精品解析：广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期学业水平测试（12月）数学试题

南海区2027届高一上学期学业水平测试 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，再根据交集含义即可. 【详解】，则. 故选：B. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可. 【详解】因为命题，所以. 故选：D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】易知单调递增，， ， 所以的零点所在的区间是. 故选：C. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对数函数的性质比较大小关系即可. 【详解】由，则， 所以. 故选：A 5. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 0 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数性质代入计算即可. 【详解】. 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数值的正负可排除选项CD；根据函数的奇偶性可排除选项A； 【详解】当时，，故排除CD； 而的定义域为， 且， 所以奇函数，所以排除A. 故选：B 7. 人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ） A. 108dB B. 81dB C. 72dB D. 63dB 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中给出的函数模型，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】设一般两人小声交谈时声音强度为，则，即， 所以，即老师声音等级约为63dB. 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，根据题意得在上单调递增，再由题意转化为即可. 【详解】当时，有恒成立， 即有，即，即， 令，不妨设，可得 则可得，即， 所以是上单调递增函数， 又函数是定义在上的奇函数，且，所以， 不等式， 即，所以， 所以满足的的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】ACD 【解析】 【分析】转化为集合之间的包含关系，再对比选项即可. 【详解】设该条件所表示的集合为，因为其是“”的一个必要不充分条件， 则. 对比选项知ACD，符合题意，B不合题意. 故选：ACD. 10. 已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用特殊值即可判断A、D；根据基本不等式及指数函数单调性判断B、C. 【详解】A、D：当时，且，错； B：由，则，整理可得，对； C：由单调递增，且，故，对. 故选：BC 11. 若存在两个不相等的实数，使均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题中性质的定义，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A，的定义域为R，且， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，函数的定义域为R， 取 ，，则， 则，即，故B正确； 对于C，假设函数具有性质，则存在，， 使得，即， ，即， 若，则，即，即这与矛盾； 若，不妨设，则可得，即， 解得，则，故C正确； 对于D，因为函数的定义域为R， 又，所以函数为奇函数， 取，则，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】6 【解析】 【分析】由对数的运算性质和换底公式可得解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递增，写出满足条件的实数的一个值__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】通过取，如或，得出，再利用基本函数的性质，即可求解. 【详解】取，则，在区间上单调递增， 所以满足题意， 取，则，在区间上单调递增， 所以满足题意， 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，函数与的图象均关于直线对称，由对称性求解即可. 【详解】由满足，则函数的图象关于直线对称， 又函数的图象关于直线对称， 所以函数与的图象的交点关于直线对称， 则， ， 即，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），; （2） 【解析】 【分析】（1）分别求两个集合，再根据集合的运算，即可求解； （2）根据，分和两种情况，列式求得到取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，得，则，或 所以，； 【小问2详解】 若，则， 当时，，得， 当时，，解得：， 综上可知，. 16. 给定函数，. （1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的最大者，记为，求不等式的解集. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数与分段函数的图像得出答案； （2）根据图像求出的解析式，然后分类讨论求解即可 【小问1详解】 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，即，所以， 当时，，即，所以， 当时，，即，所以， 所以不等式的解集为 17. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明; （3）解不等式. 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质有恒成立，即可得参数值； （2）令，应用作差比较大小证明单调性； （3）根据已知（2）有，结合对数函数单调性求解集. 【小问1详解】 由题设，即恒成立，所以. 【小问2详解】 在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，令， 则， 由，故，故在上的单调递增，得证. 【小问3详解】 由题设及（2）知：，则或， 所以或，解集为. 18. 学校和学校相距20km，现计划在学校外以为直径半圆弧（不含，两点）上选择一点建造一家污水处理厂.其对学校的影响度与所选地点到学校的距离有关，对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为1；对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为.对学校和学校的总影响度为学校和学校的影响度之和.记点到学校的距离为km，建在处的污水处理厂对学校和学校的总影响度为.统计调查表明：当在的中点时，对学校和学校的总影响度为0.085. （1）将表示成函数； （2）判断半圆弧（不含，两点）上是否存在一点，使得建在此处的污水处理厂对学校和学校的总影响度最小？若存在，求出该点到学校的距离，以及总影响度的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系可知，，再根据题意，转化为，再代入数据，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用换元法，基本不等式求函数的最值. 【小问1详解】 由为直径，得，所以， 由已知得， 又当垃圾处理厂是的中点时，对城和城的总影响度为， 即时，，代入上式得，解得， 所以表示成的函数为：； 【小问2详解】 ， 令，， 则， 又，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当时，等号成立， 所以弧上存在一点，该点到城的距离为km时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总影响度最小为. 19. 已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数. （1）若，求集合； （2）若，求的最小值； （3）试判断与的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1） （2）15. （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由集合新定义直接求出即可； （2）分、讨论，根据可得答案； （3），不妨设，则可得答案. 【小问1详解】 由题意可得； 【小问2详解】 当时，. 当时，，此时最多有个. 于是. 由，即，解得. 当中的15个元素都是质数时，因为任意两个质数的商是不相等的， 此时，所以的最小值为15； 【小问3详解】 . 不妨设，则， 至少这个元素属于. 于是. 【点睛】关键点点睛：第二小问关键点在于对集合新定义的理解，考虑互质与不互质的情况，再结合集合中元素的互异性和二次函数知识作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海区2027届高一上学期学业水平测试 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 0 C. D. 4 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ） A 108dB B. 81dB C. 72dB D. 63dB 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若存在两个不相等实数，使均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 已知函数在上单调递增，写出满足条件的实数的一个值__________. 14. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数取值范围. 16. 给定函数，. （1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的最大者，记为，求不等式的解集. 17. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明; （3）解不等式. 18. 学校和学校相距20km，现计划在学校外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造一家污水处理厂.其对学校的影响度与所选地点到学校的距离有关，对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为1；对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为.对学校和学校的总影响度为学校和学校的影响度之和.记点到学校的距离为km，建在处的污水处理厂对学校和学校的总影响度为.统计调查表明：当在的中点时，对学校和学校的总影响度为0.085. （1）将表示成的函数； （2）判断半圆弧（不含，两点）上是否存在一点，使得建在此处的污水处理厂对学校和学校的总影响度最小？若存在，求出该点到学校的距离，以及总影响度的最小值；若不存在，说明理由. 19. 已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数. （1）若，求集合； （2）若，求的最小值； （3）试判断与的大小关系，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $