精品解析：河北省邢台市第一中学2024-2025学年高三上学期第四次月考（11月）数学试题

邢台一中2024—2025学年第一学期第四次月考 高三年级数学试题 考试范围：去掉概率统计部分的全部高中内容 命题人：黄彦芳 一审：吕军朝 二审：梁兰兰 说明：1.本试卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求出集合，然后利用交集的概念求出答案． 【详解】∵， ∴，即． 故选：C． 2. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为直线和直线， 若，则，解得或， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用诱导公式将已知条件化简，求出的值，再将所求式子利用二倍角公式化简，最后将的值代入化简后的式子进行计算. 【详解】根据诱导公式，，则，即. 根据二倍角公式，则. 将其分子分母同时除以得到，进一步化为. 把代入上式，可得. 故选：C. 4. 已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 B. 若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 C. 若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D. 若是单调递增函数，则也是单调递增函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，B；举反例判断C；根据单调性的定义判断D． 【详解】解：对于A，令， 则， 所以为偶函数，即是偶函数，故A正确； 对于B，令， 则， 所以是偶函数，即是偶函数，故B正确； 对于C，取，则在R上单调递减， 则，在R上单调递增，故C错误； 对于D，因为是单调递增函数， 任取，且， 则， 所以， 所以也是单调递增函数，故D正确. 故选：C. 5. 已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性，令，则，若结合斜率的两点式及椭圆上点得，再由已知及离心率公式求其范围. 【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则， 若，则， 所以椭圆离心率. 故选：A 6. 已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 7. 已知向量，，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，然后根据投影向量的定义计算即可 【详解】由已知条件得， ， ， 在方向上的投影向量为， 故选：D 8. 刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用基向量表示和，再利用异面直线所成角的向量公式即可求解. 【详解】依题意得，， 所以 ， 又，， 所以设异面直线AE与BD所成的角为， 则 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知圆：，点是圆上的点，的最大值是 B. 圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 圆上存在两个点到直线的距离为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由圆心到直线的距离等于半径即可求解；对于B，设点的坐标利用中点坐标公式得到点坐标代入圆的方程即可；对于C，把一般式方程化为斜截式得到斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解；对于D，利用圆心到直线的距离与半径的关系可以判断. 【详解】对于A，设，则有， 圆心到直线的距离为， 则，解得，即， 所以的最大值为，故A错误； 对于B，设，则由中点坐标公式得， 将点代入圆的方程，可得， 所以的轨迹方程为，故B正确； 对于C，直线方程可化为，斜率， 倾斜角满足，由于， 所以对应倾斜角的范围为：；故C正确； 对于D，圆心到直线的距离为，圆的半径， 所以圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为， 因为，所以圆上存在两个点到直线的距离为2，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与平面所成角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】法1：根据线面垂直的性质定理证明判断A，利用向量法证明不垂直排除B，利用数量积的运算律求解判断C，把线面角转化为线线夹角，然后利用直线向量夹角公式求解判断D. 法2：以为空间基底，利用数量积是否为0判断垂直关系判断AB，利用数量积的运算律求解判断C，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角判断D. 【详解】法1：由，可知， 所以，设，为中点， 则，因为四边形为菱形，所以，， 平面，平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以与不垂直，即与不垂直,所以与平面不垂直，B错误； 对于C，， 所以，所以，C正确 对于D，选项A中已经证明平面， 所以直线与平面所成角即为直线与所成角的余角，， 而，， 所以，所以直线与所成角为， 所以直线与平面所成角为，D正确. 故选：ACD 法2：由题意知：， ， ，则， ，故A正确，B错误； ，则，C正确； 显然有，且，又， 故，从而易得是平面的一个法向量， ， 设与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角为，D正确； 故选：ACD 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 已知，，为双纽线上任意一点，则 C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D. 曲线关于直线对称的曲线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A，曲线C经过整点；B，，即可判定；C，将直线与曲线方程联立，根据方程的解可判断C；D，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线对称的曲线方程. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 令，解得，或； 当时，得，无解； 当时，得，无解； 所以曲线C经过整点，故A错； 对于B，由于，，则， 所以为双纽线上任意一点，则，B正确； 对于C，直线与曲线一定有公共点， 若直线与曲线C只有一个交点， 所以，整理得无非零实数解， ，实数k的取值范围为，故C正确； 对于D，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线对称的曲线方程为 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意求出和在上的投影，根据勾股定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 得，， 所以点A到直线BC的距离为 . 故答案为： 13. 已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据圆的性质得到圆心A到渐近线的距离，再利用点到直线的距离公式可得的关系，利用离心率公式求解即可． 【详解】双曲线：的右顶点为，一条渐近线，即， ∵圆的半径为，且， ∴， ∴到渐近线的距离为， 又到渐近线的距离， ∴，则，则的离心率为． 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，，，且EF交AC于点G，现沿折痕AC将折起，直至满足条件，此时EF的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，证得平面，得到平面平面，分别过点作的垂线，证得，，再由，结合向量的运算法则，即可求解. 