2.1.1 平均变化率-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　层数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率 (教师独具内容) 课程标准：理解函数平均变化率的概念，知道函数平均变化率的几何意义，会求函数在指定区间上的平均变化率． 教学重点：函数平均变化率的概念、函数平均变化率的求法． 教学难点：利用函数的平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 核心素养：通过学习平均变化率，提升数学运算和数学抽象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点　 平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)， 它在区间[x1，x2]的平均变化率＝______________． 通常我们把自变量的变化________称作自变量x的改变量，记作_____，函数值的变化____________称作函数值y的改变量，记作_____．这样，函数的平均变化率 就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝_______________． 用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． x2－x1 Δx f(x2)－f(x1) Δy 核心概念掌握 5 1．对Δx，Δy的理解 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)实数x1，x2在定义域上不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝y2－y1是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零． 2．对函数平均变化率的理解 (1)函数的平均变化率可正可负，也可为零． (2)函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． (3)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然． 核心概念掌握 6 √ × 答案 √ √ 核心概念掌握 7 2 20 答案 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　求函数的平均变化率并比较其大小 解 核心素养形成 10 求函数y＝f(x)平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； 核心素养形成 11 解 [跟踪训练1]　已知函数f(x)＝x2，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． 核心素养形成 12 题型二　平均变化率的实际应用 　国家环保总局对长期超标排放污染物的企业下达了限期治理的决定，且在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业的排污量进行连续检测，检测结果如图所示(其中W表示排污量)．试问哪个企业的治污效果比较好？为什么？ 解 核心素养形成 13 W乙(t0－Δt)<W甲(t0－Δt)(Δt>0)这一结论是通过观察图象得出的，企业甲对应的曲线比企业乙对应的曲线更陡，故在相同时间段内企业甲排污量下降得更快，即企业甲的平均治污率更大． 核心素养形成 14 解 核心素养形成 15 随堂水平达标 1．函数y＝f(x)＝2x2＋3x－5的自变量x由4改变到5时，函数值的改变量Δy为 (　　) A．7 B．10 C．14 D．21 解析　Δy＝f(5)－f(4)＝(2×52＋3×5－5)－(2×42＋3×4－5)＝21. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 17 2．函数y＝x2在区间[2，3]上的平均变化率为(　　) A．2 B．3 C．5 D．4 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 18 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 19 4．为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；②在(t2，t3)这个时间段内，甲血管中药物浓度始终低于乙血管中药物浓度；③在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同． 其中所有正确结论的序号是_______． ①③④ 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 20 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 21 5．一水库的蓄水量与时间关系图象如图所示．试指出哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？ 解　由图象可以看出，6月至8月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好；9月至11月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 课后课时精练 一、选择题 1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度是(　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 24 2．函数f(x)＝x2＋2C(C∈R)在区间[－1，2]上的平均变化率为(　　) A．1 B．3 C．4 D．2 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 25 3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示．设函数y＝f(x)从－1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为(　　) A．v1＞v2 B．v1＝v2 C．v1＜v2 D．不能确定 解析　由题图可知，f(x)的图象在[1，2]上更“陡峭”，在[－1，1]上较“平缓”，所以v1＜v2.故选C. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 26 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 27 5．(多选)A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量WA(t)，WB(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小 D．A机关与B机关自节能以来用电总量一样大 解析 由题图，可知A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小，且A机关比B机关节能效果好．自节能以来，A机关用电总量比B机关用电总量大．故选BC. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 28 二、填空题 6．若函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝_____． 5 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 29 7．经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，那么该婴儿体重的平均变化率________较大．(填“第一年”或“第二年”) 第一年 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 30 8．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________． [x3，x4] 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 31 三、解答题 9．已知函数f(x)＝2x2＋3，g(x)＝2x2＋x，h(x)＝2x2－x，分别计算这三个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 32 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 33 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 34 1．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，而且f(x)在定义域上的任意区间上的平均变化率均比g(x)＝x2－x＋1在同一区间上的平均变化率大，求证：f(4)－f(2)>10. 证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 36 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 　　　　　　　　　　　　　 R eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1) eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1) 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) 对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 (1)Δx可正、可负、可为零．(　　) (2)Δy可正、可负、可为零．(　　) (3)函数y＝f(x)的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＝eq \f(f（x1＋Δx）－f（x1）,Δx).(　　) (4)函数y＝f(x)的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＝eq \f(f（x2－Δx）－f（x2）,－Δx).