12.3 角的平分线的性质 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

12.3 角的平分线的性质 1.下图中能表示点P到直线l的距离的是线段 的长. PC P l A B C D 复习引入 复习引入 2、角平分线的概念 从一个角的顶点出发，把这个角分成_____相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 如下图，若OC是∠AOB的平分线，则_____=_____ 两个 ∠1 ∠2 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? E 探索1 D A · · · · B C D A · · · · B C 证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） AC=AC（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等） ∴AE平分∠DAB（角平分线的定义） D A · · · · B C E 我能证明 A B M N C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 如图，任意作一个∠AOB,作出∠AOB的平分线OC。在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试。 探索2 我能证明 P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） http://www.zxxk.com/ 我们猜想角的平分线有什么样的性质？ 发现 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 O C B 1 A 2 P D E P在OC上 PD⊥OA，PE⊥OB, ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ PD＝PE 用符号语言表述： 归纳 1. 如图，∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 BD CD （×） 小试牛刀,体验成功 判断： 2.如图，∵ AD平分∠BAC ， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 BP CP （×） A P C B D 小试牛刀,体验成功 3.如图，∵ AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 BD CD （×） 判断： 小试牛刀,体验成功 4、如图，∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = （ ） DB DC 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 √ 不必再证全等 小试牛刀,体验成功 角平分线的性质应用所具备的条件： 1.角的平分线； 2.点在该平分线上； 3.两个垂直距离 练习小结，收获感悟 学以致用,体验成功 1、如图，已知点P是∠BAC平分线上一点，由角平分线的性质定理可以直接得到PD=PE的是（ ） A B C D A 2、如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，则CD=__________ 3、如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_________ 学以致用,体验成功 2题图 3题图 ED 4cm 学以致用,体验成功 4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，则DE=________ A B C D E 1 2 3 5、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：EB=FC 学以致用,体验成功 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° ∴在Rt△BED和Rt△CFD中 BD=CD DE=DF ∴Rt△BED≌Rt△CFD ∴EB=FC 本节课学习了那些知识？有哪些运用？ 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的性质定理是证明线段相等的新途径. 课堂总结，收获感悟 作业：书P51 2、4、5 同学们再见 $$