【详解】由题意可知，所以，折起后，如图所示， 因为，，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 分别过点作的垂线，垂足分别为点， 又平面平面，所以平面，平面， 因为平面，平面，所以，， 又由，所以， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知 （1）求的值； （2）若点在边上，且，，，求的外接圆面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和正弦公式以及诱导公式即可得； （2）首先在和中，运用两次余弦定理，得，，结合平方关系、正弦定理和圆的面积公式即可得解 【小问1详解】 因为，由正弦定理知， 所以， 得， 即，因为， 所以，所以， 所以， 【小问2详解】 由，，得， 在中，， 在中，， 所以，所以， 所以，因为，所以， 又，所以的外接圆半径为, 所以的外接圆面积为 16. 已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用、的关系求出，利用等差数列的基本量求解； （2）分别计算出数列的前项中奇数项和偶数项的和，相加可得结果. 【小问1详解】 因为，① 所以当时，， 又，所以. 当时，，② ①式减去②式得，所以. 又，，所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得， 所以，即的通项公式为. 【小问2详解】 因为，设数列的前项和为， 则， ， 因此，. 17. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【小问1详解】 ∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． 【小问2详解】 由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接、， 因为，，则， 所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式， 利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的法向量， 设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，， 因为为棱上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，可得， 因为线与平面所成角的正弦值为， 所以， 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. 所以. 【小问3详解】 设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点， 由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，， 所以.即的长为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.） （1）讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值； （2）已知函数. （ⅰ）当时，讨论的凹凸性； （ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程） 【答案】（1）在上为凹函数; 的最小值为； （2）（ⅰ）当时，是上的凹函数，上的凸函数； 当时，是上的凸函数，上的凹函数; 当时，是上的凸函数，上的凹函数. （ⅱ）点的集合为： 【解析】 【分析】（1）由有在为凹函数，利用琴生不等式可以求出最小值； （2）（ⅰ）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性，可得其凹凸性； （ⅱ）根据“切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点的集合； 【小问1详解】 因为所以 所以所以函数在上为凹函数. 因为在上为凹函数，由琴生不等式有： 即 整理有:当且仅当时等号成立. 所以在锐角中，的最小值为. 【小问2详解】 （ⅰ） 所以令， 所以，令有：， 即 当时，解得，当时时，当时， 所以是上的凹函数，上的凸函数. 当时，解得或， 若时，即时， 当或时，当时， 所以是上的凸函数，上的凹函数; 若时，即时， 当或时，当时， 所以是上的凸函数，上的凹函数; 综上所述：当时，是上的凹函数，上的凸函数； 当时，是上的凸函数，上的凹函数; 当时，是上的凸函数，上的凹函数. （ⅱ）当时，，为的“切点” 所以，设，切点为， 所以过点的切线方程为：， 所以， 因为这样的切点有3个，则有3个解， 所以有3个实根， 即关于的方程：有三个不同的实数跟。. 令，则直线与曲线恰有三个不同的交点. 所以， 当时， 由有：，有：或， 所以在为增函数，在和为减函数. 所以的极小值为：，的极大值为： 所以： 当时，，为单调递减，不符合题意. 当时， 由有：，有：或， 所以在为增函数，在和为减函数. 所以的极小值为：的极大值为：， 所以： 综上所述：点的集合为： 【点睛】涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答；考查学生的创新应用能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2024—2025学年第一学期第四次月考 高三年级数学试题 考试范围：去掉概率统计部分的全部高中内容 命题人：黄彦芳 一审：吕军朝 二审：梁兰兰 说明：1.本试卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 B. 若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 C. 若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D. 若是单调递增函数，则也是单调递增函数 5. 已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知圆：，点是圆上的点，的最大值是 B. 圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 圆上存在两个点到直线的距离为2 10. 如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与平面所成角为 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 已知，，为双纽线上任意一点，则 C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D. 曲线关于直线对称的曲线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 13. 已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率为______. 14. 如图，在平行四边形中，，，且EF交AC于点G，现沿折痕AC将折起，直至满足条件，此时EF的长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知 （1）求的值； （2）若点在边上，且，，，求的外接圆面积. 16. 已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 19. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.） （1）讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值； （2）已知函数. （ⅰ）当时，讨论的凹凸性； （ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $