2.5 简单复合函数的求导法则-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册(北师) (教师独具内容) 课程标准：能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数． 教学重点：复合函数的求导． 教学难点：分清函数的复合关系，选好中间变量． 核心素养：通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养． 知识点一　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． 知识点二　复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)． 对于复合函数的求导法则需注意的几点 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x. (3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y＝sin的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cosu＝2cos. (4)复合函数的求导法则运用熟练后，中间步骤可省略不写． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝ln x＋ex＋x3＋是复合函数．(　　) (2)函数y＝sin23x可以看作函数y＝u2，u＝sint和t＝3x的复合函数．(　　) (3)函数y＝ln 的导数为y′＝x.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)下列说法正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x D．若y＝xsin2x，则y′＝cos2x (2)函数y＝sin2xcos3x的导数是________． (3)若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________． 答案　(1)B　(2)2cos2xcos3x－3sin2xsin3x (3)1 题型一　简单复合函数的求导 例1　求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝. [解]　(1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12. (2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝. (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有＝y′u·u′x＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝()′·(3x＋5)′＝＝. 1．复合函数求导的步骤 2．求复合函数的导数需处理好的几个环节 (1)求导之前应先将函数化简，再求导，以减少运算量； (2)中间变量的选择应是基本函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次； (4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． [跟踪训练1]　求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝esinx； (3)y＝5log2(2x＋1)． 解　(1)设y＝u，u＝1－2x2， 则y′＝(u)′·(1－2x2)′＝(－4x)＝(1－2x2)－(－4x)＝. (2)设y＝eu，u＝sinx，则y′x＝y′u·u′x＝eu·cosx＝esinxcosx. (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝y′u·u′x＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝. 题型二　较为复杂函数的求导 例2　求下列函数的导数： (1)y＝xe5x＋2； (2)y＝xcossin. [解]　(1)y′＝x′e5x＋2＋x(e5x＋2)′＝e5x＋2＋xe5x＋2·5＝(5x＋1)e5x＋2. (2)∵y＝xcossin＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x，∴y′＝′＝－sin4x－cos4x·4＝－sin4x－2xcos4x. 对于复杂函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量，同时要注意复合函数的复合关系，选好中间变量． [跟踪训练2]　求下列函数的导数： (1)f(x)＝sin2x＋e2x； (2)f(x)＝xln (2x＋1)； (3)f(x)＝(a＞0)． 解　(1)因为f(x)＝sin2x＋e2x， 所以f′(x)＝2cos2x＋2e2x. (2)因为f(x)＝xln (2x＋1)， 所以f′(x)＝ln (2x＋1)＋x·＝ln (2x＋1)＋. (3)因为f(x)＝(a＞0)， 所以f′(x) ＝ ＝. 题型三　导数的综合应用 例3　(1)某质点的运动方程是s＝s(t)＝(3t－1)3，其中s(单位：m)是质点的位移，t(单位：s)为时间，则该质点在t＝2 s时的速度为________m/s. [解析]　∵s′(t)＝3(3t－1)2·(3t－1)′＝9(3t－1)2，∴s′(2)＝9×(3×2－1)2＝225，故该质点在t＝2 s时的速度为225 m/s. [答案]　225 (2)已知曲线y＝cos在点处的切线斜率为k，若|k|<1，则ω＝________． [解析]　∵曲线y＝cos过点，∴cos＝0，∴ω·＋＝nπ＋(n∈Z)，∴ω＝2n＋(n∈Z)，又y′＝－ωsin，∴k＝y′|x＝＝－sin＝－sin＝±.∵|k|<1，∴<1，∴ω＝. [答案]　 高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合，如实际应用、切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解． [跟踪训练3]　(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f′(x)＝，则f′(0)＝ ＝3，故该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×＝.故选A. (2)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________． 答案　 解析　设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 1．函数y＝cos(1＋x2)的导数是(　　) A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2) C．－2xsin(1＋x2) D．2cos(1＋x2) 答案　C 解析　y′＝[cos(1＋x2)]′＝－sin(1＋x2)(1＋x2)′＝－2xsin(1＋x2)． 2．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　) A．0 B．60 C．－1 D．－60 答案　B 解析　因为f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2)，所以f′(1)＝10×(1－2)9×(－6)＝60. 3．下列求导数的运算错误的是(　　) A．(2)′＝ B．(lg x)′＝ C.′＝－2sin D．(22x－1)′＝22xln 2 答案　C 解析　对于A，(2)′＝(2x)′＝2×x－＝，故A正确；对于B，(lg x)′＝，故B正确；对于C，′＝－sin·(－2)＝2sin，故C错误；对于D，(22x－1)′＝22x－1ln 2×2＝22xln 2，故D正确．故选C. 4．曲线y＝x(ln x3＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 答案　y＝4x－3 解析　y′＝ln x3＋1＋x··3x2＝3ln x＋4，则曲线在点(1，1)处的切线斜率为4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 5．求下列函数的导数： (1)y＝sin；(2)y＝； (3)y＝ln (4x＋5)3；(4)y＝e－x＋2(2x＋1)5. 解　(1)因为y＝sin， 所以y′＝cos·′ ＝－2cos. (2)因为y＝＝(1－2x2)－， 所以y′＝－(1－2x2)－－1·(1－2x2)′＝2x(1－2x2)－＝ . (3)因为y＝ln (4x＋5)3， 所以y′＝·[(4x＋5)3]′＝·3(4x＋5)2·4＝. (4)因为y＝e－x＋2(2x＋1)5，所以y′＝(e－x＋2)′(2x＋1)5＋e－x＋2[(2x＋1)5]′＝e－x＋2(－x＋2)′(2x＋1)5＋e－x＋2·5(2x＋1)4(2x＋1)′＝－e－x＋2(2x＋1)5＋10(2x＋1)4e－x＋2＝e－x＋2(2x＋1)4(－2x－1＋10)＝e－x＋2(2x＋1)4(9－2x)． 一、选择题 1．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　) A．4(3x－2) B．6x C．6x(3x－4) D．6(3x－4) 答案　D 解析　y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)． 2．将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝(e＝2.71828…)，则第6 h时，原油温度的瞬时变化率为(　　) A. B. C. D．以上答案均不对 答案　B 解析　由题意，得f′(x)＝·，当x＝6时，f′(6)＝.故选B. 3．曲线y＝f(x)＝e－x＋x2在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 答案　A 解析　∵f(x)＝e－x＋x2，∴f′(x)＝－e－x＋2x，f(0)＝1，∴f′(0)＝－1，∴曲线y＝f(x)在(0，1)处的切线方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.故选A. 4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C. D．－ 答案　A 解析　对f(x)＝ex＋a·e－x求导，得f′(x)＝ex－ae－x.又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，得x0＝ln 2.故选A. 5．(多选)若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．有最大值 D．有最小值 答案　BCD 解析　∵函数f(x)＝sin2x＋sinx，∴f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2－，当cosx＝－时，f′(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f′(x)取得最大值2，且f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)是既有最大值，又有最小值的偶函数． 二、填空题 6．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________． 答案　 解析　y＝ln ＝ln ex－ln (1＋ex)＝x－ln (1＋ex)，则y′＝1－＝.当x＝0时，y′＝＝. 7．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，则f(x)的解析式为____________． 答案　f(x)＝ex－x＋x2 解析　由已知，得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x，所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.从而f(x)＝ex－x＋x2. 8．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________． 答案　 解析　依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，则切线斜率为－2e－2×0＝－2.所以曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x，如图所示．因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝. 三、解答题 9．求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝e－2x＋1； (3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝54x＋3； (5)y＝. 解　(1)函数y＝＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝u－4和u＝1＋3x的复合函数，由复合函数的求导法则可得y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(1＋3x)′＝(－4u－5)×3＝－12(1＋3x)－5＝－. (2)函数y＝e－2x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－2x＋1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝eu·(－2)＝－2eu＝－2e－2x＋1. (3)函数y＝log2(4x＋7)可以看作函数y＝log2u和u＝4x＋7的复合函数，根据复合函数求导法则有＝(log2u)′·(4x＋7)′＝·4＝. (4)函数y＝54x＋3可以看作函数y＝5u和u＝4x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得y′x＝y′u·u′x＝54x＋3·ln 5·4. (5)y′＝ ＝ ＝. 10．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0，0)相切．求a，b的值． 解　由曲线y＝f(x)过点(0，0)，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b， 得f′(x)＝＋＋a， 则f′(0)＝1＋＋a＝＋a， 则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为＋a. 由题意，得＋a＝，故a＝0. 所以a，b的值分别为0，－1. 1．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18 h时的导数，并解释它的实际意义． 解　s(t)＝3sin是由函数f(x)＝3sinx和函数x＝φ(t)＝t＋复合而成的，其中x是中间变量， 则f′(x)＝3cosx，φ′(t)＝. 由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·＝cos， 则s′(18)＝cos＝(m/h)． 它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 2．曲线y＝e2xcos3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解　由曲线y＝e2xcos3x，得y′＝(e2x)′cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2xsin3x， ∴y′|x＝0＝2. ∴曲线在(0，1)处的切线方程为y－1＝2x， 即y＝2x＋1. 设直线l的方程为y＝2x＋b， 由题意得＝， ∴b＝6或b＝－4. ∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$