3.1.4 全概率公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（湘教版2019）

数学　选择性必修·第二册（湘教） 3．1．4　全概率公式 (教师独具内容) 课程标准：结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 教学重点：理解并掌握全概率公式． 教学难点：应用全概率公式解决实际问题． 核心素养：1．通过全概率公式的学习培养数学抽象素养和数学运算素养．2．通过应用全概率公式解决问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点　全概率公式 1．若将样本空间Ω分为A，两部分，则事件B的概率P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． 2．若将样本空间Ω分为n部分，则可以推广得到以下结论： 设Ai(i＝1，2，…，n)为n个事件，若满足 (1)AiAj＝∅(i≠j)， (2)A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω， (3)P(Ai)>0，i＝1，…，n， 则对任一事件B，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)＝__P(Ai)P(B|Ai)． 全概率公式的理解：“全”部概率被分解成了许多部分之和．某事件B的发生有各种可能的原因．如果B发生是由原因Ai(i＝1，2，…，n，A1∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0)所引起的，则B发生的概率是P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)．每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生的概率的总和，即全概率公式的意义． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若P(A)>0，P()>0，则P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|)．(　　) (2)若A1，A2，A3互斥且P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．(　　) (3)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai＝Ω．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝________，P(A|B)＝________． (2)已知P(BA)＝0．35，P(B)＝0．72，则P(B)＝________． (3)有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________． 答案　(1)　　(2)0．37　(3) 题型　全概率公式的应用 　(1)已知某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0．15，第二车间的次品率为0．12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的产品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率． [解]　设B＝“从仓库中随机提出的一台产品是合格品”， Ai＝“提出的一台产品是第i车间生产的”，i＝1，2， 则有B＝A1B∪A2B． 由题意知，P(A1)＝，P(A2)＝， P(B|A1)＝0．85，P(B|A2)＝0．88． 由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0．85＋×0．88＝0．868． (2)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． [解]　设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝， P(B3)＝＝， P(A|B1)＝，P(A|B2)＝， P(A|B3)＝， ∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝． 感悟提升 全概率公式的实际意义 在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造一组互斥的Ai(i＝1，2，…，n，A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω)，用P(BAi)之和计算P(B)即可． [跟踪训练]　市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，试求市场上该品牌产品的次品率． 解　设A表示买到一件次品；B1，B2，B3分别表示买到一件甲厂、乙厂、丙厂的产品．则P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝30%×3%＋20%×3%＋50%×1%＝2%． 1．据美国的一份资料报导，在美国患肺癌的概率约为0．1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0．4%，则不吸烟者患肺癌的概率是(　　) A．0．25% B．0．04% C．0．4% D．0．025% 答案　D 解析　记事件C为“患肺癌”，事件A为“吸烟”，按照题意P(C)＝0．001，P(A)＝0．20，P(C|A)＝0．004，需求条件概率P(C|)，由全概率公式有P(C)＝P(C|A)P(A)＋P(C|)·P()，将数据代入，得0．001＝0．004×0．20＋P(C|)×0．80，P(C|)＝0．00025，则不吸烟者患肺癌的概率为0．025%． 2．有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0．3，0．2，0．1，0．4．如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是，，，而乘飞机则不会迟到．则他迟到的概率为(　　) A．0．09 B．0．10 C．0．15 D．0．20 答案　C 解析　P＝0．3×＋0．2×＋0．1×＋0．4×0＝0．15．故选C． 3．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0．1 0．2 0．4 0．2 0．1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率约为(　　) A．0．814 B．0．809 C．0．727 D．0．652 答案　A 解析　用Ai表示一批产品中有i件次品，i＝0，1，2，3，4，B表示通过检验，则由题意得，P(A0)＝0．1，P(B|A0)＝1，P(A1)＝0．2，P(B|A1)＝＝0．9，P(A2)＝0．4，P(B|A2)＝≈0．809，P(A3)＝0．2，P(B|A3)＝≈0．727，P(A4)＝0．1，P(B|A4)＝≈0．652．由全概率公式，得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0．1×1＋0．2×0．9＋0．4×0．809＋0．2×0．727＋0．1×0．652≈0．814． 4．甲袋中有5只白球、7只红球，乙袋中有4只白球、2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到的球是白球的概率为________． 答案　 解析　设事件A表示“取到的是甲袋”，则表示“取到的是乙袋”．事件B表示“最后取到的是白球”．由题意得P(B|A)＝，P(B|)＝，P(A)＝，所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝×＋×＝．即最后取到的球是白球的概率为． 5．河流A是水库B的主要水源之一．每年的3月，只要河流A不缺水，则水库B就有0．95的概率不缺水，当河流A缺水，水库B也有0．45的概率不缺水．根据经验知道河流A不缺水的概率是0．7，计算水库B不缺水的概率． 解　设河流A不缺水为事件M，水库B不缺水为事件N，由已知P(N|M)＝0．95，P(M)＝0．7，P()＝1－0．7＝0．3，P(N|)＝0．45，所以P(N)＝P(N|M)P(M)＋P(N|)P()＝0．95×0．7＋0．45×0．3＝0．8． 所以水库B不缺水的概率为0．8． 一、选择题 1．已知P(B|A)＝0．3，P(A)＝0．4，P(B|)＝0．2，则P(B)＝(　　) A．0．28 B．0．12 C．0．24 D．0．36 答案　C 解析　由P(A)＝0．4，得P()＝0．6，故P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0．4×0．3＋0．6×0．2＝0．24．故选C． 2．假设某市场供应的节能灯中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%．在该市场中随机购买一个节能灯，则该节能灯是合格品的概率为(　　) A．30% B．80% C．87% D．90% 答案　C 解析　用A1表示购买到的节能灯为甲厂产品，A2表示购买到的节能灯为乙厂产品，B表示购买到的节能灯是合格品，则P(A1)＝70%，P(A2)＝30%，P(B|A1)＝90%，P(B|A2)＝80%．由全概率公式可得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝70%×90%＋30%×80%＝87%．故选C． 3．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0．2，0．5，0．2，0．1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0．4，0．2，0．6，0．2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为(　　) A．0．3 B．0．32 C．0．68 D．0．7 答案　C 解析　设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0．2×0．4＋0．5×0．2＋0．2×0．6＋0．1×0．2＝0．32．所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1－0．32＝0．68． 4．袋中有a个白球和b个黑球，不放回地摸球两次，则第二次摸出白球的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝． 5．(多选)5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次，若第一次取出的卡片不放回，则下列结论正确的是(　　) A．第二次取出的卡片是2的概率为 B．第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为 C．第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为 D．第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的数字的概率为 答案　AB 解析　由乘法公式得，第二次取出的卡片是2的概率为P1＝×＝，A正确；由全概率公式得第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为P2＝×1＋×＋×＋×＋×0＝，B正确，C错误；易知第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的数字的概率为1－P2＝，故D错误． 二、填空题 6．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1．5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0．5，0．15，0．1，0．05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为________． 答案　0．4825 解析　设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4．设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝95．5%×0．5＋2%×0．15＋1．5%×0．1＋1%×0．05＝0．4825． 7．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0．65，0．70和0．85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是________． 答案　0．7175 解析　设事件A1表示“药材来自甲地”，事件A2表示“药材来自乙地”，事件A3表示“药材来自丙地”，事件B表示“抽到优等品”，则P(A1)＝0．4，P(A2)＝0．35，P(A3)＝0．25，P(B|A1)＝0．65，P(B|A2)＝0．7，P(B|A3)＝0．85，所以P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝0．65×0．4＋0．7×0．35＋0．85×0．25＝0．7175． 8．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人．一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0．9，0．7，0．5，0．2．任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率是________． 答案　0．645 解析　设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”，事件Bi表示“射手是i(i＝1，2，3，4)级射手”．则P(B1)＝0．2，P(B2)＝0．4，P(B3)＝0．35，P(B4)＝0．05，P(A|B1)＝0．9，P(A|B2)＝0．7，P(A|B3)＝0．5，P(A|B4)＝0．2．由全概率公式，得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＋P(A|B4)P(B4)＝0．9×0．2＋0．7×0．4＋0．5×0．35＋0．2×0．05＝0．645． 三、解答题 9．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0．02 0．15 2 0．01 0．80 3 0．03 0．05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率． 解　设事件Bi表示“所取到的产品是由第i(i＝1，2，3)家元件制造厂提供的”，事件A表示“取到的是一件次品”． 则P(B1)＝0．15，P(B2)＝0．80，P(B3)＝0．05，P(A|B1)＝0．02，P(A|B2)＝0．01， P(A|B3)＝0．03， 由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0．15×0．02＋0．80×0．01＋0．05×0．03 ＝0．0125． 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0．0125． 10．轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标400，200，100(米)的概率分别是0．5，0．3，0．2，又设它在距目标400，200，100(米)时的命中率分别是0．01，0．02，0．1，求目标被命中的概率为多少？ 解　设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”，事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”，事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”，事件B表示“目标被击中”．由题意得P(A1)＝0．5，P(A2)＝0．3，P(A3)＝0．2，又P(B|A1)＝0．01，P(B|A2)＝0．02，P(B|A3)＝0．1． 由全概率公式得，P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝0．01×0．5＋0．02×0．3＋0．1×0．2＝0．031． 所以目标被命中的概率为0．031． 1．某种病毒可能造成“持续人传人”，通俗点说就是a传b，b传c，c又传d等，这就是“持续人传人”，而a，b，c分别被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0．95，0．9，0．85．健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________． 答案　0．915 解析　设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)＝0．5，P(B)＝0．3，P(C)＝0．2，P(D|A)＝0．95，P(D|B)＝0．9，P(D|C)＝0．85，则P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)·P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0．5×0．95＋0．3×0．9＋0．2×0．85＝0．915． 2．某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0．06，乙厂每箱装120个，废品率为0．05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解　(1)记事件A为“任取一箱为甲厂的产品”，事件B为“任取一箱为乙厂的产品”，事件C为“从中任取一个为废品”， 则Ω＝A∪B，且A，B互斥， 由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C|A)＝0．06＝，P(C|B)＝0．05＝． 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝． (2)记事件E为“任取一箱为甲厂的产品”，事件F为“任取一箱为乙厂的产品”，事件D为“从中任取一个为废品”，则Ω＝E∪F，且E，F互斥， 由题意得P(E)＝＝， P(F)＝＝， P(D|E)＝0．06＝，P(D|F)＝0．05＝， 由全概率公式，得P(D)＝P(E)P(D|E)＋P(F)P(D|F)＝×＋×＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$