 【详解】解：设公比是，项数为（为偶数） 由题意得， ， ， ， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查数列的项数的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题． 【考点题型十四】数列中最大（小）项 【例14】（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【答案】C 【知识点】等比数列的单调性、求等比数列前n项和、求等比数列中的最大（小）项 【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，，判断D即可. 【详解】对A，∵，，，且数列为等比数列， ∴，，∴， 因为，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； 对D，， 因为，，， 故，，，故，即， 故最大为，故D正确． 故选：C． 【变式14-1】（多选）（24-25高三上·重庆·期中）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列中的最大（小）项、等比数列前n项和的其他性质 【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对分奇偶进行讨论可得B；求出后对分奇偶讨论可得C、D. 【详解】由题意可得，即， 故， 对A：，故A正确； 对B：， 若为奇数，则， 若为偶数，则，随的增大而增大， 故，故B正确； 对C：， 当为奇数时，，且随的增大而减小， 当为偶数时，，随的增大而增大， 则当时，有最大值，即， 当时，有最小值，即， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式14-2】（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)，； (2)最大值16，最小值8 【知识点】求等比数列前n项和、求等比数列中的最大（小）项、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答. （2）由（1）可得，再分为奇数与偶数时，结合的单调性求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有， 设等差数列的公差为，因，，则，解得，即， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）由（1）知，， 当时，，此时数列是递减的，恒有，此时； 当时，，此时数列是递增的，恒有，此时； 综上可得，的最大值为16，最小值为8. 【考点题型十五】数列求通项（累加法，累乘法） 【例15-1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】8 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：8 【例15-2】（2024·四川成都）在数列中，，，则数列的前项和 ． 【答案】 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】令，根据，得到，，再利用累乘法得到，然后利用裂项相消法求解. 【详解】令，显然，因为， 所以， 所以，，又 . 由累乘法，可得， ， 显然，当时，满足上式， 所以， 所以. 故答案为： 【变式15-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 【答案】B 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用累加法、结合等差数列前项和公式计算即得. 【详解】数列中，，， 则. 故选：B 【变式15-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨）数列满足，，则 ． 【答案】 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】利用累乘法求得正确答案. 【详解】 ， 也符合上式， 所以. 故答案为： 【考点题型十六】数列求通项（与关系） 【例16-1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式． 【答案】 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用来求得数列的通项公式. 【详解】由，得， 当时，，所以， 当时，， 两式相减得，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 【例16-2】（2024高三·全国·专题练习）设为数列的前项和，已知，，，求. 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】令，可求得的值；令，由代入可推导出，可得出数列是等差数列，求出的表达式，再由可求得数列的通项公式. 【详解】因为为数列的前项和，，，， 当时，，即，又，得． 当时，由，得，得． 则数列是首项为，公差为的等差数列，所以， ，，则，则． 当时，， 又满足，故，． 【变式16-1】（24-25高三上·上海松江·期中）（1）已知等差数列的前项和为，求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，其中，求的通项公式. 【答案】（1），（2）， 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列式求出，进而得到通项公式；（2）根据与的关系求出通项. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，即，解得， ，， . （2）当时，， 当时，， 所以，. 【变式16-2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用与的关系式即可求解. 【详解】因为，① 则当时，，即， 当时，，② ①②得，所以， 也满足， 故对任意的，． 【考点题型十七】数列求通项（观察法） 【例17-1】（23-24高二下·山东淄博）已知数列满足，，则数列的通项公式为 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【分析】由已知可得，利用为等差数列求的通项公式. 【详解】由得， 故为等差数列，公差为1，首项为1， 所以 所以. 故答案为： 【例17-2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足，求． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】根据递推关系得，结合等比数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由，得， 所以，又 故数列为首项、公比均为的等比数列， 则，故． 【变式17-1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项、判断等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 【变式17-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、构造法求数列通项 【分析】由题意可得是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可, 【详解】由可得， 所以，则是公比为的等比数列， 所以，所以. 故选：B. 【变式17-3】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项 【分析】构造数列，数列为等比数列，求出，进而求出. 【详解】因为，所以，则数列时以为首项 公比为的等比数列，故，所以. 【考点题型十八】数列求和（倒序相加法） 【例18】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】根据，可得，再根据等比中项的性质可得，又，再利用倒序相加可得解. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 【变式18-1】（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据题意，结合，将前24项和转化为等差数列求和问题. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 【变式18-2】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ． 【答案】2022 【知识点】倒序相加法求和 【分析】由，利用倒序相加求解. 【详解】解：由， 令， 则， 两式相加得：， ∴． 故答案为：2022 【变式18-3】（23-24高二上·江苏常州）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 . 