3.1.4 全概率公式 3.1.5 贝叶斯公式-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

3.1.4　全概率公式 *3.1.5　贝叶斯公式 [学习目标]　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率.3.了解贝叶斯公式，并会简单应用． 导语 王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.5，选择第二条路的概率是0.3，那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 一、全概率公式的概念 问题1　有两个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率． 提示　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2互斥，A发生总是伴随着B1，B2之一同时发生，即A＝B1A∪B2A，且B1A，B2A互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝. 因此，取得红球的概率为. 知识梳理 1．全概率公式 设Ai(i＝1,2，…，n)为n个事件，若满足(1)AiAj＝∅(i≠j)， (2)A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω， (3)P(Ai)＞0，i＝1，…，n， 则对任一事件B，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)＝P(Ai)P(B|Ai)． 2．全概率公式的意义 如图，B发生的概率与P(BAi)(i＝1,2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即 P(B)＝P(BAi)＝. 注意点： 全概率公式实质上是互斥事件的概率加法公式，解题时需要把题中随机事件合理拆分． 例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解　记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， (1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式， 得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝. (2)P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝. 反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用概率的乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 跟踪训练1　设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率． 解　设B＝“从仓库中随机提出的一台是合格品”， Ai＝“提出的一台是第i车间生产的”，i＝1,2， 则B＝A1B∪A2B， 由题意得P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6， P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋ P(A2)P(B|A2) ＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 二、全概率公式的应用 例2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 解　用事件A1，A2，A3分别表示“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，事件B表示买到的是优质品，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 跟踪训练2　甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞盘必定被击落，求飞盘被击落的概率． 解　设B＝“飞盘被击落”，Ai＝“飞盘被i人击中”，i＝1,2,3，则B＝A1B＋A2B＋A3B， 依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1. 由全概率公式知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)， 设Hi＝“飞盘被第i人击中”，i＝1,2,3， 则P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)， P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)， P(A3)＝P(H1H2H3)， 又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7， 所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.即飞盘被击落的概率为0.458. *三、贝叶斯公式 问题2　在问题1的条件下求某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，若取出的是红球，则此球来自1号箱的概率为多少？ 提示　由问题1得，P(B1)＝，P(B2)＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A)＝， P(AB1)＝P(B1)P(A|B1)＝×＝. P(B1|A)＝＝＝. 知识梳理 1．贝叶斯公式的概念 一般地，当P(A)>0且P(B)>0时， 有P(B|A)＝ ＝. 2．贝叶斯公式的推广 设A1，A2，…，An满足AiAj＝∅(i≠j)，且A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω.若P(Ai)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任一事件B(其中P(B)＞0)，由条件概率及全概率公式，有P(Ai|B)＝＝(i＝1,2，…，n)． 例3　设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%，它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件． (1)求取到次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．(精确到0.01) 解　(1)设事件B1，B2，B3分别表示“取出的工件是甲、乙、丙车间生产的”，A表示“取到的是次品”． 易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式， 可得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 故取到次品的概率为0.034 5. (2)P(B1|A)＝＝＝≈0.36. 故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36. 反思感悟　 利用贝叶斯公式求概率的步骤 (1)利用全概率公式计算P(A)， 即P(A)＝(Bi)P(A|Bi)． (2)计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解． (3)代入P(B|A)＝求解． 跟踪训练3　5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 解　设Ai＝“取到第i号袋子”，i＝1,2,3,4,5. B＝“取到白球”， 根据题意得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝P(A5)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝P(B|A3)＝P(B|A4)＝P(B|A5)＝， 由贝叶斯公式得， P(A1|B)＝ ＝＝. 所以这个球来自1号袋中的概率为. 1.知识清单： (1)全概率公式． (2)*贝叶斯公式． 2．方法归纳：化整为零、转化化归． 3．常见误区：事件拆分不合理或不全面． 1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　) A．0.08 B．0.8 C．0.6 D．0.5 答案　C 解析　因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6. 2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以A1，A2，A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”，B表示“取得的X光片为次品”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝. 3．已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8道题中任选1道题，则他做对的概率为________． 答案　 解析　设小王从这8道题中任选1道题且做对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的2道题为事件C，选到完全没有思路的题为事件D，则P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，由全概率公式可得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＋P(D)P(A|D)＝×1＋×＋×＝. 4．电报发射台发出“·”和“－”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“－”时失真的概率为，则接收台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________． 答案　 解析　设事件A＝收到“·”，事件B＝发出“·”， 由贝叶斯公式得 P(B|A)＝ ＝＝. 1．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为(　　) A．0.068 9 B．0.049 C．0.024 8 D．0.02 答案　C 解析　随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为P＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.024 8. 2．已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　P＝＝. 3．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为50%,15%,10%,5%，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5 答案　C 解析　设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×50%＋2%×15%＋1.5%×10%＋1%×5%＝0.482 5. 4．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设A表示“先取到的是女生报名表”，Bi表示“取到第i个地区的报名表”，i＝1,2,3， 则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， ∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi) ＝×＋×＋×＝. 5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设A表示“丢失一箱后任取两箱是英语书”，Bk表示“丢失的一箱为k”，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得 P(A)＝(Bk)P(A|Bk) ＝×＋×＋×＝. P(B1|A)＝＝＝. 6．(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是(　　) A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝ 答案　AD 解析　P(A)＝＝，故A正确； P(B|A)＝＝＝， P(B|)＝＝＝. 由全概率公式可知， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝. 故BC错误，D正确． 7．学校有a，b两个餐厅，如果王同学早餐在a餐厅用餐，那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是；如果他早餐在b餐厅用餐，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是________． 答案　 解析　设A1表示“早餐去a餐厅用餐”，B1表示“早餐去b餐厅用餐”，A2表示“午餐去a餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1， 根据题意得P(A1)＝，P(B1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝，由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝×＋×＝. 8．有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005，已知产品的次品率为4%，若一产品经检验被认为是次品，则它确实为次品的概率约为________(精确到小数点后三位)． 答案　0.892 解析　设A＝“产品经检验被认为是次品”，B＝“产品确实为次品”， 由题意知，P(B)＝0.04，P()＝0.96， P(A|B)＝0.99，P(A|)＝0.005， 由贝叶斯公式得，所求概率为 P(B|A)＝ ＝≈0.892. 9．袋中装有8只红球，2只黑球，每次从中任取一球，不放回地连续取两次，求下列事件的概率． (1)取出的两球都是红球； (2)取出的两球都是黑球； (3)第二次取出的是红球． 解　设事件A1表示“第一次取到的是红球”，A2表示“第二次取到的是红球”． 根据题意知P(A1)＝，P(1)＝， P(A2|A1)＝， P(2|1)＝，P(A2|1)＝. (1)P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. (2)P(12)＝P(1)P(2|1)＝×＝. (3)由全概率公式得， P(A2)＝P(A2|A1)P(A1)＋P(A2|1)·P(1)＝×＋×＝. 10．“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1 000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”． (1)若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率； (2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这个“青团”是肉松馅的概率． 解　 (1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为C＝21， 这2个“青团”馅不同的事件数为CC＝12， 所以这2个“青团”馅不同的概率为P＝＝. (2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅”， 事件B1为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”， 事件B2为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”， 事件B3为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅，1个肉松馅”， 则B1，B2，B3彼此互斥． P(B1)＝＝＝， P(B2)＝＝＝， P(B3)＝＝＝， P(A|B1)＝，P(A|B2)＝， P(A|B3)＝， 所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝， 所以取出的这个“青团”是蛋黄馅的概率为. 11．(多选)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为(　　) A．P(A|B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B|A) C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(A|B)＝ 答案　BCD 解析　由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确； D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)， 所以P(A|B)＝ ＝， 故D正确． 12．长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬捕，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是.如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光；若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设事件A1＝“冬季去吉林旅游”，事件A2＝“夏季去吉林旅游”，事件B＝“去了一眼望三国”， 则P(A1)＝，P(A2)＝， 在冬季去了“一眼望三国”的概率P(B|A1)＝＝， 在夏季去了“一眼望三国”的概率P(B|A2)＝＝， 所以去了“一眼望三国”的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 13．若从数字1,2,3,4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设事件Ai表示“取出x＝i”，i＝1,2,3,4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B表示“取到y＝2”，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝， 所以P(B)＝(Ai)P(B|Ai) ＝×＝. 14．8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为；用未校准的枪射击时，中靶的概率为.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________． 答案　 解析　设B1表示“使用的枪校准过”，B2表示“使用的枪未校准”，A表示“射击时中靶”， 则P(B1)＝，P(B2)＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝. 由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝ ＝＝. 所以所用的枪是校准过的概率为. 15．盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则B＝AB∪B，由全概率公式知P(B)＝P(A)(B|A)＋P()P(B|)， 由题意P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝， 所以P(B)＝＋ ＝. 16．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数以所占比例为2∶3∶5混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解　设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. (1)由全概率公式得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝＝. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小． 学科网（北京）股份有限公司 $$