精品解析：安徽省安庆市怀宁县高河中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高河中学2024年秋高二12月月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用直线与直线，直线与平面的位置关系，计算向量的数量积，进行判断. 【详解】若，则与共线向量，故A错误； 若，则与共线向量，故B错误； 若，则，故C错误； 若，则，故D正确， 故选：D 2. 已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（ ） A. 两圆相交 B. 直线AB的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段AB的长为 【答案】B 【解析】 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后求得相交弦所在直线方程，再求得弦长. 【详解】圆的圆心是，半径为，圆的圆心是，半径为， 圆心距为，所以两圆相交，A选项正确，公切线有条，C选项正确. 由、两式相减并化简得， B选项错误. 到直线的距离为， 所以，D选项正确. 故选：B 3. 为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，直线与圆相切或相离，利用圆心到直线的距离列不等式求的最小值. 【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线， 可得直线与圆相切或相离， 则满足圆心到直线的距离，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 4. 已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为， 所以. 故选：A 5. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 6. 已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 7. 斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，即可求出弦长的表达式，结合的面积求得参数p，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线的焦点F坐标为， 设直线l的方程为，联立， 得，， 设，则， 故， 又点O到直线的距离为， 则，即， 故， 故选：B 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率. 【详解】设，则， 由椭圆的定义得，， 由得，即， 整理得，解得或（舍去）， ∴，故点在轴上. 如图，在直角中，， 在中，， 化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 ，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 圆C被y轴截得的弦长为 C. 点C到直线l的距离的最大值是 D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程． 【详解】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 10. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可. 【详解】易知，可设，设， 与抛物线方程联立得， 则， 对于A项，当直线 的斜率为1时，此时， 由抛物线定义可知，故A正确； 易知是直角三角形，若， 则， 又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误； 由上可知 ， 即，故C错误； 若， 又知，所以， 则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确. 故选：AD 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设可得线段中垂线方程为，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得圆的方程. 【详解】由题设，且中点为，故线段中垂线方程为， 由题意知，圆心也在上，联立，可得圆心为， 所以半径，故圆的方程为. 故答案为： 13. 圆：与圆：相交于、两点，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 14. 已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用条件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式计算得到，进而根据求出离心率. 【详解】设双曲线右焦点为， 则， 则， 所以，又， 所以， 整理得， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知三点，记的外接圆为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即可； （2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设的方程为， 由题意可得，解得， 所以的方程为， 化为标准方程可得. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 且， 因此的面积为. 16. 已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点. （1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程; （2）若，求椭圆的长轴长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用焦距、结合离心率求出即得. （2）由离心率可得，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求出即可. 【小问1详解】 由椭圆的焦距为，得半焦距， 由椭圆的离心率为，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆的离心率为，得，则，椭圆， 由消去得：，， 设，则， 由，得， 则，解得，符合题意，，， 所以椭圆的长轴长为. 17. 已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明:，联立，得． 由，得或， 设，，则，， ∴ . 【解析】 【分析】（1）将用表示，得出的值，进而得抛物线方程； （2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得，得， ∴抛物线. 【小问2详解】 略. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点. （1）求证；平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点为，连接，. 点，分别是，的中点， 是的中位线，即，， 在菱形中，，. ，，即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可； （2）根据线面垂直的判定先证明平面，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ，，，平面，平面， 平面， 又平面，， ， 又，则，所以. 即直线，，两两垂直. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为， 由得取. 由得取. 设平面与平面所成角为，则 ， 即平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明：由（1）知，椭圆的方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）①设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；②由①的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高河中学2024年秋高二12月月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（ ） A. 两圆相交 B. 直线AB的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段AB的长为 3. 为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 6. 已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 ，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 圆C被y轴截得的弦长为 C. 点C到直线l的距离的最大值是 D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 10. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为__________. 13. 圆：与圆：相交于、两点，则_________． 14. 已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知三点，记的外接圆为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，求的面积. 16. 已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点. （1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程; （2）若，求椭圆的长轴长. 17. 已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值． 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点. （1）求证；平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $