函数的概念及表示 限时训练-2025届高三数学二轮复习

函数的概念及表示 一、单项选择题 1．(★)下列各式为y关于x的函数的是(　　) A．|y|＝x－(x－3) B．y＝＋ C．y＝ D．y＝ 答案　C 解析　A项，|y|＝x－(x－3)＝3，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误； B项，y＝＋，定义域为无解，所以不是函数，B项错误； C项，y＝定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确； D项，y＝当x＝1时，y有两个值0,1与之对应，所以不是函数，D项错误． 2．(★)(2023·嘉兴模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 答案　B 解析　由题意得x满足即 解得－1<x<0或0<x≤2. 3．(★)(2024·常州模拟)若f(sin θ)＝3－cos 2θ，则f(cos θ)等于(　　) A．3＋cos 2θ B．3－cos 2θ C．3－sin θ D．3＋cos θ 答案　A 解析　由f(sin θ)＝3－cos 2θ＝3－(1－2sin2θ)＝2＋2sin2θ， 令t＝sin θ∈[－1,1]，则f(t)＝2＋2t2， 所以对于t＝cos θ，即f(cos θ)＝2＋2cos2θ＝3＋cos 2θ. 4．(★★)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(x)＋2f ＝5x＋，则f(x)的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．2 答案　D 解析　因为f(x)＋2f ＝5x＋，① 所以f ＋2f(x)＝＋4x，② 由②×2－①得3f(x)＝3x＋， 所以f(x)＝x＋≥2＝2，x∈(0，＋∞)， 当且仅当x＝，即x＝时取等号， 所以f(x)的最小值为2. 5．(★★)(2023·深圳模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则f(a＋1)等于(　　) A．－1 B．－ C．0 D．1 答案　C 解析　∵f(x)＝f(a)＝1， ∴当a<0时，a－1＝1，解得a＝－1； 当a≥0时，－log2(a＋1)＝1，解得a＋1＝，即a＝－(舍去)， ∴f(a＋1)＝f(0)＝－log21＝0. 6．(★★)已知函数f(x)＝，g(x)＝x＋(x>0)，则y＝f(g(x))的值域为(　　) A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B．[5，＋∞) C．(2，＋∞) D．(2,5] 答案　D 解析　对于函数g(x)＝x＋(x>0)，x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以g(x)≥2. 令t＝g(x)≥2，则y＝f(g(x))＝f(t)＝＝＝2＋， 由于t≥2时，y＝f(t)单调递减，所以y＝f(t)∈(2,5]， 也即y＝f(g(x))的值域为(2,5]． 二、多项选择题 7．(★)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x 答案　AC 解析　对于A，两个函数的定义域、对应关系都相同，是同一个函数； 对于B，两个函数的定义域不同，不是同一个函数； 对于C，两个函数的定义域都是R，都可以化为y＝|x|，对应关系也相同，是同一个函数； 对于D，f(x)的定义域为(－∞，0]，g(x)的定义域为(－∞，0]，但f(x)＝＝|x|＝－x，两个函数的对应关系不同，不是同一个函数． 8．(★★)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[1,2]，则下列四个函数中值域也为[1,2]的函数是(　　) A．y＝2f(x)－1 B．y＝f(2x－1) C．y＝2f(x)－1 D．y＝log2f(x＋1)＋1 答案　BCD 解析　对于A，因为1≤f(x)≤2，则y＝2f(x)－1∈[1,3]，A不满足条件； 对于B，对于函数y＝f(2x－1)，2x－1∈R，则函数y＝f(2x－1)的值域为[1,2]，B满足条件； 对于C，因为1≤f(x)≤2，则y＝2f(x)－1∈[1,2]，C满足条件； 对于D，因为1≤f(x)≤2，f(x＋1)∈[1,2]，则y＝log2f(x＋1)＋1∈[1,2]，D满足条件． 9．(★★)(2023·锦州模拟)存在函数f(x)，对任意x∈R都有f(g(x))＝x，则函数g(x)不可能为(　　) A．cos x B. C．x3－x D．ex－e－x 答案　AC 解析　对于A选项，y＝x是奇函数，g(x)＝cos x是偶函数，则f(g(－x))＝f(g(x))＝x，矛盾，A不满足条件； 对于B选项，g(x)＝所以f(x)＝故g(x)＝B满足条件； 对于C选项，取x＝0和x＝1，可得f(0)＝0，f(0)＝1，矛盾，C不满足条件； 对于D选项，g(x)＝ex－e－x，则f(ex－e－x)＝x，y＝ex－e－x单调递增， 且g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，即g(x)为奇函数，图象如图所示， 所以值域为R，D满足条件． 10．(★★)(2024·长沙模拟)如图所示，函数f(x)的图象由两条线段组成，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(2)>f(0) B．f(f(1))＝3 C．f(x)＝2|x－1|－x＋1，x∈[0,4] D．∃a>0，不等式f(x)≤a的解集为 答案　BC 解析　由函数f(x)的图象是由两条线段组成可知，函数f(x)为分段函数，且过点(0,3)，(1,0)，(4,3)， 当0≤x<1时， 设f(x)＝kx＋b， 代入(0,3)，(1,0)得所以 得f(x)＝－3x＋3， 当1≤x≤4时，设f(x)＝mx＋n，代入(1,0)，(4,3)， 得所以故f(x)＝x－1， 故f(x)＝ f(2)＝1<f(0)＝3，故A错误； f(f(1))＝f(0)＝3，故B正确； 因为f(x)＝2|x－1|－x＋1，x∈[0,4]， 所以当0≤x<1时，f(x)＝2|x－1|－x＋1＝2(1－x)－x＋1＝－3x＋3， 当1≤x≤4时，f(x)＝2|x－1|－x＋1＝2(x－1)－x＋1＝x－1，故C正确； 由函数图象知，若a>0时，f(x)≤a的解集为，则f ＝f(2)＝a，因为f ＝2，f(2)＝1，故D错误． 三、填空题 11．(★★)(2023·郑州模拟)若min{a，b}＝则函数f(x)＝min{－x2，－2x－3}的最大值为________． 答案　－1 解析　当－x2>－2x－3，即－1<x<3时， 函数f(x)＝min＝－2x－3， 有f(x)<f(－1)＝－1； 当－x2≤－2x－3，即x≤－1或x≥3时， 函数f(x)＝min＝－x2， 其最大值为f(－1)＝－1. 综上可知，函数f(x)的最大值为－1. 12．(★★★)(2023·郴州模拟)设函数h(x)的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使h(x)在[a，b]上的值域为[2a,2b]，则称h(x)为“倍胀函数”．若函数f(x)＝ln x＋t为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________________． 答案　(1＋ln 2，＋∞) 解析　因为函数f(x)＝ln x＋t为“倍胀函数”，且定义域为(0，＋∞)， 所以存在[a，b]⊆(0，＋∞)， 使f(x)在[a，b]上的值域为[2a,2b]． 因为f(x)为增函数，所以 所以方程ln x－2x＋t＝0有两个不等的实数根． 令g(x)＝ln x－2x＋t(x>0)， 则g′(x)＝－2，令g′(x)＝－2＝0， 解得x＝. 易知g(x)在上单调递增， 在上单调递减， 所以g(x)max＝g＝ln －1＋t＝t－1－ln 2. 易知当x→0时，g(x)→－∞， 当x→＋∞时，g(x)→－∞， 所以要使方程ln x－2x＋t＝0有两个不等的实数根，只需t－1－ln 2>0，得t>1＋ln 2， 所以t的取值范围为(1＋ln 2，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的概念及表示 一、单项选择题 1．(★)下列各式为y关于x的函数的是(　　) A．|y|＝x－(x－3) B．y＝＋ C．y＝ D．y＝ 2．(★)(2023·嘉兴模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 3．(★)(2024·常州模拟)若f(sin θ)＝3－cos 2θ，则f(cos θ)等于(　　) A．3＋cos 2θ B．3－cos 2θ C．3－sin θ D．3＋cos θ 4．(★★)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(x)＋2f ＝5x＋，则f(x)的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．2 5．(★★)(2023·深圳模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则f(a＋1)等于(　　) A．－1 B．－ C．0 D．1 6．(★★)已知函数f(x)＝，g(x)＝x＋(x>0)，则y＝f(g(x))的值域为(　　) A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B．[5，＋∞) C．(2，＋∞) D．(2,5] 二、多项选择题 7．(★)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x 8．(★★)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[1,2]，则下列四个函数中值域也为[1,2]的函数是(　　) A．y＝2f(x)－1 B．y＝f(2x－1) C．y＝2f(x)－1 D．y＝log2f(x＋1)＋1 9．(★★)(2023·锦州模拟)存在函数f(x)，对任意x∈R都有f(g(x))＝x，则函数g(x)不可能为(　　) A．cos x B. C．x3－x D．ex－e－x 10．(★★)(2024·长沙模拟)如图所示，函数f(x)的图象由两条线段组成，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(2)>f(0) B．f(f(1))＝3 C．f(x)＝2|x－1|－x＋1，x∈[0,4] D．∃a>0，不等式f(x)≤a的解集为 三、填空题 11．(★★)(2023·郑州模拟)若min{a，b}＝则函数f(x)＝min{－x2，－2x－3}的最大值为________． 12．(★★★)(2023·郴州模拟)设函数h(x)的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使h(x)在[a，b]上的值域为[2a,2b]，则称h(x)为“倍胀函数”．若函数f(x)＝ln x＋t为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________________． 学科网（北京）股份有限公司 $$