2.6.1 函数的单调性-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册(北师) 6.1　函数的单调性 (教师独具内容) 课程标准：1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 教学重点：利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间． 教学难点：根据函数的单调性求参数的取值范围． 核心素养：1.通过学习函数的图象与其导函数图象之间的关系，培养直观想象素养.2.通过学习利用导数讨论函数的单调性，提升数学运算素养． 知识点　　导数的符号与函数的单调性之间的关系 (1)若在某个区间上，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增； (2)若在某个区间上，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减． 若在某个区间上，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间上，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减． 1．函数y＝f(x)变化快慢与其导数的关系 2．函数的单调性与导数 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，应先确定函数的定义域，解决问题时在定义域上通过导数的符号来得出函数的单调区间． (2)一般利用使导数等于0的点来划分函数的单调区间． (3)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间上仍为增函数． 在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x3) 3．求函数单调区间的方法 求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，这些不等式的解就是所求的单调区间，其步骤如下： (1)求函数f(x)的定义域； (2)求出f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可得函数的单调递增区间(或单调递减区间)． 4．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤 (1)求导数y＝f′(x)； (2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题； (3)由不等式恒成立求参数范围； (4)验证等号是否成立． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)在区间(a，b)上，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立．(　　) (3)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (4)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的． (2)若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为________． (3)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________． (4)函数f(x)＝4x2＋的单调递增区间是________． (5)若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案　(1)上升　(2)b2≤3ac　(3)，(1，＋∞)　(4)　(5)[1，＋∞) 题型一　函数与其导函数图象之间的关系 例1　f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) [解析]　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．故选C. [答案]　C 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于所求函数，要注意其图象在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减；而对于其导函数，则应注意其函数值在哪个区间上大于零，在哪个区间上小于零，并分析这些区间与所求函数的单调区间是否一致． [跟踪训练1]　设函数f(x)在定义域上可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) 答案　D 解析　应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象． 题型二　利用导数判断函数的单调性 例2　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝x＋(b≠0)． [解]　(1)因为f(x)＝x3－2x2＋x， 所以f′(x)＝3x2－4x＋1，x∈R， 令3x2－4x＋1>0，得x>1或x<， 令3x2－4x＋1<0，得<x<1. 所以函数f(x)＝x3－2x2＋x的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝＝. 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0，解得x>3， 所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f′(x)<0，解得x<3， 又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)． (3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝′＝1－， ①若b＞0时，令f′(x)＞0，则x2＞b， 所以x＞ 或x＜－ . 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)． 令f′(x)＜0，则x2＜b，所以－＜x＜ ，且x≠0. 所以函数f(x)的单调递减区间为(－，0)和(0，)． ②若b＜0时，f′(x)＞0恒成立， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间． (2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式． (3)要特别注意函数的定义域． [跟踪训练2]　求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x＋sinx，x∈(0，π)； (3)y＝x2＋aln x(a≠0)． 解　(1)因为y＝(1－x)ex，x∈R， 所以y′＝－xex，所以y′>0时，x<0，y′<0时，x>0，所以函数y＝(1－x)ex的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)因为y＝x＋sinx，所以y′＝＋cosx， 令y′>0，得cosx>－， 又因为x∈(0，π)，所以0<x<. 令y′<0，得cosx<－， 又因为x∈(0，π)，所以<x<π. 所以函数y＝x＋sinx的单调递增区间为，单调递减区间为. (3)由于y＝x2＋aln x(a≠0)， 所以y′＝x＋. ①当a>0时，函数的定义域是(0，＋∞)， 于是有y′＝x＋>0， 所以函数只有单调递增区间(0，＋∞)． ②当a<0时，函数的定义域是(0，＋∞)， 由y′＝x＋>0，得x＞； 由y′＝x＋＜0，得0＜x＜. 所以当a<0时，函数的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)． 综上所述，当a>0时，函数y＝x2＋aln x(a≠0)只有单调递增区间(0，＋∞)； 当a<0时，y＝x2＋aln x(a≠0)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)． 题型三　应用函数的单调性求参数的取值范围 例3　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围． [解]　h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)， 所以h′(x)＝－ax－2. 因为h(x)在[1，4]上单调递减， 所以x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立，设G(x)＝－， 所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1. 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此时x＝4)， 所以a≥－. 当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝. 因为x∈[1，4]， 所以h′(x)＝≤0， 即h(x)在[1，4]上为减函数． 故实数a的取值范围是. 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数取值范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，注意验证等号是否成立． [跟踪训练3]　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． 解　f′(x)＝2x－＝. 要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立． ∵x2>0，∴2x3－a≥0， ∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立， ∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2，＋∞)时，y＝2x3单调递增， ∴(2x3)min＝16， ∴a≤16. 当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))，有且只有f′(2)＝0， ∴a的取值范围是a≤16. 1．f(x)＝5x2－2x的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝10x－2，令f′(x)>0可得x>，∴f(x)的单调递增区间为. 2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 答案　A 解析　由题意可知f′(x)≤0恒成立，即3ax2－1≤0恒成立，显然B，C，D都不能使3ax2－1≤0恒成立．故选A. 3．(多选)将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) 答案　ABD 解析　对于A，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不正确；对于B，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)存在增区间，但图中函数y＝f(x)为减函数，不正确；对于C，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)在R上为增函数，正确；对于D，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)有两个单调区间，但图中函数y＝f(x)有三个单调区间，不正确．故选ABD. 4．函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为________． 答案　 解析　令f′(x)＝1－2cosx>0，得cosx<，又x∈(0，π)，解得<x<π，所以函数f(x)的单调递增区间为. 5．讨论函数f(x)＝(－1<x<1，b≠0)的单调性． 解　当－1<x<1时， f′(x)＝b· ＝－. 若b>0，则f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 若b<0，则f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 一、选择题 1．函数f(x)＝(x＋2)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，3) B．(0，3) C．(－3，0) D．(－3，＋∞) 答案　D 解析　由已知f(x)＝(x＋2)ex，所以f′(x)＝(x＋3)ex，当x＜－3时f′(x)＜0，当x＞－3时f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－3，＋∞)． 2．已知函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．f(e)＜f(3)＜f(2) B．f(3)＜f(e)＜f(2) C．f(e)＜f(2)＜f(3) D．f(2)＜f(e)＜f(3) 答案　D 解析　f′(x)＝＋，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又2<e<3，所以f(2)＜f(e)＜f(3)．故选D. 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 答案　C 解析　依题意可知，f′(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C. 4.已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的大致图象是(　　) 答案　C 解析　由题图可得，当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，∴x<－1时，函数y＝f(x)单调递增；当－1<x<0时，xf′(x)>0，∴f′(x)<0，∴－1<x<0时，函数y＝f(x)单调递减；当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，∴0<x<1时，函数y＝f(x)单调递减；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，∴x>1时，y＝f(x)单调递增．故C项符合． 5．(多选)设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有(　　) A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(a)g(x)>f(x)g(a) C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a) 答案　BC 解析　令F(x)＝，则F′(x)＝<0，所以函数F(x)在R上单调递减．又a<x<b，所以>>>0.又f(x)>0，g(x)>0，所以f(a)g(x)>f(x)g(a)，f(x)g(b)>f(b)g(x)．故选BC. 二、填空题 6．设函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案　(－∞，－2)，(－1，＋∞)　(－2，－1) 解析　f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)>0，解得x>－1或x<－2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)．令f′(x)<0，解得－2<x<－1，所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1)． 7．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域上的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． 答案　1≤k< 解析　显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为.由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.∵函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，∴解得1≤k<. 8．已知函数f(x)＝x－sinx，则不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0的解集为________． 答案　(－1，4) 解析　由题意可知，函数f(x)的定义域是R.因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)是定义域上的单调递增函数．因为f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0可转化为f(1－x2)>－f(3x＋3)＝f(－(3x＋3))，所以1－x2>－(3x＋3)，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，即不等式的解集为(－1，4)． 三、解答题 9．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围． 解　f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a， 当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a. 函数有单调递增区间，即在上，导函数大于零有解，令＋2a>0，得a>－. 所以当a∈时，f(x)在上存在单调递增区间． 10．已知a是实数，函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a. (1)若f′(－1)＝0，求实数a的值； (2)若函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上都是单调递增的，求实数a的取值范围． 解　(1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋4a， 得f′(x)＝3x2－2ax－4. 由f′(－1)＝0，得a＝. (2)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线． 因为f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上都是单调递增的， 所以方程3x2－2ax－4＝0的两解必在[－2，2]上， 故f′(－2)≥0，且f′(2)≥0， 即所以－2≤a≤2， 所以实数a的取值范围为[－2，2]． 1．当x>0时，证明：不等式ln (x＋1)>x－x2. 证明　设f(x)＝ln (x＋1)，g(x)＝x－x2， F(x)＝f(x)－g(x)， 则F(x)＝ln (x＋1)－x＋x2. 函数F(x)的定义域为(－1，＋∞)， 则F′(x)＝－1＋x＝. 当x>0时，F′(x)>0恒成立， 所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故当x>0时，F(x)>F(0)＝0，从而f(x)>g(x)， 即ln (x＋1)>x－x2. 2．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝·ln (1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围． 解　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln (x＋1)(x>－1)， 则f′(x)＝－×ln (x＋1)＋×， 据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，即(ln 2)x＋y－ln 2＝0. (2)由函数的解析式可得f′(x)＝ln (x＋1)＋(x>－1)， 满足题意时，f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立． 令ln (x＋1)＋≥0，则 －(x＋1)ln (x＋1)＋(x＋ax2)≥0， 令g(x)＝ax2＋x－(x＋1)ln (x＋1)，原问题等价于g(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 则g′(x)＝2ax－ln (x＋1)， 当a≤0时，由于2ax≤0，ln (x＋1)>0，故g′(x)<0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 此时g(x)<g(0)＝0，不符合题意； 令h(x)＝g′(x)＝2ax－ln (x＋1)， 则h′(x)＝2a－， 当a≥，即2a≥1时，由于<1， 所以h′(x)>0，h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 即g′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以g′(x)>g′(0)＝0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝0，满足题意； 当0<a<时，由h′(x)＝2a－＝0可得x＝－1， 当x∈时，h′(x)<0，h(x)在区间上单调递减，即g′(x)单调递减， 注意到g′(0)＝0，故当x∈时，g′(x)<g′(0)＝0，g(x)单调递减， 由于g(0)＝0，故当x∈时，g(x)<g(0)＝0，不符合题意． 综上可知，a的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$