4.1.2 乘法公式与全概率公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 4．1.2　乘法公式与全概率公式 知识点一　乘法公式 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(BA)＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：易知P(BA)＝P(A)P(B|A)＝×＝.故选D. 2．有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案：0.56 解析：设事件A表示“种子发芽成功”，事件B表示“幼苗能成活”．根据题意知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.7，故由P(B|A)＝知P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.7＝0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56. 3．一个不透明的盒子中有5个产品，其中有2个是一等品，3个是二等品，甲、乙两人先后从中不放回地抽取产品，每次抽取1个，共抽取两次，假设甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲抽得一等品且乙也抽得一等品的概率； (2)甲没抽得一等品而乙抽得一等品的概率． 解：设事件A表示“甲抽得一等品”，事件B表示“乙抽得一等品”，则P(A)＝. (1)因为抽得的产品不放回，所以甲抽得一等品后乙抽取时，乙抽得一等品的概率为P(B|A)＝. 根据乘法公式可知，甲抽得一等品且乙也抽得一等品的概率为P(BA)＝P(A)P(B|A)＝×＝. (2)因为P(A)＋P()＝1， 所以P()＝1－P(A)＝. 因为抽得的产品不放回，所以甲没抽得一等品后乙抽取时，乙抽得一等品的概率为P(B|)＝. 根据乘法公式可知，甲没抽得一等品而乙抽得一等品的概率为P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 知识点二　全概率公式 4．一个不透明的盒子中有a个红球，b个黑球，若随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从该盒子中第二次取出一球，求第二次取出的是黑球的概率． 解：用事件A表示“第一次取出的是黑球”，事件B表示“第二次取出的是黑球”，则B＝AB＋B. 由题意可得P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝. 所以由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝·＋·＝. 5．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，求该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率． 解：设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%. 设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30. 由全概率公式，得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175. 知识点三　贝叶斯公式 6．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失的哪一箱．现从剩下的9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，求丢失的1箱也是英语书的概率． 解：用事件A表示“丢失1箱后任取2箱都是英语书”，用事件B1，B2，B3分别表示丢失的1箱是英语书、数学书、语文书，则P(B1)＝，P(B2)＝，P(B3)＝. 由全概率公式，得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝×＋×＋×＝， 则P(B1|A)＝＝＝＝. 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ 对点 直接利用乘法公式求概率 对立事件的概率计算、乘法公式求实际问题中的概率 全概率公式 直接利用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式求概率 多个事件的全概率公式、贝叶斯公式 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★ ★ ★★★ 对点 直接利用对立事件的概率公式、乘法公式求概率 乘法公式求实际问题中的概率 多个事件的全概率公式 随机事件的概率、全概率公式 条件概率的计算，多个事件的全概率公式、贝叶斯公式 一、选择题 1．已知P()＝0.4，P(B|A)＝0.3，则P(BA)＝(　　) A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42 答案：B 解析：因为P(A)＝1－P()＝1－0.4＝0.6，所以P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.3＝0.18. 2．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为(　　) A．0.21 B．0.72 C．0.75 D．0.96 答案：B 解析：设事件A表示“任取一件是合格品”，事件B表示“任取一件是一等品”，因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝0.72. 3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为1，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对此题的概率为(　　) A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 答案：A 解析：用事件A表示“考生答对此题”，用事件B表示“考生知道正确答案”，则P(B)＝0.5，P()＝0.5，P(A|B)＝1，P(A|)＝0.25，则P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×1＋0.5×0.25＝0.625. 4．[多选]已知P()＝0.6，P(B|A)＝0.3，P(B|)＝0.2，则下列说法正确的是(　　) A．P(A)＝0.4 B．P(B)＝0.12 C．P(B)＝0.24 D．P(A|B)＝0.6 答案：ABC 解析：因为P(A)＋P()＝1，所以P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4.因为P()＝0.6，P(B|)＝0.2，所以P(B)＝P()P(B|)＝0.6×0.2＝0.12，P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.4×0.3＋0.6×0.2＝0.24，所以P(A|B)＝＝＝0.5.故选ABC. 5．一批同型号的螺钉由编号为1，2，3的三台机器共同生产，各台机器生产的螺钉数量占这批螺钉数量的比例分别为35%，40%，25%，各台机器生产的螺钉次品率分别为3%，2%和1%.现从这批螺钉中抽到一颗次品，则该次品由2号机器生产的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设事件A表示“螺钉是次品”，事件B1表示“螺钉由1号机器生产”，事件B2表示“螺钉由2号机器生产”，事件B3表示“螺钉由3号机器生产”，则P(B1)＝0.35，P(B2)＝0.40，P(B3)＝0.25，P(A|B1)＝0.03，P(A|B2)＝0.02，P(A|B3)＝0.01，所以P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.35×0.03＋0.40×0.02＋0.25×0.01＝0.021，所以P(B2|A)＝＝. 二、填空题 6．已知P(A)＝0.5，P(|A)＝0.8，则P(BA)＝________． 答案：0.1 解析：因为P(B|A)＋P(|A)＝1，所以P(B|A)＝1－P(|A)＝1－0.8＝0.2，所以P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.5×0.2＝0.1. 7．已知某学校中，经常参加体育锻炼的学生占60%，而且经常参加体育锻炼的学生中，喜欢足球的占10%.从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到的学生经常参加体育锻炼且喜欢足球的概率为________． 答案：6% 解析：用事件A表示“抽到的学生经常参加体育锻炼”，事件B表示“抽到的学生喜欢足球”．由题意可得P(A)＝60%，P(B|A)＝10%，则P(BA)＝P(A)P(B|A)＝60%×10%＝6%. 8．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为________． 答案：0.08 解析：以事件A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，事件B表示“取得的X光片为次品”，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.则由全概率公式，得所求概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝0.08. 三、解答题 9．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 解：如果用事件A1，A2分别表示居民遇到的一位同学是甲班的、乙班的，事件B表示“居民遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 10．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率(精确到0.01)； (2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率(精确到0.01)． 解：设事件B表示“顾客买下该箱玻璃杯”，事件Ai(i＝0，1，2)表示“抽到的一箱中有i件残次品”． 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件残次品． 显然A0，A1，A2相互互斥． 由题意知P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1， P(B|A0)＝＝1，P(B|A1)＝＝， P(B|A2)＝＝， (1)由全概率公式得 P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)≈0.94. (2)由贝叶斯公式得 P(A0|B)＝＝≈0.85. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$