12.3 《角的平分线的性质》课件 2024--2025学年人教版八年级数学上册

12.3 角的平分线性质 第十二章 全等三角形 教学目标 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法。 2、探索并证明角的平分线的性质。 3、能利用角的平分线的性质解决简单问题。 教学重点：角的平分线的性质的证明及应用 教学难点：角平分线的性质的探究 挑战第一关 情境引入 问题1：在草稿纸上画一个角，你能用什么方法得到这个角的平分线？ 用量角器度量 也可以用折纸的方法 问题2 ：在生产生活中，这些方法可行吗？ 你能评价一下这两种方法吗？ 用平分角的仪器可以平分一个角。 如图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的原理吗? E 平分角的仪器 A D B C A D B C 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等 4 挑战第二关 用直尺和圆规作一个角的平分线 小组讨论：能否根据此仪器的原理找到用尺规作角的平分线的方法？ A B C E D 线索一：把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=AD），怎样在画图在体现呢？ 线索二：仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现呢？ 5 M N B D C A 已知:∠MAN 求作：∠MAN的平分线. 跟着老师操作 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于点B，交AN于点D. （2）分别以点B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. A B C E D 探究角平分线的性质 二 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？ P A O B C D E 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 角平分线的性质 二 动手操作 如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？ OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE） A O B C D E P 验证结论 已知：如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 ° 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO ∠AOC= ∠BOC OP= OP ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 挑战第三关 巩固新知 1：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段. 哪个学生的作法正确？ 同学乙的画法是正确的． 同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求． 2.判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 3.如图, ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为 cm． 若Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值是多少？ 4.如图, ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm， 则AD+DE= cm. Q 5.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,AB=10,则点D到AB的距离是 . △ABD的面积是 。 A B C D E 6．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15，AB＝9，BC＝6，则DE＝　 练一练 7、已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. 练一练 A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中 BD=CD DE=DF ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL) ∴ EB=FC 8.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？ A O B M N P 解：在△MOP和△NOP中， OM=ON OP=OP ∴△MOP≌△NOP（HL） ∴∠MOP=∠NOP 即OP平分∠AOB. 课堂小结 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课后作业 课本第50页 1、2题 习题12.3 1、2、3题 本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律.首先由一种平分角的仪器的工作原理引入了作一个角的平分线的尺规作图，引导学生发现它们的依据是全等三角形的“边边边”判定方法，在教学过程中给学生的思考留有余地下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识. 教学反思 $$