专题06 圆锥曲线（考点清单+知识导图+ 21个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单06 圆锥曲线 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【清单02】圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【清单03】判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【清单04】圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【清单05】椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【清单06】椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【清单07】直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【清单08】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【清单09】双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【清单10】等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【清单11】直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【清单12】弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 【清单13】双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【清单14】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【清单15】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【清单16】抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 【清单17】直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【清单18】直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 【考点题型一】求圆的方程 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【答案】 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设的外接圆方程为，然后将三个点的坐标代入求解即可. 【详解】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二·全国·课后作业）过点M（-1，1），且圆心与已知圆相同的圆的一般方程为 ． 【答案】 【知识点】求圆的一般方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】求出圆C的圆心即可求出所圆的半径和一标准方程，再将标准方程化成一般方程即可. 【详解】解：将圆C的方程化为标准方程得， 则圆心C的坐标为（2，-3）， 故所求圆的半径， 所以所求圆的方程为， 即． 故答案为：． 【考点题型二】直线与圆的位置关系 【例2】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用几何法求解直线与圆相交时，k的取值范围. 【详解】的圆心为 则当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离小于半径，则 解得： 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【详解】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】斜率公式的应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果. 【详解】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示， 令，即， 由图知，当过点时，最小，将代入，得到， 当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍）， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【考点题型三】切线问题 【例3】（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 【变式3-1】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）圆：在点处的切线方程为 ； 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】由切线与圆心和切点连线的垂直关系得切线斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】由题意知圆心， ，，又过点， 所以切线方程为，即， 故答案为：. 【变式3-2】（23-24高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】切线长 【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值. 【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 所以，，即切线长的最小值为. 故答案为：. 【考点题型四】已知圆的弦长求方程或参数 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆的圆心在直线上. (1)求圆心的坐标，并写出圆标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，且，求的值. 【答案】(1)，圆的标准方程为 (2)或 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）求出圆心的坐标，将点的坐标代入直线方程，求出的值，可得出圆的一般方程，化为标准方程，并可得出圆心的坐标； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，即可解出的值. 【详解】（1）由圆的一般方程可知，圆心为， 由题意可知，圆心在直线上，则，解得， 所以，圆的一般方程为， 化为标准方程为，圆心为. （2）由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. 【变式4-1】（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 【变式4-2】（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 【答案】 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用垂径定理列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有， 解可得：； 故答案为：. 【考点题型五】直线与圆中的定点定值问题 【例5】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程； (2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标； (3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析；定值为 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）根据题意，求得圆的方程为，分类直线的斜率不存在和斜率存在，结合圆的弦长公式，即可求解； （2）当直线的斜率不存在时，根据直线的斜率之积为，求得，联立方程组，此时方程组无解；当直线的斜率存在时，设直线，利用斜率公式，列出方程求得，联立方程组，利用根与系数的关系，代入求得，进而得出直线过定点. （3）设直线，联立方程组，求得，同理求得点，求得，即可得证. 【详解】（1）因为圆的圆心坐标为，且该圆经过点， 可得，即圆的半径为，所以圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为，圆的半径为，可得圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式，可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. （2）解：当直线的斜率不存在时，设， 因为直线的斜率之积为，且， 可得，即， 又因为点在圆上，可得， 联立方程组，此时方程组无解，（舍去）； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 由， 整理得， 联立方程组，整理得， 所以， 代入上式，可得， 整理得，所以直线的方程为， 可得直线的方程为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点. （3）解：设直线， 联立方程组，整理得， 所以点的坐标为， 同理可得：点的坐标为， 所以，所以直线的斜率为定值. 【变式5-1】.（23-24高二上·四川内江）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、直线与圆中的定点定值问题、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】 （1）由题意设圆方程为，然后由已知点坐标和轴上的弦长列方程组，得方程； （2）过点C作于D，由是中点，由平面向量的性质得，从而利用勾股定理求得，再设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程； （3）设，，，，写出直线方程，与圆方程联立求得点坐标（用表示），同理得点坐标，然后计算斜率进行证明． 