专题07 空间向量及其应用（考点清单+知识导图+ 19个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单07 空间向量及其应用 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【清单02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【清单03】共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【清单04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 【清单05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【清单07】点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【清单08】用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 【清单09】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【清单10】用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【考点题型一】空间向量加、减、数乘运算 【例1】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【详解】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1） . （2） . 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量. (1)； (2). 【答案】(1)，作图答案见解析 (2)，作图答案见解析 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】（1）解：； 向量如图所示. （2）因为点E､F､G分别为BC､CD､DB的中点. 所以，， 所以. 向量如图所示. 【考点题型二】空间向量数量积运算 【例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 【变式2-1】（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 【考点题型三】判断空间向量是否共面 【例3】（2024高二·上海·专题练习）已知、、是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是 ． ①，，； ②，，； ③，，． 【答案】①③ 【知识点】判定空间向量共面 【分析】利用向量共面定理即可判断出结论． 【详解】对于①，，，是空间三个不共面的向量， ，，是不共面的向量，故①正确； 对于②，假设存在实数，，使得， 则，，，解得：，，因此，，是共面向量，故②不正确． 对于③，假设存在实数，，使得， 则，，，无解， 假设不成立，因此，，不共面，故③正确． 故答案为：①③． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判定空间向量共面、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的基底性质——基底向量由三个不共面的非零向量构成，即不共线，以此作为判断依据. 【详解】对于A. ,故A错误； 对于B. 不共面，故B正确； 对于C. ,故C错误 对于D. ,故D错误 故选:B 【考点题型四】空间向量共面求参数 【例4】（24-25高二上·天津北辰·期中）已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则，，，解得. 故选：C 【变式4-1】（24-25高二上·广西南宁·期中）已知向量，， 若共面，则等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 故选：B 【变式4-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 【考点题型五】空间共面向量定理推论及其应用 【例5】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 【答案】 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【详解】因为，即， 整理得， 由A、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得，解得. 故答案为：． 【变式5-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、正棱锥及其有关计算 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把A到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点A到平面的距离， 因为点A是的中点，则点A到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）在四面体中，空间的一点满足.若、、共面，则λ＝ . 【答案】 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数 【分析】依题意可得，，，四点共面，根据空间四点共面的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为、、共面，所以，，，四点共面， 又， 根据四点共面的充要条件可得，解得. 故答案为： 【考点题型六】空间向量平行的坐标表示 【例6】（24-25高三上·上海·期中）设．若向量与向量平行，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用向量平行的坐标表示求得，从而得解. 【详解】因为向量与向量平行， 所以， 所以， 解得：， 所以. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【答案】A 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，且，则，可得. 故选：A 【变式6-2】（23-24高二上·安徽合肥·期末）设，，，，则 . 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行相关知识可得答案. 【详解】由题得，则，所以 故答案为： 【考点题型七】空间向量垂直的坐标表示 【例7】（24-25高二上·辽宁沈阳·开学考试）已知空间中三点，设 (1)已知，求的值； (2)若，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 又，所以，得到. （2）因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 【变式7-1】（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）设． (1)若，求k； (2)若，求k． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】（1）由空间向量线性运算的坐标表示求得，再由向量共线的坐标表示求参数； （2）根据向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】（1）由题设， 若，则，可得； （2）若，则， 所以. 【变式7-2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】（1）根据向量的模长的坐标表示和两个向量垂直的坐标表示求解即可. （2）根据共面定理列方程组求解即可. 【详解】（1）因为，所以 解得，即， 由，且得 ，解得， 即的值为. （2）因为向量与向量，共面，所以设，R， 因此， 即解得， 所以的值为. 【考点题型八】空间向量模的坐标表示 【例8】（23-24高二·甘肃兰州）已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以， 当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 【变式8-1】.（23-24高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 【变式8-2】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知空间三点． (1)求； (2)若向量与平行，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标表示 【分析】（1）根据已知点坐标表示出的坐标，应用空间向量模长的坐标运算求结果. （2）根据已知有且，结合它们的模长关系列方程求参数，即可得坐标. 【详解】（1）由题设，故； （2）由题意且，则， 又， 所以或. 【考点题型九】空间向量夹角的坐标表示 【例9】（23-24高二上·广东江门）若两个单位向量与向量的夹角都等于，则 . 【答案】/ 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】根据已知可得，，利用完全平方公式求得，再根据即可求得答案. 【详解】因为两个单位向量与向量的夹角都等于， ，，， ，， 又，则， ，即， ， . 故答案为：. 【变式9-1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 【变式9-2】（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标表示 【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积； （2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，故在中， 故的面积为. （2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角， 所以，即， 所以，可得， 当它们反向共线，即且时，有，无解， 综上，. 【考点题型十】点到平面距离 【例10】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）连接交于点，由已知推得，即可根据线面平行的判定定理得出证明. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为正方形，连接交于点，连接， 则是的中点，而为中点，于是， 又平面，平面， 所以平面. （2）由平面，且，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可． 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,1,，,0,， 所以,1,，,1,，,0,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，所以,,， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点. (1)求证：平面平面； (2)当为中点时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】点到平面距离的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）由题意可得，，由线面垂直的判断定理可得平面，即可得证； （2）以为原点，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为是正方形， 所以， 又因为平面，平面， 所以， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）解：以为原点，建立如图所示的空间坐标系： 因为，为中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，取， 则， 设点到平面的距离为， 则. 【考点题型十一】平行平面间距离 【例11】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】平行平面距离的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 【变式11-1】（2024高二上·全国·专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平行平面距离的向量求法、求面面距离、证明面面平行 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【详解】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 【变式11-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【知识点】平行平面距离的向量求法、求平面的法向量、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 【考点题型十二】点到直线间距离 【例12】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线BC的距离. 【详解】正方体的棱长为1，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，， 由，得，， 所以点到直线BC的距离. 故选：B 【变式12-1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 【变式12-2】（2024高三·全国·专题练习）已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设，则向量在直线l上的投影向量，在中，由勾股定理，得.若空间中三点，，，则点C到直线的距离为 ． 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】由题意，根据空间中点到直线距离的向量求法，利用坐标运算即可. 【详解】依题意得，， 则点C到直线的距离为 . 故答案为：. 【考点题型十三】异面直线之间的距离 【例13】（23-24高二·全国·课后作业）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是 ． 【答案】# 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，直接利用异面直线之间的距离公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,, ∴,, 设是，的公垂线方向上的单位向量， 则，即①， ，即②， 易知③， 联立解得，，或，，； 不妨取， 又∵, 则异面直线与的距离， 故答案为：. 【变式13-1】（23-24高二上·上海浦东新）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离. 【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，设与和都垂直， 则，即，取，又因为， 所以异面直线和间的距离为. 故选：B. 【变式13-2】（23-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【答案】/ 【知识点】求空间图形上的点的坐标、异面直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 【考点题型十四】异面直线所成角 【例14】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）首先可得，再证明平面，即三棱柱为直三棱柱，从而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）∵，，∴为等腰直角三角形， 故在三棱柱中为等腰直角三角形， 又是棱的中点，则， 因为侧面，均为正方形，即，， 又， 平面，所以平面，即三棱柱为直三棱柱， 所以平面，平面，则， 又且、平面， ∴平面. （2）因为平面，， 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 因为，所以，即异面直线与所成角为. 【点睛】 【变式14-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，.    (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出向量，，然后求夹角的余弦值即可得到异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：在正方体中，， 平面，平面，所以平面. （2）    建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为：. 【变式14-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，经过棱长为2的正方体的棱作一平面交平面于． (1)求证：． (2)若为的中点，求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面平行证明线线平行、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）利用面面平行的性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解即可. 【详解】（1） 因为为正方体，所以平面平面， 设过棱所作平面为，根据已知 平面平面于，平面平面于， 根据面面平行的性质有：； （2） 建立如图所示，以为坐标原点， 以、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以 【考点题型十五】线面角 【例15】（24-25高三上·上海·期中）在五面体中，平面，平面. (1)求证：平面，； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、线面平行的性质、证明线面平行、线面垂直证明线线平行 【分析】（1）由线面垂直的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面，利用线面平行的性质定理可证得； （2）结合已知可得直线、、两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面法向量，再利用线面角的向量法求解即得. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为平面，平面平面，所以，. （2）令，则，，， 有，于是， 由已知得直线、、两两垂直， 以点为原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， ，，， 设平面的法向量，则， 令，得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式15-1】（24-25高三上·上海·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，． (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)详见解析； (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）先论证平面PAD，从而，再由，得到平面PBC即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，求得平面PAB的一个法向量，设直线与平面所成的角为，由求解. 【详解】（1）证明：因为底面是边长为2的正方形， 所以，又，且， 所以平面PAD，又平面PAD， 所以，又，且， 所以平面PBC，又平面PBC， 所以； （2）由题意建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 【变式15-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．    (1)证明：直线与直线的位置关系为异面且垂直； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】异面直线的判定、线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）先证明两直线异面，再以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明. （2）先求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量的夹角可求出线面角的正弦值． 【详解】（1）    直线与平面交于点，且直线不过点，所以直线与直线的位置关系为异面 如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系系. 设，则 , 所以直线与直线的位置关系为异面且垂直； （2）设平面的法向量为， , 设直线与平面所成角为， 所以, 所以直线与平面所成角为. 【考点题型十六】二面角 【例16】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）设，的中点分别为，，连接，根据正棱柱的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面、平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以.    因为为的中点，所以， 从而， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【变式16-1】（24-25高三上·上海宝山·期中）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2，底面半径为1. (1)求该圆锥的侧面积； (2)为底面直径，A为底面圆周上一点，且，求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】圆锥表面积的有关计算、面面角的向量求法 【分析】（1）根据圆锥的高为2，底面半径为1，求得母线长，再利用圆锥的侧面积公式求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面PAB的和平面PAC的一个法向量和，设二面角的平面角为，由求解. 【详解】（1）解：因为圆锥的高为2，底面半径为1， 所以母线为， 所以圆锥的侧面积为； （2）建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面PAB的一个法向量为：， 则，即， 令，得，所以， 设平面PAC的一个法向量为：， 则，即， 令，得，， 设二面角的平面角为， 则，所以. 【变式16-2】（24-25高三上·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，再结合中位线可得证； （2）根据线线平行可证线面平行，进而可证直线，建立空间直角坐标系，可设，结合异面直线夹角可解得点，再根据向量法可得平面的法向量，进而可得二面角余弦值. 【详解】（1），平面平面，平面平面，平面， 又，分别是，的中点， ， 平面； （2） ，平面平面 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则点在平面内， 即，，，，， 则，，， 而，平面，平面， 平面， 又平面与平面的交线为直线， ， 设, 则点坐标为，，，解得， 则点坐标为，， 设平面的法向量， 即，即，取，可得； 设平面法向量为， 则，即，取，可得； ， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【考点题型十七】线面角探索性问题 【例17】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点.为与的交点. (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)或. 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）作出辅助线，得到，所以平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，则，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式列出方程，求出，得到答案； （3）设，则，由（2）知平面的一个法向量为， 设，，由得到方程，化为在上有解问题， 当时，，不合要求，当时，求出两根，只需，得到答案. 【详解】（1）连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以，， 故四边形为平行四边形，则， 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 点到平面的距离为， 解得， 故正四棱柱的高为； （3）设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， 设，，， 则， 化简得在上有解， 当时，方程为，解得，不合要求， 当时，， 故方程的根为， 故只需，解得或， 综上，或， 故线段的取值范围为或. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，设，，由得到方程，化为在上有解问题，再进行下一步的求解. 【变式17-1】（23-24高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点，且 【知识点】已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求两平面夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离； （3）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解, 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）， 所以点到平面的距离为. （3）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 【变式17-2】（2024·天津）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点．    (1)证明：若，则直线平面； (2)求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在，或 【知识点】已知线面角求其他量、面面角的向量求法、面面平行证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）利用面面平行证明线面平行； （2）利用坐标法求二面角余弦值，在求解该角的正弦值； （3）设，可表示点与，再根据线面夹角向量法求得即可. 【详解】（1）如图所示，    在线段上取一点，使，连接， 因为，则, 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，，点为中点，， 所以平行且等于，即四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又， 所以平面平面， 因为平面，平面 所以在平面内一定存在一条直线与直线平行， 所以平面. （2）如图所示，    因为平面，， 所以点为坐标原点，以分别为轴 建立空间直角坐标系， 所以由题意得：， 又点为中点， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则， 令， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则， 令， 所以， 设二面角的大小为， 所以 ， 所以二面角的正弦值为： . （3）存在点，使与平面所成角的正弦值为， 此时或， 理由如下： 假设存在点，设， 即， 由（2）知， 且平面的法向量为， 则， 所以， 所以， 设与平面所成角为， 则 ， 化简得：， 解得：或， 故存在点，使与平面所成角的正弦值为， 此时或. 【考点题型十八】二面角探索性问题 【例18】（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. (1)求证：； (2)当为钝角时，求实数的取值范围； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、空间向量的坐标运算、已知面面角求其他量 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）首先求出点坐标，即可表示出，，依题意可得，即可求出的取值范围； （3）利用空间向量法求出二面角二余弦值，即可求出，从而得到平面的法向量，再由向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为底面为正方形，底面， 如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以； （2）因为， 所以， 所以，， 当为钝角时，， 化简得，解得， 显然不平行，所以； （3）因为，，显然， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，则， 又平面的一个法向量为， 则有，解得， 又由已知，所以. 所以，， 由， 所以点到平面的距离为. 【变式18-1】（2024·江苏南京·模拟预测）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. (1)证明：四点共面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】平行公理、已知面面角求其他量、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）连接，由题意可得，根据平行线性质有，即可证结论； （2）法1：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角列方程求线段长；法2：取中点，连接，过作于，过作于，连接，利用线面垂直及面面角定义有是平面与平面所成的夹角，根据已知列方程求线段长. 【详解】（1）连接，因为， 所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，， 在半圆上，是弧中点，所以， 所以，又， 所以，所以四点共面. （2）法1：直棱柱中，以为原点，建立如图空间直角坐标系，    设，则， 设面的法向量为，则，取，所以， ， 设面的法向量为，则，取，所以， 平面与平面所成夹角，即与夹角或其补角， 所以，解得，所以 法2：设，由（1）知四点共面，则面面.    取中点，连接，则，而面，面， 故，，面，则平面， 过作于，又平面，所以平面， 过作于，连接，则，又是锐角. 所以是平面与平面所成的夹角，则， 所以在Rt中，， 在中，根据等面积法， 在中，. 所以. 所以，解得，即， 所以. 【变式18-2】（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在实数，理由见解析 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、面面垂直证线面垂直、空间线段点的存在性问题 【分析】 （1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由二面角的余弦值得到方程，求出答案. 【详解】（1） 因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. （2） 取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，故⊥， 又平面，平面， 所以，，故，，两两垂直， 故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.    设，则，，，， 故，，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得. 平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为， 则， 整理得，解得或（舍去）. 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 【考点题型十九】空间角的最值范围问题 【例19】（2024高三·全国·专题练习）如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为 ． 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】根据已知条件建立合适空间直角坐标系，设出点坐标，利用直线方向向量夹角的余弦值的计算方法结合点坐标满足的等式，利用三角换元法求解出直线与夹角余弦值的最大值． 【详解】取中点，连接，且延长线过点， 因为，，所以平面， 根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点， 以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 设，因为，所以，所以， 又因为，， 所以， 不妨设， 所以， 所以，取等号时， 所以直线PM与BF夹角余弦值的最大值为， 故答案为：． 【点睛】思路点睛：求动点引起的最值问题，建立空间直角坐标系，设出动点坐标，由动点满足的关系得出等式后消元，利用直线的方向向量夹角的余弦值的计算方法得到函数关系，再利用三角换元法解出直线与夹角余弦值的函数关系式，由三角函数的值域得到最大值. 【变式19-1】（23-24高三上·福建福州·期中）已知等腰内接于圆O，点M是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半圆面沿AB折起，使所成的二面角为.则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为 . 【答案】/0.5 【知识点】异面直线夹角的向量求法、由二面角大小求线段长度或距离、基本不等式求积的最大值、证明线面垂直 【分析】取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，以点O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. 【详解】在折后的图形中，取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，如图， 依题意，平面，于是得平面， 且是二面角的平面角，即，在平面内过点O作， 因此射线两两垂直，以点O为原点，射线分别为非负半轴建立空间直角坐标系， 令，则，设点，显然有， 于是得，令直线AC与直线OM所成的角为， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，显然直线AC与直线OM为异面直线，即， 而余弦函数在上单调递减，因此取最大值时，角取最小值，， 所以直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可. 【变式19-2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围. 【详解】因为两两垂直，且，所以由勾股定理可知， 所以三棱锥为正三棱锥，记在底面内的投影为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，， 所以， 所以， 设直线与直线的所成角为. 所以 故答案为：. 【点睛】思路点睛：异面直线所成角的余弦值的向量求法： （1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量； （2）计算出两个方向向量夹角的余弦值； （3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可． 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,1,，,0,， 所以,1,，,1,，,0,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，所以,,， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． 2．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的加减运算、锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，得到，，证得平面，设，且，由，求得，得到，求得，结合，即可求解. 【详解】取中点O，连接，可则,， 因为且平面，所以平面， 设，且， 因为正方形的边长为，可得且， 又由， 因为，可得， 解得，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为 .（结果用反三角函数表示） 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，， ∴. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 同理可得平面的法向量为， ∴，二面角的大小为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点为的中点，则异面直线，所成的角的大小为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】在正方体中可以建立空间直角坐标系，得到点的坐标，从而得到对应线的方向向量，通过空间向量的夹角求出异面直线的夹角. 【详解】如图：    以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设正方体边长为2，则点，，，， 则，， 设异面直线，所成的角为， 则， ∴ 故答案为： 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在正方体中，已知棱，点E为线段上一点，则的值为 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】将分别用，再根据空间向量数量积的运算律即可得解. 【详解】设， 则 ， ， 所以 . 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知、、与平面所成角分别为60°、45°、30°，平面，为垂足，又有斜足A、B、C三点在同一直线上，且，则的长等于 . 【答案】 【知识点】由线面角的大小求长度、空间向量数量积的应用 【分析】设,,利用平面向量线性运算和数量积求解. 【详解】设，则， 又是底边上的中线， 则，， ， ， 所以，则， 所以，故，所以. 故答案为：. 7．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为a，异面直线与之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线的距离 【分析】先用线性表示出和的公垂线段上的向量，然后两次利用点积为零求出和，确定出，最后用空间向量求出直线间的距离即可． 【详解】解：设是和的公垂线段上的向量，    则， ． 又， ． ．故所求距离为 ； 故答案为：． 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·随堂练习）若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，则平面α与平面β所成的锐二面角的余弦值为 ． 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】根据二面角的向量求法计算即可. 【详解】设平面α与平面β所成的锐二面角为， 则, 所以平面α与平面β所成的锐二面角的余弦值为， 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·课后作业）在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据题意可知，平面，直线，从而得出：当、最短时，点为的中心，为线段的中点，从而可得出，并可得出，代入进行数量积的运算即可求出答案． 【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线， 当、最短时，平面，， 所以为的中心，为的中点， 此时， 平面，平面， ， ． 又， ． 故答案为：． 二、单选题 11．（24-25高二上·上海·期中）在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求平面的法向量、线面角的向量求法 【分析】如图，建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法求解线面角可得，结合换元法和二次函数的性质计算即可求解. 【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，再设平面还通过棱上一点， 可得， 令平面的一个法向量为， 则，取，得，所以. 又，设直线与平面所成角为， 则. 令，即， 则， 当且仅当即时，等号成立，∴. 故选：C. 12．（24-25高三上·上海·期中）已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积 【分析】延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：D. 13．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 14．（23-24高二上·上海·期末）在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足．点P满足，其中，则下列说法不正确的是（　　） A．当时，的面积S的最大值为 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，存在点P，使得平面 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A，B选项，直接利用几何法判断即可；对于C，D，可建立空间直角坐标系，然后将问题转化为坐标运算判断． 【详解】对于A选项：当时，点P在上时， 此时有，面， 又面， 所以， 又面， 所以面， 又面， 所以， 可知当点与点重合时，的面积最大， 所以的面积S取最大值为，故A正确； 对于B选项：当时，P在棱上， ∵，平面，平面，∴平面， ∴P到平面的距离为定值， ∵的面积为定值，∴当时，三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图建立空间直角坐标系， 则 对于C选项：时，，可得， 故，解得， ∴时，，故C正确； 对于D选项：时，得，∴，， ∴，即不成立，故不存在点P，使得平面，故D错误． 故选：D． 15．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】A 【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】对于ABD：建系，利用空间向量结合线、面位置关系分析判断，对于C：根据面面平行的判定定理分析判断. 【详解】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：    设，则，则， 因为点分别是的中点， 所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得， 即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则， 则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确；    故选：A. 三、解答题 16．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 【答案】(1)是的， (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面垂直、求空间中两点间的距离 【分析】（1）由鳖臑的结构即可判断； （2）由，即可求证； （3）建系，由空间两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）由平面平面，可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是. （2）因为底面，在底面内， 所以，由底面为长方形，有， 而，都在平面内， 所以平面平面，所以 又因为，点是的中点，所以，而，都在平面内， 所以平面 （3）    由题意，如图建立空间直角坐标系，设，，， 所以 当且仅当时，取得最小值. 18．（24-25高二上·上海·期中）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即得. （3）假定存在，利用三棱锥的体积公式求出点到平面的距离，再利用空间向量结合点到平面距离公式求解即得. 【详解】（1）在中，，，则， 在几何体中，， 平面，则平面，而平面， 则，又，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    依题意，，， 则，， 显然平面的一个法向量，设与平面所成的角为， 则，， 所以与平面所成角的大小为. （3）由（2）知的面积， 由是的中点，得点到平面的距离， 因此， 假设在线段上存在符合要求的点，设到平面的距离为， 因为， 所以， 因为，所以， 则，得， 所以，则是的三等分点等近的点， 所以， 即在线段上存在点满足条件，. 19．（24-25高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，且. (1)求证：平面平面； (2)设为的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由已知可得，结合，可得平面，再结合面面垂直的判定定理即可证结论. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成锐二面角的大小. 【详解】（1）取中点，连接、. 因为，所以，所以， 因为底面是边长为2的菱形，且， 所以是等边三角形，所以且， 又，，所以，所以. 又由于，且、是平面上的两条相交直线， 故平面. 又由于平面， 所以平面平面. （2）以为坐标原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，， 进而有. 于是，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量. 又平面的一个法向量， 故， 因此平面与平面所成锐二面角的大小为. 20．（24-25高三上·上海·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，再证平面，最后证明平面，得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又平面，所以平面. 因为平面，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，      则， 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以， ， 设平面与平面所成二面角为， 则，所以， 所以平面与平面所成二面角的大小为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 空间向量及其应用 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【清单02】空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【清单03】共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【清单04】空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 【清单05】空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 【清单07】点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 【清单08】用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 【清单09】用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【清单10】用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【考点题型一】空间向量加、减、数乘运算 【例1】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量. (1)； (2). 【考点题型二】空间向量数量积运算 【例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【考点题型三】判断空间向量是否共面 【例3】（2024高二·上海·专题练习）已知、、是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是 ． ①，，； ②，，； ③，，． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-2】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】空间向量共面求参数 【例4】（24-25高二上·天津北辰·期中）已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·广西南宁·期中）已知向量，， 若共面，则等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【变式4-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【考点题型五】空间共面向量定理推论及其应用 【例5】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 【变式5-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）在四面体中，空间的一点满足.若、、共面，则λ＝ . 【考点题型六】空间向量平行的坐标表示 【例6】（24-25高三上·上海·期中）设．若向量与向量平行，则 ． 【变式6-1】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【变式6-2】（23-24高二上·安徽合肥·期末）设，，，，则 . 【考点题型七】空间向量垂直的坐标表示 【例7】（24-25高二上·辽宁沈阳·开学考试）已知空间中三点，设 (1)已知，求的值； (2)若，且，求的坐标. 【变式7-1】（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）设． (1)若，求k； (2)若，求k． 【变式7-2】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【考点题型八】空间向量模的坐标表示 【例8】（23-24高二·甘肃兰州）已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（23-24高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【变式8-2】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知空间三点． (1)求； (2)若向量与平行，且，求的坐标． 【考点题型九】空间向量夹角的坐标表示 【例9】（23-24高二上·广东江门）若两个单位向量与向量的夹角都等于，则 . 【变式9-1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 【考点题型十】点到平面距离 【例10】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【变式10-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点. (1)求证：平面平面； (2)当为中点时，求点到平面的距离. 【考点题型十一】平行平面间距离 【例11】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【变式11-1】（2024高二上·全国·专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【变式11-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【考点题型十二】点到直线间距离 【例12】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2024高三·全国·专题练习）已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设，则向量在直线l上的投影向量，在中，由勾股定理，得.若空间中三点，，，则点C到直线的距离为 ． 【考点题型十三】异面直线之间的距离 【例13】（23-24高二·全国·课后作业）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是 ． 【变式13-1】（23-24高二上·上海浦东新）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【考点题型十四】异面直线所成角 【例14】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式14-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，.    (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式14-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，经过棱长为2的正方体的棱作一平面交平面于． (1)求证：． (2)若为的中点，求异面直线与所成角的大小． 【考点题型十五】线面角 【例15】（24-25高三上·上海·期中）在五面体中，平面，平面. (1)求证：平面，； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式15-1】（24-25高三上·上海·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，． (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式15-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．    (1)证明：直线与直线的位置关系为异面且垂直； (2)求直线与平面所成角的大小． 【考点题型十六】二面角 【例16】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【变式16-1】（24-25高三上·上海宝山·期中）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2，底面半径为1. (1)求该圆锥的侧面积； (2)为底面直径，A为底面圆周上一点，且，求二面角的大小. 【变式16-2】（24-25高三上·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【考点题型十七】线面角探索性问题 【例17】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点.为与的交点. (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围. 【变式17-1】（23-24高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【变式17-2】（2024·天津）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点．    (1)证明：若，则直线平面； (2)求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【考点题型十八】二面角探索性问题 【例18】（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. (1)求证：； (2)当为钝角时，求实数的取值范围； (3)若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【变式18-1】（2024·江苏南京·模拟预测）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. (1)证明：四点共面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 【变式18-2】（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【考点题型十九】空间角的最值范围问题 【例19】（2024高三·全国·专题练习）如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为 ． 【变式19-1】（23-24高三上·福建福州·期中）已知等腰内接于圆O，点M是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半圆面沿AB折起，使所成的二面角为.则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为 . 【变式19-2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 2．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为 . 3．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为 .（结果用反三角函数表示） 4．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点为的中点，则异面直线，所成的角的大小为 . 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在正方体中，已知棱，点E为线段上一点，则的值为 . 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知、、与平面所成角分别为60°、45°、30°，平面，为垂足，又有斜足A、B、C三点在同一直线上，且，则的长等于 . 7．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为a，异面直线与之间的距离为 ． 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 9．（24-25高二上·上海·随堂练习）若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，则平面α与平面β所成的锐二面角的余弦值为 ． 10．（24-25高二上·上海·课后作业）在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 二、单选题 11．（24-25高二上·上海·期中）在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（    ）. A． B． C． D． 12．（24-25高三上·上海·期中）已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·上海·期末）在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足．点P满足，其中，则下列说法不正确的是（　　） A．当时，的面积S的最大值为 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，存在点P，使得平面 15．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 三、解答题 16．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 18．（24-25高二上·上海·期中）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高三上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，且. (1)求证：平面平面； (2)设为的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 20．（24-25高三上·上海·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$