(　　) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数y＝eq \f(2,x)，当自变量x由2变为1.5时，相应函数值的改变量Δy＝_____． (2)函数f(x)＝2x＋1在区间[1，2]上的平均变化率为______． (3)一物体的运动方程为s＝5t2(s的单位：m，t的单位：s)，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是______m/s. eq \f(1,3) 已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，分别计算函数在区间[1，2]与[3，5]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解　在区间[1，2]上， 函数f(x)的平均变化率为 eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq \f(2＋\f(1,2)－（1＋1）,1)＝eq \f(1,2). 在区间[3，5]上，函数f(x)的平均变化率为 eq \f(f（5）－f（3）,5－3)＝eq \f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq \f(14,15). 因为eq \f(1,2)<eq \f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在区间[1，2]上的平均变化率小于在区间[3，5]上的平均变化率． (3)然后利用平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)计算即可． 解　在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq \f(22－12,1)＝3，在区间[3，4]上，函数f(x)的平均变化率为eq \f(f（4）－f（3）,4－3)＝eq \f(42－32,1)＝7.因为7>3，所以函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率小于在区间[3，4]上的平均变化率． 解　在t0处，W甲(t0)＝W乙(t0)， 但W乙(t0－Δt)<W甲(t0－Δt)(Δt>0)． 所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W甲（t0）－W甲（t0－Δt）,Δt))) >eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W乙（t0）－W乙（t0－Δt）,Δt)))， 所以企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙的治污效果好． [跟踪训练2]　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝eq \f(120,t＋5)＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间． (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解　(1)T(10)－T(0)＝eq \f(120,10＋5)＋15－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,0＋5)＋15))＝－16， 即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是 eq \f(T（10）－T（0）,10－0)＝eq \f(－16,10)＝－1.6， 它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 解析　当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝9.所以函数y＝x2在区间[2，3]上的平均变化率为eq \f(9－4,3－2)＝5.故选C. 3．在区间[m，n]上，函数①y＝x2；②y＝eq \f(1,x)；③y＝2x中平均变化率为定值的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　对于①，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(n2－m2,n－m)＝m＋n；对于②，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(1,n)－\f(1,m),n－m)＝－eq \f(1,mn)；对于③，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2n－2m,n－m)＝2.故只有③的平均变化率为定值．故选B. 解析　在t1时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；如题图，在(t2，t3)时间段内，甲血管中药物浓度始终高于乙血管中药物浓度，故②不正确；根据平均变化率公式可知，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率都是eq \f(f（t3）－f（t2）,t3－t2)，故③正确；在[t1，t2]时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率是eq \f(f（t2）－f（t1）,t2－t1)，在[t2，t3]时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率是eq \f(f（t3）－f（t2）,t3－t2)，显然不相等，故④正确． 解析　平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(（3＋2.12）－（3＋22）,0.1)＝4.1. 解析　eq \f(f（2）－f（－1）,2－（－1）)＝eq \f(（4＋2C）－（1＋2C）,3)＝1.故选A. 4．已知四个函数：①y＝x；②y＝2x；③y＝x3；④y＝eq \f(1,x)，其中在区间[2，4]上的平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 解析　对于函数①y＝x，其在区间[2，4]上的平均变化率为eq \f(4－2,4－2)＝1；对于函数②y＝2x，其在区间[2，4]上的平均变化率为eq \f(24－22,4－2)＝6；对于函数③y＝x3，其在区间[2，4]上的平均变化率为eq \f(43－23,4－2)＝28；对于函数④y＝eq \f(1,x)，其在区间[2，4]上的平均变化率为eq \f(\f(1,4)－\f(1,2),4－2)＝－eq \f(1,8).故选B. 解析　因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以eq \f(f（t）－f（－2）,t－（－2）)＝eq \f(（t2－t）－[（－2）2－（－2）],t＋2)＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)． 解析　由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是eq \f(11.25－3.75,12－0)＝0.625；第二年该婴儿体重的平均变化率是eq \f(14.25－11.25,24－12)＝0.25.因为0.625>0.25，所以第一年该婴儿体重的平均变化率较大． 解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，eq \f(f（x3）－f（x2）,x3－x2)，eq \f(f（x4）－f（x3）,x4－x3)，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 解　因为eq \f(f（3）－f（2）,3－2)＝eq \f(2×32＋3－（2×22＋3）,1)＝10， eq \f(g（3）－g（2）,3－2)＝eq \f(2×32＋3－（2×22＋2）,1)＝11， eq \f(h（3）－h（2）,3－2)＝eq \f(2×32－3－（2×22－2）,1)＝9， 11>10>9，因此在区间[2，3]上，g(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 10．人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 计算运动员在0≤t≤eq \f(65,49)这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： (1)运动员在这段时间里是静止的吗？ (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 解　运动员在0≤t≤eq \f(65,49)这段时间里的平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))－h（0）,\f(65,49)－0)＝eq \f(10－10,\f(65,49))＝0(m/s)． (1)eq \o(v,\s\up6(－))＝0只能说明veq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))＝v(0)，即t＝0 s和t＝eq \f(65,49) s时刻的速度大小相等，它们的方向相反，在这一时间段内，运动员不是静止的． (2)平均速度只能粗略地描述运动员在某一时间段内的运动状态，它并不能反映运动员在某一时刻的运动状态． 证明　函数g(x)在区间[2，4]上的平均变化率为eq \f(g（4）－g（2）,4－2)＝eq \f(42－4＋1－（22－2＋1）,2)＝5. 根据题意，可知函数f(x)在区间[2，4]上的平均变化率eq \f(f（4）－f（2）,2)>5， 所以f(4)－f(2)>10. 2．气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq \f(4,3)πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝eq \r(3,\f(3V,4π)).请从数学的角度，解释下列现象：在吹气球的过程中，随着气球内空气的增多，气球的半径增加得越来越慢，吹气球的难度越来越大． 解　当V从0变为1时，ΔV＝1－0＝1(L)，Δr＝r(1)－r(0)＝eq \r(3,\f(3,4π))－0≈0.62(dm)，则气球的平均膨胀率是eq \f(Δr,ΔV)≈eq \f(0.62,1)＝0.62(dm/L)；当V从1变为2时，ΔV＝2－1＝1(L)，Δr＝r(2)－r(1)＝ eq \r(3,\f(3×2,4π))－ eq \r(3,\f(3,4π))≈0.16(dm)，则气球的平均膨胀率是eq \f(Δr,ΔV)≈eq \f(0.16,1)＝0.16(dm/L)．通过以上的分析可以看出，在吹气球的过程中，随着气球体积逐渐变大，即随着气球内空气的增多，气球的半径增加得越来越慢，即它的平均膨胀率变小了，所以吹气球的难度越来越大． $$