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、倒序相加法求和 【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16项的和. 【详解】，① ，② 两式相加，又因为， 故，所以， 所以的前16项的和为 故答案为： 【考点题型十九】数列求和（分组求和法） 【例19-1】（2024高三·全国·专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）计算出等比数列的公比，从而求得. （2）利用分组求和法求得数列的前项和． 【详解】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列， 所以． 设数列的公比为，则， 解得，或（舍）， 所以． （2）由（1）知， 因为，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 即数列的前项和为． 【例19-2】（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，解得或， 因为，所以，则； （2）由（1）可得， 所以 . 【变式19-1】（24-25高三上·广西·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算，即可求解公差，进而可求解， （2）利用分组求和，结合等差等比求和公式即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 由，得，整理得，解得（舍去）， 因此，； （2）因为，所以, 【变式19-2】（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知数列满足. (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求的前100项和. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据已知条件结合，可求得，，根据递推式可得，然后利用等差数列定义及通项公式求解即可. （2）根据递推式求得，然后利用分组求和结合等差数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由题意知：，又且， 所以，， 所以，所以， 因为，所以， 所以数列是以0为首项，以为公差的等差数列， 所以. （2）当为奇数时，为偶数，则， 两式相减得：， 因为，所以， 当为偶数时，为奇数，则， 两式相减得：， 因为，所以，所以； 所以 . 【考点题型二十】数列求和（裂项相消法） 【例20-1】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知数列为等差数列，为前项和，， (1)求的通项公式； (2)设，比较与的大小； 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知转化为的形式列方程组，解方程组求得的值，从而求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项求和法求得表达式，判断出，利用对数函数的性质得到，由此得到. 【详解】（1）因为为等差数列，设公差为， 因为，， 所以，解得， ∴； （2）∵， ∴ ， 则，又，∴. 【例20-2】（24-25高三上·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，若公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等差数列前n项和的基本量计算、等比中项的应用 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式以及等比中项的应用得到方程组，解出即可； （2）裂项得，再代入求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，且， 则，即，解得， 则. （2）， 所以 . 【例20-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、由定义判定等比数列、数列不等式恒成立问题、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据数列递推式，可得，结合等比数列定义，即可证明结论； （2）利用（1）的结论求出，可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得，继而证明结论. 【详解】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足， 故， 由于，故，故， 故数列是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可得，故， 故， 故 ， 由于，故. 【变式20-1】（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、求等差数列前n项和 【分析】根据累加法可得数列的通项公式，再根据裂项相消求和即可得答案. 【详解】由题意可得 ， 累加可得， ，所以， 故. 故选：D. 【变式20-2】（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）降次作差即可得到，再根据等比数列的通项公式即可得到答案； （2）裂项求和得到，再计算出的范围即可得到的范围. 【详解】（1）时，，即，所以. 时，， 所以，即， 因为，所以， 所以是首项为1公比为2的等比数列， 所以. （2）由(1)得， 所以. 显然是递增数列，且， 所以，即， 所以，解得. 实数的取值范围是. 【考点题型二十一】数列求和（错位相减法） 【例21-1】（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）根据与的关系结合累乘法求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）令，得， 当时，因为，所以， 两式相减得， 即，所以， 所以，即， 所以， 又，符合上式，所以； （2）， 则， ， 两式作差得， 即， 所以． 【例21-2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足.求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）由已知，当时，，当时，，已知等式与之相减可得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）知，则，则，两式相减再化简，即可得到. 【详解】（1）因为，① 当时，， 当时，，② 得，即， 因为符合，所以. （2）由（1）知， 所以，， 所以，， 两式相减得， ， 所以. 【变式21-1】（2024·河北）已知数列，其前项和， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据的关系，即可求得答案； （2）结合（1）求出的通项公式，利用错位相减法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知， 两式作差，可得， 当时，，不适合上式， 所以 （2）由题意可知，， 那么， 可知， 两边乘以3，可得：， 两式作差可得：所以， 即得：. 【变式21-2】（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列通项公式计算得出通项； （2）应用错位相减法求出数列的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得，解得， 所以． （2）设， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以，所以． 提升训练 一、填空题 1．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先证明是等差数列，再根据求和公式计算，解不等式即可. 【详解】当，， 当， 则（常数）。 则是首项为，公差为1的等差数列. 由题意知，，故， 故. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设，，，再根据得出的关系，进而可得. 【详解】设，，， 则，. 故，则，，且. 故，，. 则，，故. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】/ 【知识点】对数的运算、等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】由已知可设，，根据等差数列通项公式及对数运算公式可得，由，可得或，分别代入可得数列通项公式，进而可得解. 【详解】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列，设，，则当时，的最大值是 ． 【答案】9 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】由等差和等比数列的基本量法求出数列和的通项，进而可得和，再判断数列为递增数列，由等比数列的求和公式求解即可； 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 因为， 所以数列为递增数列， 因为，， 所以的最大值是9. 故答案为：9. 5．（24-25高三上·上海·期中）数列中，，，若，则 . 【答案】9 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】先求等差数列求出通项，再求和得出参数. 【详解】由题知，数列为等差数列，， 则，即，故. 故答案为：9. 6．（24-25高三上·上海·期中）已知数列为无穷等比数列，若，公比   则无穷等比数列的各项和为 . 【答案】4 【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的求和公式即可得到，从而得到结果. 【详解】由于无穷等比数列的，公比 所以首项， 所以， 故答案为：4. 7．（24-25高三上·上海·期中）小张和小李同学在玩数字游戏，在一张空白纸上依次写有这211个自然数，然后小张划掉最前面的4个数1，2，3，4，并将它们的和10写在数列的最后，然后小李继续划去5，6，7，8这4个数，并将其和26写在10的后面.两人依次操作，假设他们俩在计算和操作都正确的情况下，最后将剩下一个数，该数为 . 【答案】22366 【知识点】求等差数列前n项和、数与式中的归纳推理 【分析】根据题意依次划掉数字并加入和，记作数列，并计算留下数字的和即可. 【详解】①易知，划掉次后，变为个正整数， 记为，其中 ， 所以； ②易知，再划掉次后，变为个正整数，记为， 其中， 则； ③而，再划掉次，变为个正整数，记为， 其中，，， 故； ④，再划掉最后次，变为个正整数，记为， 其中. 故答案为：. 8．（24-25高三上·上海青浦·期中）记为数列的前项和，已知，则数列的通项公式 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用，来求得的通项公式. 【详解】当时，，解得． 当时，，所以，即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以， 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知无穷数列满足：存在正整数T，使得对一切正整数成立，则称是周期为T的周期数列．若数列为周期数列，且为正整数)，则该数列的前项和为 【答案】0 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】结合三角函数有界性来处理即可. 【详解】对任意时,, 所以, 等号当且仅当时成立. 因此当时，必有..., 则数列不是周期数列,与已知矛盾. 而数列为周期数列, 所以必有,因此; 所以该数列的前项和为0. 故答案为：0. 10．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据递增数列的定义可得，，且，结合题意解得，即，求出的最小值即可求解. 【详解】在上是递增数列，所以，，且， 即， 所以，即， 又， 所以. 故答案为：. 二、单选题 11．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和 【分析】利用无穷等比数列的前项和公式及性质即可得解. 【详解】因为为无穷等比数列，，所以，则，则. 因为，所以是以为公比的等比数列，且，此时，所以. 一方面，；另一方面，对任意，取，则. 综合两方面可知，的取值范围为. 故选：B. 12．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数列周期性的应用、数列新定义 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 13．（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、等比数列的单调性 【分析】根据题意，分别从两个方向判断“对任意正整数，都有”与“数列是严格减数列”之间的推导关系，根据推导关系判断结论. 【详解】若是严格递减数列，显然能推出， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件； 若对任意的正整数都成立， 则中不可能同时含正项和负项，故， 所以，，即，， 或，，即，. 当，时，有，即，是严格递减数列； 当，时，有，即，是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件. 故选：C. 14．（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 【答案】A 【知识点】判断或写出数列中的项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据，可求出，即可求出，将其化为形式，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列的前项和, 当时，； 当时，， 也适合，故； 则， 由于，时，，时，， 结合二次函数性质，对称轴为， 则当，，递增， 再结合数的特点知， 故数列的各项中所有项均是数列中的项， 故选：A 15．（24-25高三上·上海·阶段练习）在数列中，满足（为正整数），则①一定存在常数，使得都成立；②一定存在常数，使得（为正整数）都成立上面判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】取特殊值有，①成立，取，满足，②不成立即可得出选项. 【详解】数列满足：， ①不妨设，则， 若存在常数，使得且，即， 应有，显然成立，故①正确 ②取，显然满足， 但对，②为假命题； 故选:B. 三、解答题 16．（24-25高三上·上海·期中）已知数列和满足，（为常数且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）由等比数列的定义即可判断； （2）通过单调性即可判断. 【详解】（1）证明：因为，（为常数，且）， 上述两个等式相加可得，则，所以，， 因为，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，所以，， 则，即数列是公比为的等比数列. （2）解：因为为数列的前项和，且，则， 由（1）可知，，所以，， 所以，，则， 由（1）可得， 所以，， 所以，， 因为数列单调递减，且当且时，，且， 所以，当且时，， 当且时，， 所以，数列从第项开始单调递减， 所以当或使得取到最大值，. 17．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，求得等比数列的公比，再求数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得. 【详解】（1）由题意可知，，即，即， 整理可得，因为， 所以，， 因此，. 所以，，， 则等比数列的公比为， 故. （2）由（1）可得， 所以， . 18．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可求，即可得通项公式； （2）根据通项公式分析数列的符号性，进而可得前项和的最小值. 【详解】（1）因为，即， 又因为，可得，即， 则，可得， 所以数列的通项公式. （2）令，解得， 可知当时，；当时，； 所以数列的前项和的最小值为. 19．（24-25高二上·上海·开学考试）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. (1)求的通项公式： (2)若，为数列的前n项和，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）设等差数列的公差为不为，由已知可得，求解可得的通项公式： （2）由（1）可求数列的通项公式，进而可求数列的前n项和，进而可求. 【详解】（1）设等差数列的公差为不为， 因为，成等比数列，所以， 整理得，解得， 所以； （2）由（1）可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 20．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，，其中是正整数． (1)求的通项公式； (2)数列满足，且，，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用给定的前项和公式，结合求解即得. （2）求出，利用构造法求出，再利用分组求和法求出. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）依题意，，，由，得，解得， 则，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即， 所以数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$