【详解】（1） 由已知圆的圆心在轴上，经过点， 且被轴截得的弦长为．设圆， 所以，解得， 所以圆的方程为； （2） 过点C作CD⊥MN于D，由是中点， 由得到，， 所以， 即， 所以 设直线l的方程为（直线l与x轴重合时不符题意） 由圆心到直线距离公式得，， 所以直线l的方程为． （3） 设，，，， 直线的方程为，其中． 与联立得， 由韦达定理得， 所以，， 所以，同理， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法，再得到直线方程与圆方程联立求出的坐标，最后得到斜率表达式并化简即可. 【考点题型六】直线与圆的位置关系中的距离最值问题 【例6】（23-24高二上·上海闵行）已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】作出曲线的图像，数形结合判断并计算点到直线的最大距离和最小距离. 【详解】即， 所以曲线是圆心为，半径为1的圆的上半部分， 如图，点是曲线上的动点， 则点到直线距离的最大值为原点到直线距离加上圆的半径，即， 点为时到直线的距离最小，最小值为． 则点到直线距离的取值范围是． 故答案为： 【变式6-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 【答案】27 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意转化为先求圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，即可求面积的最大值和最小值. 【详解】由题意可知，，，， 圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值，最小值为， 所以面积的最大值和最小值的和为. 故答案为： 【变式6-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 【答案】 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆上各点到直线的距离的最大值为即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以圆上各点到直线的距离的最大值为. 【考点题型七】由圆与圆的位置关系确定参数 【例7】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线方程、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期中）若圆与圆外切，则实数 . 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆的圆心距与半径的关系即可列方程求解. 【详解】的圆心和半径分别为为， 圆的圆心和半径分别为， 根据两圆外切，故，解得， 故答案为： 【变式7-2】（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)相交 (2)不存在，理由见解析 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）根据题意求两圆圆心和半径，结合两圆的位置关系分析判断； （2）根据题意求两圆圆心和半径，假设存在，结合两圆的位置关系分析运算即可. 【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 可得两圆的圆心距， 且，，则，所以圆和圆相交. （2）不存在，理由如下： 圆的方程可化为，则，半径. 由（1）可知：，半径. 假设存在实数m，使得圆和圆内含， 则圆心距， 整理得，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆和圆内含. 【考点题型八】圆与圆的公共弦问题 【例8】（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆和圆交于两点，求公共弦的长． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】先求出两圆公共弦所在直线的方程，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】由圆和圆， 两式相减得，即， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，即， 所以圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 【变式8-1】（2024·河南）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【分析】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解. 【详解】将两圆方程相减可得直线的方程为， 即， 因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为， 则到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：D. 【变式8-2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则 ． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，由条件两圆方程作差可得直线方程，然后再求得圆心到直线的距离，再由勾股定理即可得到结果. 【详解】因为圆与圆交于A，B两点， 则两圆方程相减可得， 即直线方程为， 又因为直线AB的倾斜角为，则斜率， 又因为，即，则， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：. 【考点题型九】圆的公切线问题 【例9】（23-24高三上·上海普陀·开学考试）已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． 【答案】 【知识点】圆的公切线方程 【分析】求解经过与圆相切的直线方程，然后判断与相切的直线方程即可． 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为， 而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在， 当过点且与相切的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则，解得或， 故切线方程为或， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆不相切，故不满足题意， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，满足题意， 综上所述，过点且与，都相切的直线方程为. 故答案为：． 【变式9-1】（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆M：与圆N：有两条公切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆的公切线条数、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由题意可得圆M与N圆相交，求出圆M与N圆的圆心和半径，由，解不等式即可得出答案. 【详解】圆M：与圆N：有两条公切线，所以圆M与N圆相交， 圆M的圆心为，半径为，圆N的圆心为，半径为． 依题意可得， 即， 即，解得． 故选：D 【变式9-2】（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】或或（答案不唯一） 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果. 【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 【考点题型十】圆锥曲线定义辨析 【例10】（23-24高二下·上海浦东新）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆、双曲线定义的理解 【分析】首先分四种情况,点在圆内,圆上,圆外,以及点与点重合,四种情况讨论点的轨迹. 【详解】当点在圆内且不与点M重合, 则点的轨迹是以为焦点的椭圆，    当点在圆上时, 由于, 线段的中垂线交直线于,点的轨迹为一个点， 点在圆外时,，.则点的轨迹是以为焦点的双曲线，    当点与重合时,为半径的中点,点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆,所以其中正确的命题序号为①②④⑥共4个. 故选：B. 【点睛】动点轨迹问题的关键是情况分类. 【变式10-1】（23-24高二上·贵州黔东南）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、椭圆定义及辨析 【分析】求方程表示椭圆的充要条件对应的的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示椭圆， 则, 解得且, 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：C. 【变式10-2】（2024·安徽·模拟预测）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案. 【详解】方程变形为， 表示动点到点和直线的距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线， 故选：C. 【考点题型十一】椭圆，双曲线，抛物线中距离和差最值问题 【例11】（23-24高二下·四川资阳·阶段练习）.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】先求出定点P(4，1)和双曲线的方程，利用双曲线的定义把转化为，利用几何法求出最小值. 【详解】将直线，变形为，可得，解得：，所以定点为P(4，1). 由双曲线的一条渐近线的方程为，及在双曲线上，可得：解得：， 所以， 所以左、右焦点分别为，. 如图示，要求的最小值，点M需在双曲线的右支上. 由双曲线的定义可得：， 所以， 所以. 所以当三点共线时，即M落在点G处，最小， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】距离的计算方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 【变式11-1】（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【答案】5 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：.    【变式11-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆中的最值问题、椭圆定义及辨析 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，考查学生的转化与化归思想． 【考点题型十二】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 【例12】（23-24高二上·上海浦东新）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】分、、三种情况讨论，利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，则， 设，，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，即当点为椭圆短轴的端点时，取最大值， 且的最大值大于，所以，可以取， 当时，，可得，此时； 当时，由余弦定理可得， 因为，解得，此时； 当时，同理可得. 综上所述，或. 故选：D. 【变式12-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】 设，，，可得，可以将，转换为，结合双曲线的定义以及即可求解. 【详解】如图所示：    由题意为内心， 设，，，内切圆半径为， 所以，又因为， 即， 化简得， 由双曲线定义可知，因此有； 注意到，且以及， 联立并化简得，即 ， 解得或（舍去，因为） 故选：C 【变式12-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 【答案】3 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据题意可得，，利用勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 则，， 若，则， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 【考点题型十三】椭圆，双曲线离心率问题 【例13-1】（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，根据条件建立方程，整理得到，再利用方程有解，即可求出结果. 【详解】如图，设，， 易知，，则 由题知，所以， 整理得到，由，得到，即， 又，所以， 故答案为：. 【例13-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点.且在上的投影为，则双曲线的离心率为 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意得到点坐标关于的表示，再将其代入双曲线方程得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】解：如图所示： 在上的投影向量为， ， 又， ， 又在双曲线上， ， 则， 即， 整理得：， 即， 解得：或（舍去）， . 故答案为：. 【变式13-1】（24-25高三上·上海·期中）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆、，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为定值1，则的最大值为 .    【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到的关系再进行求解. 【详解】设，椭圆，椭圆， 则有①，由极线的定义得直线的方程为 ， 由原点到直线的距离公式，化简可得②， 对比①②可得，所以， 所以， 当且仅当时，即“”成立. 故答案为： 【变式13-2】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据，可得，由椭圆定义即可解得其离心率，由渐近线方程可得，根据双曲线的离心率公式即可解得离心率. 【详解】如图所示，椭圆， 因为, 所以， 又因为， 所以， 故， 双曲线的一条渐近线设为， 即，故， 所以双曲线离心率， 所以. 故答案为：. 【考点题型十四】求圆锥曲线方程 【例14-1】（23-24高二上·重庆）已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、已知方程求双曲线的渐近线、求抛物线的轨迹方程、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）首先求出双曲线的一条渐近线方程与抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出，即可得到抛物线方程； （2）设过点与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由得到，即可求出的坐标，从而表示出中点的坐标，即可得到其轨迹方程. 【详解】（1）解：双曲线的一条渐近线为， 又抛物线的焦点的坐标为，         由题可得：，解得，故抛物线方程为：. （2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为， 联立抛物线方程可得， 则，又，则， 所以，，                 设点的坐标为，则，即，代入， 可得，又，故； 则点的轨迹方程为：. 【例14-2】（23-24高二上·广东·阶段练习）已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 【答案】(1)长轴长，短轴长，离心率 (2) 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求共焦点的椭圆方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得长轴长，短轴长及离心率； （2）先求得焦点坐标，然后设出所求椭圆的方程，通过代入点来求得正确答案. 【详解】（1）由题可知， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为. （2）因为椭圆的焦点为， 所以与其有相同的焦点的椭圆的方程可设为， 其中， 所以椭圆的方程为， 将代入得， 解得，或（舍）， 所以椭圆的标准方程为． 【变式14-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用双曲线定义求方程 【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 【变式14-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 【变式14-3】（23-24高二上·内蒙古包头·阶段练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求共焦点的双曲线方程、求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线过的点求标准方程、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解. （2）由题意先求出双曲线的焦点坐标即求出，然后根据双曲线的定义求出，由平方关系即可求出，从而得解. 【详解】（1）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 若双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）由题意椭圆的半焦距， 所以满足题意的双曲线的焦点坐标为， 所以不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 而双曲线上的点在第二象限， 所以由双曲线的定义有 ， 解得，又，所以， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 【考点题型十五】直线与圆锥曲线中的中点弦问题 【例15】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线方程为，代入点即可得结果； （2）利用点差法求直线的斜率，即可得方程. 【详解】（1）因为渐近线方程为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，即， 所以双曲线方程为，即. （2）设， 因为线段的中点为，则， 又因为A，是双曲线上的两点，则， 两式相减可得， 整理得， 可得，即直线的斜率， 所以直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 可得， 即直线与双曲线相交，直线符合题意， 综上所述：直线的方程为.    【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法 （1）用“点差法”求解弦中点问； （2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 【变式15-1】（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 【变式15-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 【变式15-3】.（24-25高二上·甘肃武威）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线的中点弦、抛物线定义的理解 【分析】（1）根据抛物线上点到焦点的距离关于p的方程可求出得抛物线方程； （2）联立直线方程与抛物线方程得一元二次方程，由韦达定理及中点坐标公式即可求解. 【详解】（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为， ∵到焦点的距离等于A到其准线的距离， ∴ ∴ ∴抛物线C的方程为 （2）由消去y，得  , ∵直线与抛物线相交于不同两点A、B， 则有, 解得且， 又， 解得 ，或（舍去） ∴的值为． 【变式15-4】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求弦中点所在的直线方程或斜率、根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点，则， 解得，故实数的取值范围是. （3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、，因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 【考点题型十六】圆锥曲线中的弦长问题 【例16】（23-24高三上·上海虹口·阶段练习）已知椭圆和双曲线．、分别为和的离心率． (1)若，求的渐近线方程； (2)若，过椭圆的左焦点作斜率为的直线与交于不同两点、，过原点作的垂线，垂足为.若点恰好是与的中点，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求椭圆中的弦长、由椭圆的离心率求参数的取值范围、由双曲线的离心率求参数的取值范围 【分析】（1）根据题意可得出关于实数的等式，求出的值，即可得出双曲线的渐近线方程； （2）分析可知，设点，根据可求出点的坐标，进而可得出直线的方程，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求得. 【详解】（1）解：由已知可得，因为，解得， 因此，双曲线的渐近线方程为. （2）解：当时，椭圆的方程为，其左焦点为， 因为且为的中点，则， 设点，则，解得，则， 由对称性，不妨设点，，则直线的方程为， 联立解得或，即点， 故. 【变式16-1】（23-24高二下·上海·期中）过焦点在轴上的椭圆的顶点引一条弦，弦的最大长度为，则 . 【答案】 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】设，由，利用二次函数的性质求解. 【详解】依题意，设，则，， 则， 当时，由二次函数的性质得，当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得，当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得， 当时，，即， 解得或（舍去）， 故答案为：2 【变式16-2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【知识点】求双曲线中的弦长、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 【变式16-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知方程 (1)试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线 (2)为何值时，该抛物线在直线上截得的弦最长？并求出此弦长. 【答案】(1)证明见解析； (2)，12. 【知识点】求抛物线的轨迹方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）根据已知条件及抛物线方程的特点，利用同角三角函数函数的平方关系及椭圆的方程即可求解； （2）将代入，求出，进而，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）原方程可化为，它表示以为顶点，开口向上的抛物线， 设顶点坐标为，则，消去得，即顶点的轨迹是椭圆， 则不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线. （2）当时，，故，则， 所以当，即时，抛物线在直线上截得的弦最长，最长为12. 【考点题型十七】圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 【例17】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知曲线C是由曲线和曲线组成，点.，点P、Q在C上 (1)已知直线与曲线仅有一个公共点，求实数m的取值范围； (2)求的取值范围； (3)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、由直线与圆的位置关系求参数、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】（1）求出当直线与圆相切时m的值，数形结合即可得解； （2）注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点，分点是否在轴的右侧两种情况讨论即可得解； （3）当两点在半椭圆上时（不含轴），设，求出，同理求出，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含轴）和一点在轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】（1）如图， 当直线与圆相切时，， 解得，由图象可知，时， 直线与半圆相切， 由图象可知，当或时， 直线与曲线仅有一个公共点， 所以实数m的取值范围 （2）注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点， 当点在轴的右侧时，由椭圆的定义可得； 当点不在轴的右侧时，设， 则， 因为，所以， 所以， 综上所述，； （3）如图， 记的面积为， 当两点在半椭圆上时（不含轴），设， 联立，则有， 故， 同理可得， 故， 令，则， 则， 由，得，所以， 所以； 当两点都在半圆上时，， 则； 当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含轴）， 由对称性，可设点在半椭圆上，则， 故， 由，可得， 所以，所以； 当一点在轴上一点在半椭圆上时， 由对称性，可设点是曲线与轴的交点，则点为椭圆的右顶点， 则， ， 综上所述，面积的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问求面积的最值时，对在曲线上的不同位置，分类讨论，考虑各种情况，要全面，不能遗漏是解题的关键. 【变式17-1】（2024·上海徐汇）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则 . 【答案】 【知识点】根据韦达定理求参数、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设点关于原点的对称点为点，连接，分析可知四边形为平行四边形，可得出，设，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得的值. 【详解】解：设点关于原点的对称点为点，连接，如下图所示： 在双曲线中，，，则，即点、， 因为原点为、的中点，则四边形为平行四边形，所以，且， 因为，故、、三点共线， 所以，，故， 由题意可知，，设，则直线的方程为，设点、， 联立，可得， 所以，，可得， 由韦达定理可得，，可得， ， 整理可得，即，解得或（舍）， 所以，，解得. 故答案为：. 【变式17-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线及圆的四个交点依次为、、、． (1)若点的纵坐标为，求； (2)证明为定值，并求出该定值； (3)过、分别作抛物线的切线、，且、交于点，求与的面积之和的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析；定值为 (3) 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求抛物线的切线方程 【分析】（1）根据抛物线定义即可求得； （2）根据题意，，再根据韦达定理可证； （3）利用点的坐标求出切线的方程，可得点的坐标，再得到弦长和点到直线的距离，可得面积代数式，根据二次函数求得最值. 【详解】（1）根据已知抛物线的焦点，准线方程为：， 则. （2）证明：由已知直线的斜率存在，设其方程为：， 设，则， 则，， 由可得： 则，， 即为定值. （3） 由可得， 则切线的方程为：   ① 切线的方程为：   ② ②①可得：，则， 由①可得：，    同理由②可得： 联立可得：，则， 点到直线的距离为， 则与的面积之和为： 令，则， 在恒成立，即函数单调递增， 则当即当时，即直线的方程为时， 则与的面积之和的最小值为. 【点睛】思路点睛： 解决圆锥曲线中有关三角形或者四边形面积问题时，一般思路： 确定三角形（四边形部分可转化为三角形）的底边和高；利用弦长和点到线的距离公式得到面积.另外可根据具体题目进行适当的分割，得以减少很大的运算量. 【考点题型十八】圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 【例18】（23-24高二上·上海·期末）设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线平分线段，求直线的倾斜角； (3)若点M是抛物线的准线与轴的交点，在轴上是否存在定点，对任意过点的直线与抛物线交于两点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由， 【答案】(1) (2)或 (3)，此时点的坐标为 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线相交求直线方程、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，利用，即可求解； （2）根据（1）的结果，求线段的中点，再代入直线，即可求直线的斜率，最后根据倾斜角与斜率的关系，即可求解； （3）首先过点的直线与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，即可判断是否存在定点的坐标. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 所以设直线，，，联立 ，得， 所以，，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，， 设点是线段的中点，则由， ， 由题意可得点在直线上，所以， 即，解得：或， 设直线的倾斜角为，则，或， 又，所以直线的倾斜角为或； （3）点的坐标为， 过点的直线设为，，, 联立，得， ，得或， ，， 设 ， 当时，必须且只需，（常数）， 此时点的坐标为. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是利用韦达定理表示,并借助抛物线和韦达定理进行化简. 【变式18-1】（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）根据（1）可得，，进而结合余弦定理及三角形面积公式求解即可； （3）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，进而联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    【变式18-2】（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率，上顶点为. (1)求的方程； (2)设是直线上一点，点满足.若经过点，求点的坐标； (3)过的右焦点作不垂直于轴的直线，交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中向量共线比例问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）求得可求椭圆的方程； （2）设，从而可得，利用点在椭圆上，可求，从而可得的坐标； （3）设，与椭圆方程联立方程组，利用弦长公式求得，设中点为，求得，可求的值. 【详解】（1）由题意知. 而，解得. 因此. （2）设， 由题意知， 得. 由于经过点，得，解得. 将代入点的坐标， 得或. （3）由题意知. 设， 与的方程联立得. 设、，则， 于是. 设中点为， 则，. 由于，故直线的方程为， 解得. 因此，得. 【点睛】关键点点睛：在处理直线与椭圆的综合问题时，常采用联立直线与椭圆方程，借助韦达定理以及题中的条件来得出结论，利用弦长公式求得弦长，进而求得比值，平面解析几何大题通常运算量大. 【考点题型十九】轨迹方程问题 【例19】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线的定义列方程即可求解； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 【变式19-1】（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程. 【详解】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 【变式19-2】（23-24高二上·上海·课后作业）当点在曲线上运动时，连接点与定点，求的中点的轨迹方程． 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】利用相关点法计算可得. 【详解】设，则，又点在曲线上， 所以，即， 即的中点的轨迹方程为. 【考点题型二十】圆锥曲线中参数方程的应用 【例20】（24-25高二·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 【答案】(1)； (2)（为参数，）． 【知识点】轨迹问题——圆、圆的参数方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据直线l与圆有2个交点，再由圆心到直线的距离小于半径求解； （2）l的参数方程为（t为参数，）．设A，B，P对应的参数分别为，，，再由求解. 【详解】（1）解：因为⊙O的参数方程为，（为参数）， 可得是以为圆心，半径的圆． 当时，直线l与圆有2个交点； 当，设直线l：． 要使直线l与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径， 即，解得或， 所以的取值范围为， 综上所述，的取值范围； （2）l的参数方程为（t为参数，）． 设A，B，P对应的参数分别为，，， 将直线的参数方程代入圆的普通方程并整理得：． 则，且，． 又点P的坐标满足， 所以点P的轨迹的参数方程是（为参数，）． 【变式20-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知曲线C：，直线l：（t为参数）． (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值． 【答案】(1)（θ为参数），． (2)最大值为；最小值为． 【知识点】参数方程化为普通方程、利用圆锥曲线的参数方程求最值问题、直线的参数方程 【分析】（1）直接由直角坐标方程与参数方程的对应法则直接互化即可求解； （2）利用点到直线的距离公式、锐角三角函数得到，结合三角函数性质即可求解. 【详解】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）．直线l的普通方程为． （2）曲线C上任意一点到l的距离为， 则，其中α为锐角，且． 当时，取到最大值，最大值为； 当时，取到最小值，最小值为． 【变式20-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求的重心G的轨迹参数方程，并说明它是什么图形． 【答案】（为参数,且），中心在点，对称轴平行于坐标轴，长半轴长为2，短半轴长为1的椭圆（除点外）． 【知识点】椭圆的参数方程、参数方程化为普通方程 【分析】设出动点的坐标，利用重心坐标公式求出参数方程，再消去参数求出图形形状. 【详解】依题意，，设动点的坐标为，点的坐标设为， 由三角形重心的坐标公式得，即（为参数）， 而点与都不重合，即且，即且， 所以的重心G的轨迹参数方程为（为参数,且）； 消去参数得，因此点的轨迹是中心在点， 对称轴平行于坐标轴，长半轴长为2，短半轴长为1的椭圆（除点外）． 【考点题型二十一】极坐标系与极坐标方程 【例21】（24-25高二上·上海·随堂练习）在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，点Q在圆周上运动． (1)求圆C的极坐标方程； (2)若点P是OQ的中点，求点P的轨迹． 【答案】(1) (2)点P的轨迹是圆 【知识点】已知点求极坐标、求圆的极坐标方程、曲线的极坐标方程定义及其意义 【分析】（1）根据极坐标的定义得出间的关系，结合几何特征得出极坐标方程； （2）结合（1）的结论结合点的关系得出极坐标方程进而判断轨迹. 【详解】（1）如图，设为圆上任意一点，OD为直径， 连接DQ、OQ，则，或， 因为，所以在中，， 即，所以圆C的极坐标方程为．    （2）若P的极坐标为，则Q点的极坐标为，所以， 所以．所以点P的轨迹是圆． 【变式21-1】（24-25高二上·上海·课后作业）已知定点． (1)将极点移至处极轴方向不变，求P点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标． 【答案】(1) (2)． 【知识点】在极坐标系中描点 【分析】（1）根据极点变化前后极径不变以及正弦定理即可求解. （2）根据极轴变化前后极径不变即可求解. 【详解】（1） 设点新坐标为，如图1所示， 由题意可知，所以， 在中，，所以． 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以．所以点的新坐标为． （2）如图2，设点新坐标为，则，， 所以点的新坐标为． 【变式21-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离． 【答案】． 【知识点】求点到直线的距离、极坐标与直角坐标的互化 【分析】先把极坐标方程转化为直角坐标方程，再把点转化为直角坐标点，最后应用点到直线距离公式计算即可. 【详解】由，得，所以． 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为， 所以，即点A到直线l的距离为． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征得到不等式组，即可得解. 【详解】方程，表示焦点在轴上的双曲线， ， ． 故答案为： 2．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知点为抛物线的焦点，定点，点为抛物线上一动点，则的周长最小值为 . 【答案】/ 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，进而结合抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，则， 如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为， 所以周长， 当且仅当为与抛物线的交点时等号成立. 故答案为： 3．（2024·上海普陀·模拟预测）已知圆的周长为，则实数的值为 . 【答案】-3 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】由周长求出圆的半径，从而根据半径得到方程，求出实数的值. 