精品解析：重庆市长寿中学校2024-2025学年高二上学期第三学月测试（12月）数学试题

重庆市长寿中学校2024-2025学年高二上第三学月测试 数学试题 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 一．单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. 6或 D. 4或 2. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两直线，若，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则 ①以线段为直径的圆与准线相切； ②以为直径的圆经过焦点； ③，，（其中点为坐标原点）三点共线； ④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 10. 已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线与圆有公共点，则 B. 若，则两曲线交点所在直线的方程为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为___. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______． 14. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量________；________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的平行六面体中，. （1）求线段的长度； （2）求直线与直线的夹角的余弦值. 16. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. （1）求该抛物线的方程； （2）为坐标原点，求的面积. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知，满足的点形成的曲线记为E. （1）求曲线E的方程； （2）Q是直线上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C.求切线长的最小值，并求出此时直线的方程. 18. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点． （1）求直线的方程； （2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市长寿中学校2024-2025学年高二上第三学月测试 数学试题 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 一．单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. 6或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，利用分类讨论，根据线面垂直判定以及线线角定义，结合余弦定理与勾股定理，可得答案. 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 2. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【详解】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A 3. 经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线l的倾斜角为，根据直线l与连接的线段总有公共点，可得或，结合正切函数的图象即得. 【详解】 如图所示，设直线l的倾斜角为， 则 直线与连接的线段总有公共点， 或，即或， 又，则有. 故选：C. 4. 已知两直线，若，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线平行求得参数，再根据平行线之间的距离公式求解即可得结论. 【详解】因为，所以，解得， 所以， 由平行线之间的距离公式可得：. 故选：D. 5. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为， 线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为. 故选：D. 6. 已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设直线方程再联立方程组，结合韦达定理及面积关系列式求出离心率即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为， 设，由 得，因为点在的内部，所以， 又，所以， 将代入，可得， 再将代入，可得，又，所以， 故的离心率． 故选：D. 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在，中分别利用勾股定理可求得答案. 【详解】如图．设，，则， ，在中由勾股定理： ，解得：， 在中，由勾股定理： 解得：，所以， 所以渐近线方程为：. 故选：A． 8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则 ①以线段为直径的圆与准线相切； ②以为直径的圆经过焦点； ③，，（其中点为坐标原点）三点共线； ④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接，结合抛物线的性质可得，即可判断②；设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设，则， 所以线段的中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与准线相切，故①正确； 对于②，连接，如图， 因为，， 所以，所以， 所以即， 所以以为直径的圆经过焦点，故②正确； 对于③，设直线，， 将直线方程代入抛物线方程化简得，，则， 又， 因为，， 所以，所以，，三点共线，故③正确； 对于④，不妨设，则， 则直线，代入抛物线方程化简得， 则， 所以直线与该抛物线相切，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线； ②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线与圆有公共点，则 B. 若，则两曲线交点所在直线的方程为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】设，求出的轨迹方程，结合圆与圆位置关系可判断AB；判断两圆外离，即可判断C；假设存在点，使得，即可结合圆的位置关系推出矛盾，判断D。 【详解】设，由，可得， 整理得，所以曲线的方程为，表示圆心为，半径的圆． 圆的圆心为点，半径， 两圆的圆心距． 对于A，若圆与圆有公共点，则， 即，解得，故A正确； 对于B，若，由A选项知两圆没有交点，故B错误； 对于C，若，则，两圆外离，则有， 即，故C正确； 对于D，若，则四边形为正方形，， 如图，又为，即，而， 所以不存在这样的点，使得，故D错误． 故选：AC 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为___. 【答案】 【解析】 【分析】先求得点的轨迹为圆，再利用圆的性质即可求得点到直线的距离d的取值范围. 【详解】设，则， 两边平方得，整理得， 则点在以为圆心半径为的圆上运动， 圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离d的取值范围为 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，，，即. 故答案为：4． 14. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算，结合图象，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】由为的中点，则，由，则， ， ， ，，, . 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的平行六面体中，. （1）求线段的长度； （2）求直线与直线的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意将分解成的线性组合，由模长公式结合已知条件即可求解. （2）先把向量分解成的线性组合，此时结合已知条件可以求出的值，再由模长公式求出，最终代入向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示： 由图可知， 因此由题意有 . 【小问2详解】 如图所示： 所以， 由（1）可知， 所以由题意有 ， ， 又， 且（1）可知， 不妨设直线与直线的夹角为， 所以， 故直线与直线的夹角的余弦值为. 16. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. （1）求该抛物线的方程； （2）为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由抛物线的定义结合韦达定理化简弦长后求解 （2）解出坐标，由割补法求解 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 所以直线的方程为， 由消去得， 所以， 由抛物线定义得， 即，所以. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由知，方程， 可化为， 解得，，故，. 所以，. 则面积 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知，满足的点形成的曲线记为E. （1）求曲线E的方程； （2）Q是直线上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C.求切线长的最小值，并求出此时直线的方程. 【答案】（1） （2）的最小值为，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）由可解得曲线E的方程， （2）当直线与直线垂直时，取最小值，由可知，此时也取最小值，进而解得的最小值，然后利用垂直关系求出直线的方程，联立直线和直线的方程解得点的坐标，所以可得以点为圆心，半径长为的圆的方程，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程． 【小问1详解】 由题意得：，， 因为，所以， 所以， 化简得：． 【小问2详解】 由（1）可知圆E的方程为：， 所以，所以圆心E的坐标为，半径, 所以， 所以当取最小值时，有最小值， 因为Q是直线上的动点，所以与直线垂直时，有最小值， 此时的最小值为圆心到直线的距离，， 有最小值， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，化简得：， 联立，解得，所以， 所以以点为圆心，为半径的圆的方程为， 因为直线BC为圆与圆的公共弦所在直线， 所以两方程相减可得直线BC的方程为：． 18. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）. （2），或， 【解析】 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【小问1详解】 （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是. 【小问2详解】 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 【点睛】关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高. 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点． （1）求直线的方程； （2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2） （i）方法1：因为，所以 设，则， 两式相减得， 整理得， 即，所以线段的中点在直线上． 所以线段被直线平分． 方法2：因为，， 所以设， 由， 由韦达定理得，于是， 从而，所以线段的中点在直线上． （ii）． 【解析】 【分析】（1）根据“共轭点对”的定义可得； （2）（i）方法一：利用点差法可证；方法二：设联立椭圆方程，利用韦达定理可证；（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出，利用韦达定理化简，然后利用导数求最值可得. 【小问1详解】 由已知，点在直线上， 又因为直线过原点， 所以所求直线的方程为：． 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可知为的中点，而为的中点， 所以． 由解得，设， 由， 由， 由韦达定理得． 点到直线的距离， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以的最大值为． 【点睛】关键点睛：第二问第二小问解答关键在于对所求面积的转化，以及韦达定理的运用，将所求问题转化为关于的函数，利用导数求解可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $