2.7.1 实际问题中导数的意义&2.7.2 实际问题中的最值问题-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　导数及其应用 §７　导数的应用 7.1　实际问题中导数的意义 7.2　实际问题中的最值问题 (教师独具内容) 课程标准：通过实例体会导数在解决实际问题中的作用，体会导数的意义，能够利用导数解决一些实际问题． 教学重点：1.能解释实际问题中导数的意义.2.用导数解决实际生活中的最优化问题． 教学难点：将实际问题转化为数学问题． 教学难点：通过学习导数的应用，提升数学建模素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　实际问题中导数的意义 导数是从实际生活和科学领域中抽象出来的数学概念，由于导数的本质是瞬时变化率，所以实际生活中的瞬时变化率问题都可以用导数来解决． (1)功与功率：在物理学中，通常称力在__________内做的功为功率，它的单位是瓦特，它是功W关于时间t的导数． 瞬时速度：在物理学中，物体在__________的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度关于时间的导数是加速度． 单位时间 某一时刻 核心概念掌握 5 (2)降雨强度：在气象学中，通常把在__________(如1 h，1 d等)内的降雨量称作降雨强度．它是降雨量关于时间的导数． (3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的_______称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的_________，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加______个单位的成本． (4)线密度：__________的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数． 单位时间 导函数 单位长度 增加速度 f′(x0) 核心概念掌握 6 知识点二　最优化问题 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为_____________._______是解决最优化问题的一个重要工具． 最优化问题 导数 核心概念掌握 7 1．解决最优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值； (4)依据实际问题的意义给出答案． 核心概念掌握 8 2．利用导数解决实际问题时的注意事项 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间上只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大(小)值． 核心概念掌握 9 (3)在解决实际问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围． (4)有许多实际问题的最值中没有考虑端点的函数值，是因为根据高考的要求，有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值． 核心概念掌握 10 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可．(　　) (2)实际问题中f′(x)＝0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点．(　　) √ × 答案 核心概念掌握 11 e－1 9万件 32 m，16 m 答案 核心概念掌握 12 核心素养形成 题型一　用导数解释问题的实际意义 解　根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2， 所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x. 当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时，边际利润分别为L′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1. 其经济意义：当日产量为200 kg时，再增加1 kg，总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，再增加1 kg，总利润不变；当日产量为300 kg时，再增加1 kg，总利润反而减少1元． 某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时的边际利润，并说明其经济意义． 解 核心素养形成 14 f′(x0)是指函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，而变化率问题在科学技术、生物、医学、物理、化学反应、经济管理中随处可见，所以我们常从研究实际问题的变化率入手，理解导数在实际问题中的意义，从而加深对导数概念的理解． 核心素养形成 15 [跟踪训练1]　当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用时，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐减小，到一定时间，细菌数量开始减少．如果使用杀菌剂t(t≥0)小时后的细菌数量为b(t)＝105＋104t－103t2个． (1)求t从1小时变到5小时时，细菌数量b(t)关于t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求细菌数量在t＝5与t＝10时变化的瞬时速度； (3)细菌数量在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？ 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 解 核心素养形成 18 题型二　面积、容积的最值问题 请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大， 试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试 问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长 的比值． 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 (1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． (2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 核心素养形成 21 解 [跟踪训练2]　用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积． 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 题型三　利润最大(成本最低)问题 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 (1)经济生活中最优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(关键词：以产量或单价为自变量) (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本； ②利润＝每件产品的利润×销售件数． 核心素养形成 27 核心素养形成 28 解 核心素养形成 29 解 核心素养形成 30 随堂水平达标 1．某公司的盈利y(单位：元)和时间x(单位：天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天相比(　　) A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C．公司在亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 解析　f′(x)>0恒成立，说明盈利是增加的，f′(20)<f′(10)说明增加的幅度变 小了． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x＝(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 解 析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站______km处． 答案 解析 5 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 5．一种质量为1 kg的物质，在化学分解中，经过时间t(单位：min)后，所剩的质量(单位：kg)与时间t的关系可以表示为m＝e－2t，求解m′(3)并解释其实际意义． 解　m′(t)＝e－2t·(－2)＝－2e－2t， ∴m′(3)＝－2e－6， 它表示在t＝3 min时，物质所剩的质量以2e－6 kg/min的速度分解． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 2．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为(　　) A．2∶1　　　　B．1∶2 C．1∶4 　　D．4∶1 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．3000元 B．6000元 C．28000元 D．23000元 解析　设毛利润为L(P)，由题意知，L(P)＝PQ－20Q＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，毛利润最大，且最大毛利润为23000元． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 4．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 解析　设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.由题意，得V＝x(48－2x)2(0<x<24)，V′＝12(x－24)(x－8)，令V′＝0，得x＝8或x＝24(舍去)．当x∈(0，8)时，V′>0；当x∈(8，24)时，V′<0.∴当x＝8时，V取得最大值． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 5．(多选)某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则(　　) A．当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低 B．当箱底是边长为8 m的正方形时，箱子的总造价最高 C．箱子的最低总造价为816元 D．箱子的最低总造价为960元 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 二、填空题 6．一杯80 ℃的红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)之间的关系由函数T＝f(t)给出，则 (1)f′(t)的符号为________(填“正”或“负”)； (2)f′(3)＝－4的实际意义是_________________________________________． 解析　(1)因为红茶的温度在下降，所以f′(t)<0. (2)根据实际问题中导数的意义，可知f′(3)＝－4的实际意义是在3 min时红茶的温度以4 ℃/min的速度下降． 答案 解析 负 在3 min时红茶的温度以4 ℃/min的速度下降 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 7．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为_______米． 答案 解析 800 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 答案 解析 25 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 三、解答题 9．某海轮每小时使用的燃料费y(单位：元)与它的航行速度(单位：海里/时)的立方成正比，已知该海轮的最大航行速度为30海里/时，当航行速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论航行速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航行速度应为多少？ 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 50 1．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x>0)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差． (1)求利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？ (3)你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 51 解　(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4000) ＝－20x2＋2500x－4000(x∈[1，100]，x∈N)． MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x(x∈[1，100]，x∈N)． (2)P′(x)＝－40x＋2500. 令P′(x)＝0得x＝62.5. 当0<x<62.5时，P′(x)>0；当x>62.5时，P′(x)<0， ∴x∈(0，62.5)时，P(x)为增函数， x∈(62.5，＋∞)时，P(x)为减函数． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 52 又x∈N，∴x＝62或x＝63时， P(x)max＝74120(元)． 又MP(x)＝2480－40x是减函数， ∴当x＝1时，MP(x)max＝2440(元)， ∴利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相等的最大值． (3)边际利润函数MP(x)当x＝1时取得最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统装置利润最大．MP(x)＝2480－40x是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 54 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 55 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 56 　　　　　　　　　　　　　 R 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)某人拉动一个物体所做的功W(单位：J)关于时间t(单位：s)的函数关系式为W(t)＝et－t(e为自然常数)，则此人在t＝1 s时的功率是________J/s. (2)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________． (3)某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为_______________． 解　(1)当t从1小时变到5小时时，细菌数量从b(1)变到b(5)，此时细菌数量b(t)关于t的平均变化率为 eq \f(b（5）－b（1）,5－1)＝eq \f(（105＋5×104－25×103）－（105＋104－103）,5－1) ＝4000(个/小时)． 它表示从1小时到5小时这段时间内，细菌数量平均每小时增加4000个． (2)b′(t)＝104－2×103t，则细菌数量在t＝5时变化的瞬时速度是b′(5)＝104－2×103×5＝0；在t＝10时变化的瞬时速度是b′(10)＝104－2×103×10＝－104. (3)令b(t)＝105＋104t－103t2＝0(t≥0)， 解得t＝5＋5eq \r(5). 令b′(t)＝104－2×103t>0，解得t<5； 令b′(t)＝104－2×103t<0，解得t>5. 综上可得，当0≤t<5时，细菌数量增加； 当5<t<5＋5eq \r(5)时，细菌数量减小． 解　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝eq \r(2)x，h＝eq \f(60－2x,\r(2))＝eq \r(2)(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2eq \r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq \r(2)x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20. 当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时eq \f(h,a)＝eq \f(1,2)，即包装盒的高与底面边长的比值为eq \f(1,2). 解　设容器底面一边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，高为eq \f(14.8－4x－4(x＋0.5),4)＝(3.2－2x) m. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.2－2x>0，,x>0，))解得0<x<1.6. 设容器的容积为y m3，则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x， 所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6. 令y′＝0，则15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－eq \f(4,15)(舍去)． 当x∈(0，1)时，y′＞0，当x∈(1，1.6)时，y′＜0，则x＝1是函数y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x在(0，1.6)上的唯一的极大值点，也就是最大值点． 因此，当x＝1时，y取得最大值，ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)． 故高为1.2 m时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m3. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解　(1)因为当x＝5时，y＝11， 所以eq \f(a,2)＋10＝11， 所以a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10（x－6）2))＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)． 所以f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)． 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.又3<x<6， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x)  极大值  由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且f(x)max＝2＋10×(－2)2＝42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． [跟踪训练3]　某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2 ＋5t(百万元)(0≤t≤5)． (1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－eq \f(1,3)x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金) 解　(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0<t≤3)． 故当t＝2(百万元)时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)(0≤x≤3)，又设由此而增加的收益是g(x)(百万元)，则有g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq \f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)． ∴g′(x)＝－x2＋4， 令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2. 当0≤x＜2时，g′(x)>0，当2<x≤3时，g′(x)<0， 故g(x)在[0，2)上是增函数，在(2，3]上是减函数． ∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大． 解析　设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝eq \f(400,x)，所以总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝eq \f(1600,x)＋4x(x>0)．令f′(x)＝4－eq \f(1600,x2)＝0，解得x＝20，故x＝20是函数f(x)的最小值点，即当x＝20时，一年的总运费与总存储费之和最小． 3．(多选)要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，若圆锥形漏斗的高为h cm，则(　　) A．圆锥形漏斗的体积V＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(400,3)πh－\f(π,3)h3)) cm3 B．圆锥形漏斗的最大体积为eq \f(16000\r(3)π,27) cm3 C．当圆锥形漏斗的体积最大时，高h＝eq \f(10\r(3),3) cm D．当圆锥形漏斗的体积最大时，高h＝eq \f(20\r(3),3) cm 解析　若高为h cm，则底面半径r＝eq \r(400－h2) cm，0<h<20，V＝eq \f(1,3)π·r2·h＝eq \f(1,3)π·(400－h2)·h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(400,3)πh－\f(π,3)h3)) cm3.由V′＝eq \f(400,3)π－πh2＝0，得h2＝eq \f(400,3)，h＝eq \f(20\r(3),3)或h＝－eq \f(20\r(3),3)(舍去)，因为当0<h<eq \f(20\r(3),3)时，V′>0，当eq \f(20\r(3),3)<h<20时，V′<0，所以当h＝eq \f(20\r(3),3) cm时，V最大，最大值为eq \f(16000\r(3)π,27) cm3.故选ABD. 解析　依题意可设每月土地占用费y1＝eq \f(k1,x)，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．于是由2＝eq \f(k1,10)得k1＝20；由8＝10k2得k2＝eq \f(4,5).因此，两项费用之和为y＝eq \f(20,x)＋eq \f(4x,5)(x>0)，y′＝－eq \f(20,x2)＋eq \f(4,5)，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0<x<5时，y′<0；当x>5时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小． 一、选择题 1．在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本．设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)＝8＋eq \f(x2,8)，则生产8个单位产品时，边际成本是(　　) A．2 B．8 C．10 D．16 解析　对函数求导，得C′(x)＝eq \f(x,4)，根据题意得到边际成本为C′(8)＝eq \f(8,4)＝2.故选A. 解析　设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则V＝πr2h，即h＝eq \f(V,πr2).由题意，知当表面积S最小时所用材料最省．S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·eq \f(V,πr2)＝2πr2＋eq \f(2V,r).令S′＝4πr－eq \f(2V,r2)＝0，得r＝eq \r(3,\f(V,2π))，当r＝eq \r(3,\f(V,2π))时，h＝eq \f(V,π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( \r(3,\f(V,2π))))\s\up12(2))＝eq \r(3,\f(4V,π))，则h∶r＝2∶1时，所用材料最省． 解析　设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元．根据题意，得l＝15×eq \f(48,3)＋12×2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(48,x)))＝240＋72eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))(x>0)，l′＝72eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2))).令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当0<x<4时，l′<0；当x>4时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选AC. 解析　设广场的长为x米，则宽为eq \f(40000,x)米，于是其周长为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x>0)，所以y′＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0<x<200时，y′<0；当x>200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米． 8．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1200＋eq \f(2,75)x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大． 解析　设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝eq \f(k,x)，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250000，所以p2＝eq \f(250000,x)，p＝eq \f(500,\r(x))，x>0.设总利润为y万元，则y＝eq \f(500,\r(x))·x－1200－eq \f(2,75)x3＝500eq \r(x)－eq \f(2,75)x3－1200.则y′＝eq \f(250,\r(x))－eq \f(2,25)x2.令y′＝0，得x＝25.故当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.所以当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值，即产量定为25件时，总利润最大． 解　设从甲地到乙地海轮的航行速度为v海里/时，总费用为w元． 由题意，可设y＝av3(0<v≤30)． ∵25＝a×103，∴a＝eq \f(1,40). 则w＝av3×eq \f(800,v)＋eq \f(800,v)×400＝20v2＋eq \f(320000,v)(0<v≤30)， w′＝40v－eq \f(320000,v2)，令w′＝0，得v＝20. 当20<v≤30时，w′>0，w单调递增， 当0<v<20时，w′<0，w单调递减． ∴当v＝20时，w取得极小值，也是最小值． ∴当海轮的航行速度为20海里/时时，从甲地航行到乙地的总费用最低． 10．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝\f(购地总费用,建筑总面积))) 解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝560＋48x＋eq \f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq \f(10800,x)(x≥10，x∈N)，f′(x)＝48－eq \f(10800,x2)，令f′(x)＝0， 得x＝15或x＝－15(舍去)． 当x>15时，f′(x)>0，当10≤x＜15时， f′(x)<0. 因此，当x＝15时，f(x)取得最小值f(15)＝2000. 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 2．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量V(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为 V(t)＝1,4))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－t2＋14t－40）et＋50，0<t≤10，,4（t－10）（3t－41）＋50，10<t≤12.)) (1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i－1<t<i表示第i月份(i＝1，2，…，12)，同一年内哪几个月份是枯水期？ (2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e＝2.7计算)． 解　(1)①当0<t≤10时，V(t)＝(－t2＋14t－40)eeq \s\up7(\f(1,4))t＋50<50， 化简得t2－14t＋40>0，解得t<4或t>10，又0<t≤10，故0<t<4. ②当10<t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50<50， 化简得(t－10)(3t－41)<0， 解得10<t<eq \f(41,3)，又10<t≤12，故10<t≤12. 综上得0<t<4或10<t≤12， 故枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月，共6个月． (2)由(1)知，V(t)的最大值只能在(4，10)上取到． 由V′(t)＝eeq \s\up7(\f(1,4))t eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t2＋\f(3,2)t＋4))＝－eq \f(1,4)eeq \s\up7(\f(1,4))t (t＋2)(t－8)， 令V′(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去)． 当t变化时，V′(t)，V(t)的变化情况如下表： t (4，8) 8 (8，10) V′(t) ＋ 0 － V(t)  极大值  由上表知，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米)． 故一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米． $$