【详解】设圆的半径为r，则由题意，故， 将圆一般式化为标准式得， 则. 故答案为：-3 4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】利用等面积法即可求解，根据取时最大求解. 【详解】 如图所示，由椭圆定义，，， 则，故， 要使最大，则， 故 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中x、y的取值范围 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点为、，为双曲线上的点，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设点、，利用中点坐标公式化简可得出点，再将点的坐标代入双曲线的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、， 在双曲线中，，，则，则点， 由中点坐标公式可得，可得，即点， 因为点在双曲线上，所以，，整理可得. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【答案】 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·上海·期中）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【知识点】直角坐标系中的基本公式、圆的弦长与中点弦 【分析】先计算直线方程，再根据直线与圆相交的弦长计算公式可算出弦长. 【详解】如图所示， 过原点且倾斜角为的直线斜率为， 故直线方程：，即， 又圆心坐标，半径为， 圆心到直线距离， 所以根据圆的弦长计算公式可得， 弦长为. 故答案为：2. 9．（24-25高二上·上海·期中）点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【答案】8 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆中的最值问题 【分析】易知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心，由椭圆定义以及定点到圆上点距离最值问题计算可得结果. 【详解】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 【答案】4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】设与渐近线交于M，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得. 【详解】设与渐近线交于M， 则， 所以， 由O，M分别与的中点， 知且，即， 由得，所以． 故答案为：4 二、单选题 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶草玫瑰线”（如图），现给出下列三个结论：正确的是（    ）    ①曲线C关于直线对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心.边长的正方形，使曲线C在此方形区域内（含边界） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】用替换方程中的，即可判断①，结合基本不等式代入计算即可判断②，结合②的结论即可判断③. 【详解】对于①，用替换方程中的，方程形式不变，所以曲线关于直线对称，故正确， 对于②，设点是曲线上任意一点，则， 则点到原点的距离为，由， 解得，故正确， 对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1， 所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆， 即正方形的边长最短为2，故错误. 故选：A. 12．（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】根据条件，可得圆心为抛物线的焦点，求出弦长，设出直线方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求解作答. 【详解】如图，圆的圆心为，半径 显然点为抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为， 设则，， 所以， 因此，即有，解得， 设直线的方程为，显然，由， 消去得，则有，解得. 故选：A. 13．（24-25高二上·上海·期中）曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断直线与圆的位置关系、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和的射线， 分曲线为圆，椭圆和双曲线三种情况分析即可. 【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线. 当曲线为圆时，即， 此时与曲线有三个交点，不符合题意； 当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内， 即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：， 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 14．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）设分别为双曲线的左､右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】双曲线定义的理解、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据题意，由勾股定理可得，再由双曲线的定义代入计算，即可得到的关系式，再由双曲线渐近线的方程，即可得到结果. 【详解】由题意可得，为等腰三角形，且， 又到直线的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可得， 结合双曲线的定义可得，即，所以， 代入可得，整理可得， 即，所以双曲线的渐近线方程的斜率为. 故选：C 15．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆 ，过点且倾斜角为 的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】记，反射点为，由直线的方程联立求得点坐标，而在直线上得出的关系，从而求得离心率． 【详解】， 由题意直线方程为，直线的方程为， 由解得， 点在直线上，则， ，由得， 解得（负值舍去）， 故选：A． 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，左右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求双曲线C的方程； (2)设过点直线l交双曲线C于P，Q两点，求直线l的斜率的取值范围； (3)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，，若N，A，B三点共线，试探索，之间的关系. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）可知：，根据题意列式求，即可得方程； （2）设直线l：，联立方程结合运算求解； （3）设，则有，即可得，结合得到，即可得解. 【详解】（1）由题意可知：，且经过点， 则，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设直线l的斜率为，则直线l：， 联立方程，消去y可得， 由题意可知：，解得且， 所以直线l的斜率的取值范围. （3）设点，则，即， 由，则①， 又②， 因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即． 17．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积 【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【详解】（1）直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 18．（24-25高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线: 的焦点为，点 是抛物线上的一点.    (1)若 求点A的坐标； (2)已知是轴上的点，若线段的最小值为4，求实数的值； (3)如图，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，, 【知识点】数量积的坐标表示、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据焦半径公式可得，即可代入抛物线方程中求解， （2）根据两点距离公式结合换元法可得，即可分类讨论求解最值， （3）根据向量垂直的坐标运算，代入韦达定理化简可得，即可求解直线 过定点，利用垂直可得. 【详解】（1）由抛物线的性质可知，，准线方程为. 所以，代入抛物线， （2）设 令，，对称轴为， 当，即，当时取最小值，， 当，即，当时取最小值，， （3）设， ，又 ， ， 令直线，联立 ，整理得 ， 且 则 代入（1）式得: 当时， 过定点与重合，不符; 当 时，过定点, 直线 过定点 又 ，故 在以 为直径的圆上， 而 中点为，即为定值. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，直线和直线. (1)若直线与的距离为求实数的值； (2)曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)或； (2)存在，. 