2.6.1 函数的单调性-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(北师) §6　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 知识点一　函数与其导函数图象之间的关系 1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　) 答案：C 解析：∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上是增函数，∴当x<1或x>4时，f′(x)<0；当1<x<4时，f′(x)>0.故选C. 2．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．f(x)在(－3，1)上单调递增 B．f(x)在(1，3)上单调递减 C．f(x)在(2，4)上单调递减 D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增 答案：C 解析：根据f(x)的单调性与f′(x)的正负之间的关系进行判断，当x∈(2，4)时，f′(x)<0，故f(x)在(2，4)上单调递减，其余判断均错误．故选C. 知识点二　利用导数判断函数的单调性 3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞) 答案：D 解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)． 4．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1，1] B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：B 解析：函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，得0<x≤1，∴函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(0，1]． 5．讨论下列函数的单调性： (1)y＝x3－2x2＋3； (2)y＝ln (2x＋3)＋x2； (3)y＝ax2ex－1(a≠0)． 解：(1)函数的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)． 令y′>0，则2x(x－2)>0，解得x<0或x>2. 所以函数在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增． 令y′<0，则2x(x－2)<0，解得0<x<2. 所以函数在区间(0，2)上单调递减． (2)函数y＝ln (2x＋3)＋x2的定义域为. y′＝＋2x＝＝. 令y′>0，解得－<x<－1或x>－. 所以函数在区间，上单调递增． 令y′<0，解得－1<x<－. 所以函数在区间上单调递减． (3)y′＝2axex＋ax2ex＝axex(2＋x)，令y′＝0， 则x＝0或x＝－2. ①若a>0，当x<－2时，y′>0，函数单调递增；当－2<x<0时，y′<0，函数单调递减；当x>0时，y′>0，函数单调递增； ②若a<0，当x<－2时，y′<0，函数单调递减；当－2<x<0时，y′>0，函数单调递增；当x>0时，y′<0，函数单调递减． 综上所述，当a>0时，函数在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在区间(－2，0)上单调递减；当a<0时，函数在区间(－2，0)上单调递增，在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递减． 知识点三　已知函数单调性求参数的值或取值范围 6．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 答案：B 解析：∵f(x)＝x3＋ax－2，∴f′(x)＝3x2＋a.由已知，得f′(x)≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，∴a≥－3x2在区间(1，＋∞)上恒成立，∴a≥－3. 7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝__________，c＝__________． 答案：－　－6 解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1<x<2是不等式f′(x)<0的解，即－1，2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，因此b＝－，c＝－6. 知识点四　利用函数的单调性解决不等式问题 8．[多选]已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)f′(x)>f(x)，则下列不等式一定成立的是(　　) A．3f(4)<4f(3) B．4f(4)>5f(3) C．3f(3)<4f(2) D．3f(3)>4f(2) 答案：BD 解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以g(3)<g(4)，即<，所以4f(4)>5f(3)．又g(2)<g(3)，即<，所以3f(3)>4f(2)．故选BD. 9．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，求不等式exf(x)>ex＋1的解集． 解：构造函数g(x)＝exf(x)－ex－1，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]． 由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，所以exf(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集为{x|x>0}． 10．已知函数f(x)＝ln x－. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1. 解：(1)f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)． 由f′(x)＞0，得 解得0＜x＜. 故函数f(x)的单调递增区间是. (2)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)， 则有F′(x)＝. 当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0， 所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减． 故当x＞1时，F(x)＜F(1)＝0， 即当x＞1时，f(x)＜x－1. 一、选择题 1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝sin2x B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln (1＋x) 答案：B 解析：对于B中y＝xex，因为y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0，所以y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．故选B. 2.已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　) 答案：D 解析：从f′(x)的图象可以看出，在区间上，导数单调递增；在区间上，导数单调递减．即函数f(x)的图象在区间上越来越陡，在区间上越来越平缓，由此可知，只有D符合． 3．y＝xln x在(0，5)上是(　　) A．单调递增函数 B．单调递减函数 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 答案：C 解析：∵y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1，∴当0<x<时，ln x<－1，即y′<0，∴y在上单调递减；当<x<5时，ln x>－1，即y′>0，∴y在上单调递增． 4．已知函数f(x)＝ex(a－cosx)在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－] C．[，＋∞) D．(－∞，－1] 答案：C 解析：因为f(x)＝ex(a－cosx)在R上单调递增，所以f′(x)＝ex(a－cosx＋sinx)≥0恒成立，即a≥cosx－sinx恒成立．令g(x)＝cosx－sinx，则g(x)＝cosx－sinx＝cos，即g(x)∈[－，]，所以a≥.故选C. 5．[多选]已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)<x2＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，则下列结论正确的是(　　) A．2f(2)－3f(1)>5 B．若f(1)＝2，x>1，则f(x)>x2＋x＋ C．f(3)－2f(1)<7 D．若f(1)＝2，0<x<1，则f(x)>x2＋x＋ 答案：CD 解析：设函数g(x)＝，则g′(x)＝＝ .因为(x＋1)·f′(x)－f(x)<x2＋2x，所以g′(x)<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而g(1)>g(2)>g(3)，整理得2f(2)－3f(1)<5，f(3)－2f(1)<7，故A错误，C正确；若f(1)＝2，因为g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当0<x<1时，g(x)>g(1)＝，即>，即f(x)>x2＋x＋.当x>1时，g(x)<g(1)＝，即<，即f(x)<x2＋x＋.故B错误，D正确．故选CD. 二、填空题 6．函数y＝f(x)在定义域上可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为________． 答案：∪(2，3) 解析：f′(x)<0的解集即为f(x)的单调递减区间，结合题图可知f′(x)<0的解集为∪(2，3)． 7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案：(－∞，－1)，(0，＋∞)　(－1，0) 解析：∵f(x)＝x(ex－1)－x2，∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减． 8．设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R有f′(x)>x，若f(1－k)－f(k)<－k，则k的取值范围是________． 答案： 解析：令g(x)＝f(x)－x2，则g′(x)＝f′(x)－x>0恒成立，故g(x)＝f(x)－x2单调递增，f(1－k)－f(k)<－k变形为f(1－k)－(1－k)2<f(k)－k2，即g(1－k)<g(k)，从而1－k<k，解得k>，故k的取值范围是. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设函数f(x)在区间上是减函数，求a的取值范围． 解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1， 令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＋1＝0， 则Δ＝4a2－12＝4(a2－3)． 当a2≤3，即－≤a≤时，Δ≤0，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增； 当a2>3，即a>或a<－时， 由f′(x)＝0求得两根为x＝， 由f′(x)>0， 得x<或x>， 由f′(x)<0， 得<x<， 即f(x)在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增． (2)由(1)可得 解得a≥2，即a的取值范围为[2，＋∞)． 10．已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－1，则 f′(x)＝1－＝(x>0)， 当x＞1时，f′(x)>0， ∴函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)g(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x－1(a＜0)，其定义域为(0，＋∞)， ∴g′(x)＝2ax＋2－a－＝ ＝(a＜0)， 令g′(x)＝0⇒x1＝，x2＝－>0， ①当－>，即－2<a<0时， 0<x<或x>－时，g′(x)<0， <x<－时，g′(x)>0， ∴函数g(x)的单调递减区间为，， 单调递增区间为； ②当－＝，即a＝－2时，g′(x)≤0，函数g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； ③当0<－<，即a<－2时， 0<x<－或x>时，g′(x)<0， －<x<时，g′(x)>0， ∴函数g(x)的单调递减区间为，， 单调递增区间为. 综上，当－2<a<0时，函数g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为； 当a＝－2时，函数g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当a<－2时，函数g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$