专题02 简单几何体（考点清单+知识导图+ 11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单02 简单几何体 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 【清单02】圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 【清单03】棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 【清单04】圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 【清单05】柱体体积 【清单06】椎体体积 【清单07】球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【考点题型一】棱柱与圆柱结构特征 【例1】（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、棱柱的结构特征和分类 【分析】底面是矩形，侧棱和底面不一定垂直，①为假命题；棱长都相等，底面可能为菱形，②是假命题；当侧棱垂直于底面两条平行的边时不能得到侧棱和底面垂直，③是假命题；由对角线相等可得侧棱.和底面垂直，④是真命题. 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 【变式1-1】（24-25高二·全国·课后作业）下列对于圆柱的各判断中正确的是（    ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 【答案】C 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】由旋转体的结构特征依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，有两个互相平行的底面的旋转体可能是圆台，A错误； 对于B，圆柱的轴截面均经过圆柱的轴，有无数个，B错误； 对于C，由圆柱的定义知C正确； 对于D，圆柱有无数条母线，D错误. 故选：C. 【变式1-2】（多选）（23-24高一下·山东聊城·期中）下列命题正确的是（    ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 【答案】BD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析 【分析】根据常见几何体的性质与定义逐个选项辨析即可. 【详解】对A，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A错误； 对B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B正确； 对C，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C错误； 对D，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D正确； 故选：BD 【考点题型二】棱柱与圆柱中最短距离问题 【例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据三棱柱的侧面展开图确定两只蚂蚁各自爬过的路程最短，当取等号时求即可. 【详解】如图所示， 将三棱柱沿着侧棱展开，又因为正三棱柱的底面边长与侧棱长相等，则同理 所以， 又因为，所以 所以. 故答案为：. 【变式2-1】（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可． 【详解】如图，连接，，将平面和平面展开到同一平面， 连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 故选：C． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在长方体中，，，，P为上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将半平面沿翻折到且平面与平面位于同一平面，连接EC与交于点P，此时即为的最小值，再利用余弦定理求出即可； 【详解】如图． 将半平面沿翻折到且平面与平面位于同一平面， 如图：连接与交于点P，此时EC即为的最小值， 因为，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 【考点题型三】柱体体积 【例3】（24-25高一上·上海·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，.    (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】柱体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）根据定义证明底面为矩形，侧棱矩形面即可； （2）找出线面角，根据题意以及（1）中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的体积公式计算即可； 【详解】（1）由题意在堑堵中，底面， 由底面，底面， 所以，， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为矩形，又， 又，平面，所以平面， 所以四棱锥为阳马. （2）由（1）知平面，所以斜线在平面的射影为， 所以直线与平面所成的角为， 在中，，所以， 在中，，所以， 又，所以在中，， 所以堑堵的体积为：. 【变式3-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    【答案】/0.1875 【知识点】柱体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】分别取的中点，连接，结合棱柱的结构特征可得几何体是三棱柱，再证明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解. 【详解】连接,分别取其中点，连接，如图，    则，且，可得几何体是三棱柱， 又，且，于是平面， 而平面，则，同理，又平面， 因此平面，即三棱柱是直三棱柱， 由正方体的棱长为1，得， 所以直三棱柱的体积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题中信息，作出几何体，再证明该几何体是直三棱柱是本题的关键. 【变式3-2】（23-24高一下·陕西·期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形．内接于下底面圆，且是一个面积为的等腰直角三角形，则该圆柱的体积为 ． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】先由三角形面积公式求出三角形边长，再由正弦定理求底面圆的半径，由圆柱体积公式求圆柱的体积. 【详解】如图所示，设圆柱的底面半径为r，高为h，则． 再设的腰长为a，则， 解得，即， 因为， 所以， 所以，． 所以该圆柱的体积为． 故答案为： 【变式3-3】（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】柱体体积的有关计算、面面平行证明线面平行 【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长. 【详解】（1）证明：在直四棱柱中，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. （2）解：因为，，，，， 所以，， 所以，，解得. 【考点题型四】棱柱圆柱表面积 【例4】（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】先根据侧面积公式表示出侧面积，然后利用基本不等式求解出最大值即可. 【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为， 侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以侧面积的最大值为， 故答案为：. 【变式4-1】.（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、棱柱的结构特征和分类、证明线面垂直 【分析】首先证得，然后分别求出三个侧面的面积相加即可求出结果. 【详解】过点作，连， 因为，，， 所以，则，即， 由是平面内两条相交直线， 所以平面，又， 所以平面，又平面， 所以， 所以该斜三棱柱的侧面积为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是作，证明. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出该圆柱的底面圆半径，再求出其表面积. 【详解】依题意，圆柱的底面圆周长为4，则半径， 所以该圆柱的表面积. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】如图，由已知条件可知，侧面是平行四边形，也是平行四边形，为矩形，计算可得. 【详解】 由题意知为直角等腰三角形，，， 所以，侧棱长为b，则， ，侧棱长为b， 则从点A到距离为， 从点A到距离为距离为， 所以. . 【考点题型五】棱锥与圆锥结构特征 【例5】（23-24高一下·广东梅州·期中）下列结论正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【答案】D 【知识点】棱台的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台特点即可判断D. 【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误； 对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误； 对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误；    对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．底面是正方形的四棱柱是正方体 B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥 C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 【答案】B 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据几何体的定义判断即可. 【详解】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误； 当棱锥的底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等时，棱锥的顶点在底面的投影是底面的中心，所以该棱锥是正棱锥，故B正确； 用一个平行于底面的平面截圆锥，可以得到一个圆锥和一个圆台，故C错误； 有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）下列结论正确的是（    ） A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据平行六面体、三棱锥、圆锥、圆台的母线的概念进行逐项分析即可. 【详解】对于A：底面是平行四边形的四棱柱为平行六面体，故A正确； 对于B：如果两个相同的三棱锥叠放在一起，得到的几何体各个面都是三角形，但几何体不是三棱锥，如下图所示： 故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的几何体叫圆锥， 显然若旋转未满一周，则几何体不是圆锥，故C错误； 对于D：过圆台上下底面平行的直径同一侧的端点的连线叫做圆台的母线，故D错误； 故选：A. 【考点题型六】圆锥中最短距离问题 【例6】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    【变式6-1】（24-25高二上·上海浦东新）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】将空间图形进行翻折变化到同一平面，根据两点之间线段最短即可求解. 【详解】 将翻折到平面内，得到如图所示平面四边形， 因为所以, 所以,所以, 又因为，所以翻折后的图形中, 根据两点之间线段最短可知，的最小值为, 故选:B. 【变式6-2】（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 . 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、余弦定理解三角形 【分析】先根据题意求出圆锥的母线长，然后将圆锥的侧面展开，如图，则可知此蚂蚁爬行的最短路径长为，求出扇形的圆心角，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】设，利用扇形的面积公式得，解得， 所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为，所以圆心角为， 沿母线裁开，将圆锥的侧面展开，如图所示， 因为，所以，连接，则为最短距离， 由余弦定理得， 所以，即此蚂蚁爬行的最短路径长为. 故答案为： 【考点题型七】椎体体积 【例7】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、锥体体积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据三棱锥的体积公式直接求得结果. 【详解】因为， 点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点， 所以， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 【考点题型八】椎体表面积 【例8】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【答案】18 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 【变式8-1】（24-25高三上·上海闵行·期中）已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是 ． 【答案】/ 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据侧面展开图是半圆解得，再由求出可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，解得， 又由，可得，， 所以圆锥的侧面积是. 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）一个高为的圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】由圆锥的侧面展开图计算半径与母线关系，再由勾股定理求出半径，最后代入公式计算表面积即可； 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形可得，解得， 由勾股定理可得，解得， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 【考点题型九】多面体与旋转体中的有关计算 【例9】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】柱体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）根据长方体结构特征及线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）利用长方体、棱锥的体积公式求多面体体积. 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；    （2）由题设，剩下的多面体的体积. 【变式9-1】（24-25高三上·上海松江·开学考试）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ． 【答案】 【知识点】求组合旋转体的表面积 【分析】先确定旋转体是母线且同底的两个圆锥构成的几何体，进而可得. 【详解】由题意知，为等腰三角形，且， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，所以旋转体的表面积． 故答案为：. 【变式9-2】（23-24高二·上海·课堂例题）在如图所示的多面体中，已知ABCD为矩形，和为全等的等腰梯形，，．求此多面体的表面积与体积．    【答案】表面积为，体积为 【知识点】求组合多面体的表面积、求组合体的体积、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】结合已知条件，分别求几何体各个面的面积，然后再求面积之和即可得几何体表面积，利用割补法纪即可求得几何体体积. 【详解】由题意可知，和都是边长为2的等边三角形， 故， ∵，∴， 分别过、向作垂线，垂足为、，如下图所示：    结合等腰梯形性质可知，，， 从而， 故， 故多面体的表面积； 将五面体补全为直三棱柱，如下图所示：    则多面体的体积， 由几何体特征可知，，， 由余弦定理可知，，故， 从而易知， 故，， 从而几何体的体积． 【考点题型十】球中的截面问题 【例10】（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小；当截面过球心时，截面面积最大，进而利用图形求解即可. 【详解】如图：设的中心为，球的半径为，连接，则点在上， 连接. 因为三棱锥为正三棱锥，且，， 所以，， 在中，，即， 解得， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 故选：A 【变式10-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 【变式10-2】（24-25高二·上海·课堂例题）球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据勾股定理可以求出截面的半径，进而求出截面的面积. 【详解】假设截面半径为，球半径为，球心到截面的距离为 所以 所以截面面积为 故答案为：. 【变式10-3】（24-25高二·上海·课堂例题）在半径为13cm的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离． 【答案】11cm． 【知识点】判断线面是否垂直、球的截面的性质及计算、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得到截面外接圆的半径，利用球的性质得到平面，结合勾股定理求解即可. 【详解】    设经过三点的截面为，设球心为O，连接，则平面， 因为，所以是等边三角形， 而是的外接圆，所以是的外接圆半径， 由正弦定理得，解得， 由勾股定理得， 所以，球心到截面距离为11cm． 【考点题型十一】球的表面积与体积的有关计算 【例11】（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可. 【详解】 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 故选：B 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】/ 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： 【变式11-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】作出圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，由此易得圆柱底面半径、高与球半径关系，从而可求得圆柱侧面积的最大值，再由球面积得结论． 【详解】如图是圆柱的轴截面， 其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线， 设圆柱底面半径为，高为， 则，，， 因此， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 圆柱侧面积为，最大值为， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之和为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解决跟球和圆柱有关的问题时，一般是作出其轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决. 【变式11-3】（24-25高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】由题意求得的长以及外接球的半径即可得解. 【详解】在正四棱柱中，平面， 则为直线与底面所成的角， 依题意可得，又，所以， 所以正四棱柱的外接球的半径为， 所以正四棱柱的外接球表面积为.    故答案为：. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、面面平行证明线线平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据面面平行的性质定理得出四边形为平行四边形，进而根据线面垂直的判定定理以及性质定理证明，即可得出①；根据①的结论，得出四边形的面积，利用二次函数的性质求解判断②；将四棱锥分割为三棱锥与，利用棱锥的体积公式求解判断③． 【详解】对于①，如图，连接． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得． 所以四边形为平行四边形． 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 因为分别是的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以四边形为菱形，故①正确； 对于②，∵由题意得，，， ∴在矩形中，可得， ∴四边形的面积， ∵，∴当时，有最小值1；没有最大值．故②错误； 对于③，如图，连接， ∴四棱锥被分割为三棱锥与三棱锥， ∵平面，平面，∴． 又，平面，， 所以平面， 所以，点到平面的距离等于， 即点到平面的距离等于， ∵，平面，平面， ∴平面． 又，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，为， 同理，点到平面的距离也为， 而， ∴四棱锥的体积 ， 则为常值函数．故③正确． 故选：C． 2．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用勾股定理得为直角三角形，取中点，连接，结合球半径可得的长，进而得体积的最大值. 【详解】 如图，设球心为， 由，，， 则为直角三角形， 取斜边的中点为球小圆的圆心，连接，， 则平面， 由，，可得， 由的面积为：，要使三棱锥的体积最大，即高最大， 因此当三点共线，即平面时， 三棱锥的高最大即为， 故三棱锥的最大体积为：. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为2的正方体. 中，点P在截面上（含边界），则线段AP的最小值等于 （     ） A．23 B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】利用等体积法求得正确答案. 【详解】设到平面的距离为， ， ， 解得，所以线段的最小值等于. 故选：B 4．（24-25高二上·上海·期中）已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【知识点】正棱柱及其有关计算、求异面直线所成的角 【分析】利用特例法可判断①；利用长方体的几何性质，结合两直线所成角的定义可判断②选项，从而得解. 【详解】对于①，依题意，设正方体的棱长为， 当为正方体的一条体对角线， 不妨设与线段重合，在正方体各面上的投影长为， 此时， 当平面时，在面、的投影长为， 在面、、、的投影长为，此时， 故不是定值，①错误； 对于②，当与正方体的棱平行时，不妨设平面垂直， 此时与棱、、、、、、、都垂直， 与棱、、、都平行，此时， 当不与正方体的棱平行时，过点、分别作正方体的棱的平行线， 构成长方体， 设与棱、、所成的角分别为、、， 由图可知，，同理可得，， 由长方体的几何性质可得， 所以，此时， 所以为定值，故②正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对的位置进行分类讨论，结合长方体的几何性质求解. 5．（2024·广西梧州·一模）有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ） A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 【答案】C 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据两点之间线段最短，利用圆木的侧面展开图计算葛藤长的最小值. 【详解】 取圆木两个的侧面展开图如上，如图，在中，（即圆木的高）长24尺，（尺），因此葛藤长的最小值为（尺），即为2丈6尺． 故选：C. 二、填空题 6．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高． 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 8．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 【答案】19 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】结合半球的知识计算出正确答案. 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）设一个几何体的表面积为，体积为，定义其体积系数.将两个完全相同的正棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正棱锥体积系数相同，则该正棱锥侧面与底面所成的角为 .（弧度数，精确到0.1弧度) 【答案】1.3弧度 【知识点】求线面角 【分析】设正棱锥底面积为，侧面积为，体积为，由题意可得，进而化简求解即可. 【详解】设正棱锥底面积为，侧面积为，体积为， 则，故， 解得，设该正棱锥侧面与底面所成的角为， 则，即. 故答案为：1.3弧度. 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一底面半径为1，高为2的圆柱.光源点A沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥表面积的有关计算 【分析】先由题意得出射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个，再根据圆锥的侧面积公式即可计算求解. 【详解】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个， 故所求的面积为以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的整个侧面积为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·期中）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则 【答案】 【知识点】棱柱的结构特征和分类、正棱锥及其有关计算 【分析】根据题意画出示意图，分别作出正四棱锥和正三棱锥的高，设棱锥的棱长为，求出三个高的值，再求比值即可得到结果. 【详解】如图：    正四棱锥和正三棱锥组成了一个三棱柱，设正三棱锥和正四棱锥的棱长均为，    连接相交于点，在正四棱锥中平面，∴， 取中点，连接，取的三等分点，连接，在正三棱锥中平面，∴， 在三棱柱中，∵平面，平面，平面，∴， 在正方形中，，∴， 在正三角形中，，则，则， ∴. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是 . 【答案】①③④ 【知识点】锥体体积的有关计算、判断线面平行、求点面距离、求直线与平面的距离 【分析】根据题设有，利用线面平行的判定判断①；应用线面平行的判定得到面，问题化为求点到平面的距离，应用等体积法求点面距判断②；进而利用等面积法求点到的距离判断③；利用余弦定理得到关于的表达式，进而判断是否能成立判断④. 【详解】①当点是中点时，则是中点，易知， 又面，面，故直线平面，对； ②由题设，易知，面，面，故面， 所以直线到平面的距离，即点到平面的距离， 由，，， 故到距离为，则， 所以，可得，错；    ③令点到的距离，则，对； ④由题设，易得，且， ， 所以， ， 在中， 由，显然时，能成立，故存在点使得，对. 故答案为：①③④ 13．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    【答案】1 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面平行 【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而得到点的轨迹，进而求得取得最小值时点的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，，    而分别为的中点，则， 由，得四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面，同理平面AMN， 又平面，因此平面平面，又平面AMN， 则平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 三棱锥的体积. 故答案为：1 14．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】棱锥的展开图 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 15．（24-25高二上·上海·期中）如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则 . 【答案】/0.5 【知识点】锥体体积的有关计算、判断线面平行、证明面面平行 【分析】先作出辅助线，得到面面平行，故平面即为平面，平面即为平面，计算出，，，计算出. 【详解】取的中点，的中点，的三等分点分别为， 其中靠近，连接，， 由中位线可知， 因为平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面， 且到平面的距离，到平面的距离，平面与的距离，三者相等， 故平面即为平面，平面即为平面， 故，， 设四面体的体积为， 由于，， 故点到底面的距离为点到平面的距离的， 故，同理可得， 故， 所以. 故答案为： 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)周长为，面积为； (2) (3)存在，或 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据题意做出截面，即可得到截面周长和面积； （2）找到两个临界情况，由此得出的取值范围； （3）根据（2）的进行分类，做出可能的图，分别设的长，由线段成比例分别表示出线段的长，用线段长表示出其中一个解得立体图形的体积，然后解方程得到的长，即可得出的值. 【详解】（1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正方体被平面所截的截面以及截得的两个立体图形的体积.解题的关键是数形结合，通过作图找到特殊点，从而解决（2）的范围；由（2）的思路，同样做出可能得图像，利用三棱柱的体积来求多面体体积，从而解得的值. 17．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，面积的取值范围是. 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、面面平行证明线线平行、证明线面垂直 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面.    （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. （3）在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长.    由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为，   ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 18．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】棱柱表面积的有关计算、求异面直线所成的角、面面平行证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得，进而可得结果. （2）根据给定条件，利用几何法求出直线和夹角. （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）在三棱柱中，连接， 由，O为的中点，得， 又平面，且平面，则，， 由，平面，得平面， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，， 即四边形为平行四边形，则， 所以平面. （2）在三棱柱中，， 由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为. （3）连接， 由（1）可知：，且平面，平面，则平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则，， 四边形为平行四边形，，且平面，平面， 于是平面，且，平面，所以平面平面， 且平面平面，则点P的轨迹为线段，即， 由，，为的中点，得， ，且为矩形，则， 在中，，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 19．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）利用正方形的性质得，结合正四棱锥的特征可由线线垂直得线面垂直；再根据锥体体积公式计算即可； （2）作出二面角的一个平面角，利用等积法及余弦定理计算解三角形即可. 【详解】（1）由题意可知底面，， 因为底面，则， 又平面， 所以平面， 因为该四棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则，底面正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （2）如图所示，作，垂足为E，连接， 结合正四棱锥的特征，易知，即， 所以为二面角的一个平面角， 在等腰中，由等面积法可知：， 即，所以， 在中，由余弦定理， 所以， 即二面角的大小为. 20．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径、的长为2且，高，点为线段的中点. (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成的角的大小： (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】圆锥表面积的有关计算、求异面直线所成的角、求线面角 【分析】（1）根据表面积公式即可求解， （2）根据线线平行可得为异面直线与所成的角，即可利用三角形的边角关系求解, （3）根据线面垂直可得即为直线与平面所成角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）圆锥的底面圆半径为2，， 故母线长， ． （2）底面，底面,， 又，即，，平面, 平面， 取中点，连接，则，且． 为异面直线与所成的角． 由平面，，可得平面，平面，得． 在中，求得， 在中，可得． 所以异面直线与所成的角的大小为 （3）底面，底面,， 又是中点，故, 平面， 平面， 故即为直线与平面所成角， 由于,, 故, 因此 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 简单几何体 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 【清单02】圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 【清单03】棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 【清单04】圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 【清单05】柱体体积 【清单06】椎体体积 【清单07】球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【考点题型一】棱柱与圆柱结构特征 【例1】（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25高二·全国·课后作业）下列对于圆柱的各判断中正确的是（    ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 【变式1-2】（多选）（23-24高一下·山东聊城·期中）下列命题正确的是（    ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 【考点题型二】棱柱与圆柱中最短距离问题 【例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则 【变式2-1】（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在长方体中，，，，P为上的一个动点，求的最小值． 【考点题型三】柱体体积 【例3】（24-25高一上·上海·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，.    (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 【变式3-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    【变式3-2】（23-24高一下·陕西·期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形．内接于下底面圆，且是一个面积为的等腰直角三角形，则该圆柱的体积为 ． 【变式3-3】（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【考点题型四】棱柱圆柱表面积 【例4】（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 【变式4-1】.（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是 . 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【考点题型五】棱锥与圆锥结构特征 【例5】（23-24高一下·广东梅州·期中）下列结论正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【变式5-1】（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．底面是正方形的四棱柱是正方体 B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥 C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 【变式5-2】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）下列结论正确的是（    ） A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【考点题型六】圆锥中最短距离问题 【例6】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【变式6-1】（24-25高二上·上海浦东新）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-2】（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 . 【考点题型七】椎体体积 【例7】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【变式7-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【考点题型八】椎体表面积 【例8】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【变式8-1】（24-25高三上·上海闵行·期中）已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是 ． 【变式8-2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）一个高为的圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 . 【考点题型九】多面体与旋转体中的有关计算 【例9】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【变式9-1】（24-25高三上·上海松江·开学考试）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ． 【变式9-2】（23-24高二·上海·课堂例题）在如图所示的多面体中，已知ABCD为矩形，和为全等的等腰梯形，，．求此多面体的表面积与体积．    【考点题型十】球中的截面问题 【例10】（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【变式10-2】（24-25高二·上海·课堂例题）球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为 【变式10-3】（24-25高二·上海·课堂例题）在半径为13cm的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离． 【考点题型十一】球的表面积与体积的有关计算 【例11】（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【变式11-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【变式11-3】（24-25高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为2的正方体. 中，点P在截面上（含边界），则线段AP的最小值等于 （     ） A．23 B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 5．（2024·广西梧州·一模）有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ） A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 二、填空题 6．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 7．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 8．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）设一个几何体的表面积为，体积为，定义其体积系数.将两个完全相同的正棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正棱锥体积系数相同，则该正棱锥侧面与底面所成的角为 .（弧度数，精确到0.1弧度) 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一底面半径为1，高为2的圆柱.光源点A沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 . 11．（24-25高二上·上海·期中）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则 12．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是 . 13．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    14．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 15．（24-25高二上·上海·期中）如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则 . 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    (1)请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. (2)计算截面的周长. (3)任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 18．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 19．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 20．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径、的长为2且，高，点为线段的中点. (1)求该圆锥的表面积； (2)求异面直线与所成的角的大小： (3)求直线与平面所成角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$