【知识点】已知直线平行求参数、已知点到直线距离求参数、点与圆的位置关系求参数 【分析】（1）利用平行线间的距离公式计算即可； （2）设P坐标，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】（1）将的方程化为:， 直线与的距离， 解之得或； （2）设，则P点到距离为， 则点到距离为， 则，即， 又因为，解之得：或； 所以满足条件的点P坐标为. 20．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.    (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； (3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在，2条； (3). 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的参数及范围、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据焦距、离心率及参数关系求标准方程； （2）设直线为，，联立椭圆并应用韦达定理得，，根据及已知列方程求参数k，即可得答案. （3）设切线方程为，切线方程为，且，根据相切关系得到是的两个不相等实根，由韦达定理及椭圆有界性求范围. 【详解】（1）由题意，，得，故椭圆的标准方程为； （2）由（1）知：，显然直线不与轴重合， 设直线为，， 联立，得，显然， 所以，， 则， 圆半径为1，则，故， 所以（负值舍），即满足条件的直线有2条；    （3）设切线方程为，切线方程为，且， 圆与相切，则，化简得， 同理， 所以是的两个不相等实根，则， 又在椭圆上，故，则， 由存在，则，即， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 圆锥曲线 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【清单02】圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【清单03】判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 【清单04】圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 【清单05】椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【清单06】椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【清单07】直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【清单08】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【清单09】双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【清单10】等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【清单11】直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【清单12】弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 【清单13】双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【清单14】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【清单15】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【清单16】抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 【清单17】直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【清单18】直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 【考点题型一】求圆的方程 【例1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【变式1-1】（24-25高二·全国·课后作业）过点M（-1，1），且圆心与已知圆相同的圆的一般方程为 ． 【考点题型二】直线与圆的位置关系 【例2】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是 ． 【变式2-1】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【变式2-2】（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【考点题型三】切线问题 【例3】（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 【变式3-1】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）圆：在点处的切线方程为 ； 【变式3-2】（23-24高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【考点题型四】已知圆的弦长求方程或参数 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆的圆心在直线上. (1)求圆心的坐标，并写出圆标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，且，求的值. 【变式4-1】（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【变式4-2】（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 【考点题型五】直线与圆中的定点定值问题 【例5】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程； (2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标； (3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【变式5-1】.（23-24高二上·四川内江）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 【考点题型六】直线与圆的位置关系中的距离最值问题 【例6】（23-24高二上·上海闵行）已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是 ． 【变式6-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 【变式6-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 【考点题型七】由圆与圆的位置关系确定参数 【例7】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期中）若圆与圆外切，则实数 . 【变式7-2】（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【考点题型八】圆与圆的公共弦问题 【例8】（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆和圆交于两点，求公共弦的长． 【变式8-1】（2024·河南）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则 ． 【考点题型九】圆的公切线问题 【例9】（23-24高三上·上海普陀·开学考试）已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． 【变式9-1】（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆M：与圆N：有两条公切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【考点题型十】圆锥曲线定义辨析 【例10】（23-24高二下·上海浦东新）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】（23-24高二上·贵州黔东南）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-2】（2024·安徽·模拟预测）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【考点题型十一】椭圆，双曲线，抛物线中距离和差最值问题 【例11】（23-24高二下·四川资阳·阶段练习）.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为 . 【变式11-1】（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【变式11-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【考点题型十二】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 【例12】（23-24高二上·上海浦东新）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式12-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 【考点题型十三】椭圆，双曲线离心率问题 【例13-1】（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 【例13-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点.且在上的投影为，则双曲线的离心率为 【变式13-1】（24-25高三上·上海·期中）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆、，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为定值1，则的最大值为 .    【变式13-2】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 【考点题型十四】求圆锥曲线方程 【例14-1】（23-24高二上·重庆）已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 【例14-2】（23-24高二上·广东·阶段练习）已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 【变式14-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24高二上·内蒙古包头·阶段练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【考点题型十五】直线与圆锥曲线中的中点弦问题 【例15】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【变式15-1】（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【变式15-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【变式15-3】.（24-25高二上·甘肃武威）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值． 【变式15-4】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【考点题型十六】圆锥曲线中的弦长问题 【例16】（23-24高三上·上海虹口·阶段练习）已知椭圆和双曲线．、分别为和的离心率． (1)若，求的渐近线方程； (2)若，过椭圆的左焦点作斜率为的直线与交于不同两点、，过原点作的垂线，垂足为.若点恰好是与的中点，求线段的长度. 【变式16-1】（23-24高二下·上海·期中）过焦点在轴上的椭圆的顶点引一条弦，弦的最大长度为，则 . 【变式16-2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【变式16-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知方程 (1)试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线 (2)为何值时，该抛物线在直线上截得的弦最长？并求出此弦长. 【考点题型十七】圆锥曲线中的三角形（四边形）问题 【例17】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知曲线C是由曲线和曲线组成，点.，点P、Q在C上 (1)已知直线与曲线仅有一个公共点，求实数m的取值范围； (2)求的取值范围； (3)若，求面积的取值范围. 【变式17-1】（2024·上海徐汇）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则 . 【变式17-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线及圆的四个交点依次为、、、． (1)若点的纵坐标为，求； (2)证明为定值，并求出该定值； (3)过、分别作抛物线的切线、，且、交于点，求与的面积之和的最小值． 【考点题型十八】圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 【例18】（23-24高二上·上海·期末）设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线平分线段，求直线的倾斜角； (3)若点M是抛物线的准线与轴的交点，在轴上是否存在定点，对任意过点的直线与抛物线交于两点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由， 【变式18-1】（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【变式18-2】（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率，上顶点为. (1)求的方程； (2)设是直线上一点，点满足.若经过点，求点的坐标； (3)过的右焦点作不垂直于轴的直线，交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的值. 【考点题型十九】轨迹方程问题 【例19】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【变式19-1】（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【变式19-2】（23-24高二上·上海·课后作业）当点在曲线上运动时，连接点与定点，求的中点的轨迹方程． 【考点题型二十】圆锥曲线中参数方程的应用 【例20】（24-25高二·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 【变式20-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知曲线C：，直线l：（t为参数）． (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值． 【变式20-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求的重心G的轨迹参数方程，并说明它是什么图形． 【考点题型二十一】极坐标系与极坐标方程 【例21】（24-25高二上·上海·随堂练习）在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，点Q在圆周上运动． (1)求圆C的极坐标方程； (2)若点P是OQ的中点，求点P的轨迹． 【变式21-1】（24-25高二上·上海·课后作业）已知定点． (1)将极点移至处极轴方向不变，求P点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标． 【变式21-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 2．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知点为抛物线的焦点，定点，点为抛物线上一动点，则的周长最小值为 . 3．（2024·上海普陀·模拟预测）已知圆的周长为，则实数的值为 . 4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点为、，为双曲线上的点，则中点的轨迹方程为 . 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 8．（24-25高三上·上海·期中）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 9．（24-25高二上·上海·期中）点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 二、单选题 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶草玫瑰线”（如图），现给出下列三个结论：正确的是（    ）    ①曲线C关于直线对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心.边长的正方形，使曲线C在此方形区域内（含边界） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·上海·期中）曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）设分别为双曲线的左､右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆 ，过点且倾斜角为 的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，左右顶点分别为M，N，且经过点. (1)求双曲线C的方程； (2)设过点直线l交双曲线C于P，Q两点，求直线l的斜率的取值范围； (3)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，，若N，A，B三点共线，试探索，之间的关系. 17．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 18．（24-25高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线: 的焦点为，点 是抛物线上的一点.    (1)若 求点A的坐标； (2)已知是轴上的点，若线段的最小值为4，求实数的值； (3)如图，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 19．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，直线和直线. (1)若直线与的距离为求实数的值； (2)曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由. 20．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.    (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； (3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$