4.1.2 乘法公式与全概率公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第四章　概率与统计 4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.2　乘法公式与全概率公式 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 4 2．有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为______． 答案 解析 0.56 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 5 3．一个不透明的盒子中有5个产品，其中有2个是一等品，3个是二等品，甲、乙两人先后从中不放回地抽取产品，每次抽取1个，共抽取两次，假设甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲抽得一等品且乙也抽得一等品的概率； (2)甲没抽得一等品而乙抽得一等品的概率． 解 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 6 解 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 7 知识点二　全概率公式 4．一个不透明的盒子中有a个红球，b个黑球，若随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从该盒子中第二次取出一球，求第二次取出的是黑球的概率． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 8 解 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 9 5．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，求该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率． 解 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 10 知识点三　贝叶斯公式 6．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失的哪一箱．现从剩下的9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，求丢失的1箱也是英语书的概率． 解 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 11 30分钟综合练 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ 对点 直接利用乘法公式求概率 对立事件的概率计算、乘法公式求实际问题中的概率 全概率公式 直接利用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式求概率 多个事件的全概率公式、贝叶斯公式 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★ ★ ★★★ 对点 直接利用对立事件的概率公式、 乘法公式求概率 乘法公式求实际问题中的概率 多个事件的全概率公式 随机事件的概率、全概率公式 条件概率的计算，多个事件的全概率公式、贝叶斯公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 14 2．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为(　　) A．0.21 B．0.72 C．0.75 D．0.96 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为1，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对此题的概率为(　　) A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 解 析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 答案 解析 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 7．已知某学校中，经常参加体育锻炼的学生占60%，而且经常参加体育锻炼的学生中，喜欢足球的占10%.从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到的学生经常参加体育锻炼且喜欢足球的概率为________． 解析：用事件A表示“抽到的学生经常参加体育锻炼”，事件B表示“抽到的学生喜欢足球”．由题意可得P(A)＝60%，P(B|A)＝10%，则P(BA)＝P(A)P(B|A)＝60%×10%＝6%. 答案 解析 6% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 答案 0.08 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 解 析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 10．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率(精确到0.01)； (2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率(精确到0.01)． 解 解：设事件B表示“顾客买下该箱玻璃杯”，事件Ai(i＝0，1，2)表示“抽到的一箱中有i件残次品”． 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件残次品． 显然A0，A1，A2相互互斥． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：易知P(BA)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,5)×eq \f(3,10)＝eq \f(3,50).故选D. 知识点一　乘法公式 1．已知P(B|A)＝eq \f(3,10)，P(A)＝eq \f(1,5)，则P(BA)＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,50) 解析：设事件A表示“种子发芽成功”，事件B表示“幼苗能成活”．根据题意知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.7，故由P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)知P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.7＝0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56. 解：设事件A表示“甲抽得一等品”，事件B表示“乙抽得一等品”，则P(A)＝eq \f(2,5). (1)因为抽得的产品不放回，所以甲抽得一等品后乙抽取时，乙抽得一等品的概率为P(B|A)＝eq \f(1,4). 根据乘法公式可知，甲抽得一等品且乙也抽得一等品的概率为P(BA)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,10). (2)因为P(A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝1， 所以P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝1－P(A)＝eq \f(3,5). 因为抽得的产品不放回，所以甲没抽得一等品后乙抽取时，乙抽得一等品的概率为P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(1,2). 根据乘法公式可知，甲没抽得一等品而乙抽得一等品的概率为P(Beq \o(A,\s\up12(－)))＝P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,10). 解：用事件A表示“第一次取出的是黑球”，事件B表示“第二次取出的是黑球”，则B＝AB＋eq \o(A,\s\up12(－))B. 由题意可得P(A)＝eq \f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq \f(b＋c,a＋b＋c)， P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(a,a＋b)，P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(b,a＋b＋c). 所以由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－))) ＝eq \f(b,a＋b)·eq \f(b＋c,a＋b＋c)＋eq \f(a,a＋b)·eq \f(b,a＋b＋c)＝eq \f(b,a＋b). 解：设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%. 设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30. 由全概率公式，得P(A)＝eq \o(∑,\s\up12(3),\s\do10(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175. 解：用事件A表示“丢失1箱后任取2箱都是英语书”，用事件B1，B2，B3分别表示丢失的1箱是英语书、数学书、语文书，则P(B1)＝eq \f(1,2)，P(B2)＝eq \f(1,5)，P(B3)＝eq \f(3,10). 由全概率公式，得P(A)＝eq \o(∑,\s\up12(3),\s\do10(k＝1))P(Bk)P(A|Bk)＝eq \f(1,2)×2,4)eq \f(C,Ceq \o\al(2,9)) ＋eq \f(1,5)×2,5)eq \f(C,Ceq \o\al(2,9)) ＋eq \f(3,10)×2,5)eq \f(C,Ceq \o\al(2,9)) ＝eq \f(2,9)， 则P(B1|A)＝eq \f(P（B1）P（A|B1）,P（A）)＝2,4)eq \f(\f(1,2)×\f(C,Ceq \o\al(2,9)),P（A）) ＝eq \f(\f(1,12),\f(2,9))＝eq \f(3,8). 解析：因为P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝1－0.4＝0.6，所以P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.3＝0.18. 一、选择题 1．已知P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝0.4，P(B|A)＝0.3，则P(BA)＝(　　) A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42 解析：设事件A表示“任取一件是合格品”，事件B表示“任取一件是一等品”，因为P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝96%，P(B|A)＝75%，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(96,100)×eq \f(75,100)＝0.72. 解析：用事件A表示“考生答对此题”，用事件B表示“考生知道正确答案”，则P(B)＝0.5，P(eq \o(B,\s\up12(－)))＝0.5，P(A|B)＝1，P(A|eq \o(B,\s\up12(－)))＝0.25，则P(A)＝P(AB)＋P(Aeq \o(B,\s\up12(－)))＝P(B)P(A|B)＋P(eq \o(B,\s\up12(－)))P(A|eq \o(B,\s\up12(－)))＝0.5×1＋0.5×0.25＝0.625. 解析：因为P(A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝1，所以P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝1－0.6＝0.4.因为P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝0.6，P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝0.2，所以P(Beq \o(A,\s\up12(－)))＝P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝0.6×0.2＝0.12，P(B)＝P(BA＋Beq \o(A,\s\up12(－)))＝P(BA)＋P(Beq \o(A,\s\up12(－)))＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝0.4×0.3＋0.6×0.2＝0.24，所以P(A|B)＝eq \f(P（A）P（B|A）,P（B）)＝eq \f(0.4×0.3,0.24)＝0.5.故选ABC. 4．[多选]已知P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝0.6，P(B|A)＝0.3，P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝0.2，则下列说法正确的是(　　) A．P(A)＝0.4 B．P(Beq \o(A,\s\up12(－)))＝0.12 C．P(B)＝0.24 D．P(A|B)＝0.6 5．一批同型号的螺钉由编号为1，2，3的三台机器共同生产，各台机器生产的螺钉数量占这批螺钉数量的比例分别为35%，40%，25%，各台机器生产的螺钉次品率分别为3%，2%和1%.现从这批螺钉中抽到一颗次品，则该次品由2号机器生产的概率为(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(8,21) C.eq \f(5,42) D.eq \f(4,21) 解析：设事件A表示“螺钉是次品”，事件B1表示“螺钉由1号机器生产”，事件B2表示“螺钉由2号机器生产”，事件B3表示“螺钉由3号机器生产”，则P(B1)＝0.35，P(B2)＝0.40，P(B3)＝0.25，P(A|B1)＝0.03，P(A|B2)＝0.02，P(A|B3)＝0.01，所以P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.35×0.03＋0.40×0.02＋0.25×0.01＝0.021，所以P(B2|A)＝eq \f(P（B2）P（A|B2）,P（A）)＝eq \f(8,21). 解析：因为P(B|A)＋P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝1，所以P(B|A)＝1－P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝1－0.8＝0.2，所以P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.5×0.2＝0.1. 二、填空题 6．已知P(A)＝0.5，P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝0.8，则P(BA)＝_____． 8．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为eq \f(1,10)，eq \f(1,15)，eq \f(1,20)，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为________． 解析：以事件A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，事件B表示“取得的X光片为次品”，P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2)＝eq \f(3,10)，P(A3)＝eq \f(1,5)，P(B|A1)＝eq \f(1,10)，P(B|A2)＝eq \f(1,15)，P(B|A3)＝eq \f(1,20).则由全概率公式，得所求概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(1,15)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,20)＝0.08. 解：如果用事件A1，A2分别表示居民遇到的一位同学是甲班的、乙班的，事件B表示“居民遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝eq \f(5,8)，P(A2)＝eq \f(3,8)， 且P(B|A1)＝eq \f(3,5)，P(B|A2)＝eq \f(1,3). 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq \f(5,8)×eq \f(3,5)＋eq \f(3,8)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2). 三、解答题 9．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占eq \f(3,5)，乙班中女生占eq \f(1,3).求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 由题意知P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1， P(B|A0)＝4,20)eq \f(C,Ceq \o\al(4,20)) ＝1，P(B|A1)＝4,19)eq \f(C,Ceq \o\al(4,20)) ＝eq \f(4,5)， P(B|A2)＝4,18)eq \f(C,Ceq \o\al(4,20)) ＝eq \f(12,19)， (1)由全概率公式得 P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)≈0.94. (2)由贝叶斯公式得 P(A0|B)＝eq \f(P（A0）P（B|A0）,P（B）)＝eq \f(0.8×1,0.94)≈0.85. $$