第4章 概率与统计 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册［RJB］ 第四章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 利用回归直线过(，)，求 相互独立事件的概率 正态分布中参数的意义 二项分布的方差、方差的性质 正态分布求概率 分布列、均值的性质、方差公式 求条件概率 随机变量的均值与均值不等式的综合 回归直线方程的性质 正态分布在实际中的应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 古典概型的概率、二项分布求概率、二项分布的均值 均值、方差的性质 求二项分布中随机变量取特定值的概率 条件概率公式、全概率公式的应用 列联表及独立性检验 频率分布直方图与超几何分布的均值结合 概率、回归直线方程的求解及应用 统计图表、离散型随机变量的均值、方差与条件概率的综合应用 二项分布的概率、随机变量的分布列、期望以及期望在决策问题中的应用 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知一个回归直线方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则＝(　　) A．58.5 B．46.5 C．60 D．75 答案：A 解析：＝＝9，因为回归直线必过点(，)，所以＝1.5×9＋45＝13.5＋45＝58.5.故选A. 2．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率为(　　) A．0.16 B．0.24 C．0.96 D．0.04 答案：C 解析：三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96. 3．正态分布N1(μ1，σ)，N2(μ2，σ)，N3(μ3，σ)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大 C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大 答案：D 解析：在正态分布N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ决定曲线的“胖瘦”：σ越大，曲线越“胖”，σ越小，曲线越“瘦”．故由图象知σ1最大． 4．已知随机变量X～B，则D(2X＋1)＝(　　) A．6 B．4 C．3 D．9 答案：A 解析：∵D(2X＋1)＝D(X)×22＝4D(X)，D(X)＝6××＝，∴D(2X＋1)＝4×＝6. 5．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝(　　) A.＋p B．1－p C．1－2p D.－p 答案：D 解析：P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝[1－2P(ξ>1)]＝－P(ξ>1)＝－p. 6．已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P a b 若E(3X－2)＝，则D(X)的值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意可得＋a＋b＝1，所以a＋b＝　①.由E(3X－2)＝可得E(X)＝，所以＋2a＋3b＝，所以2a＋3b＝　②.联立①②，得解得所以D(X)＝×＋×＋×＝.故选B. 7．将两个质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：将两个质地均匀的骰子各掷一次，所有可能的结果有6×6＝36种，出现点数互不相同的结果共有6×5＝30种，∴P(A)＝，A∩B共有5×2＝10种，∴P(A∩B)＝，∴P(B|A)＝＝. 8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由已知得3a＋2b＋0×c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝·3a·2b≤＝×＝，当且仅当3a＝2b＝，即a＝，b＝时取等号．故选B. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．设成年儿子身高y(单位：英寸)与父亲身高x(单位：英寸)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法求得的回归直线方程为＝0.516x＋33.73，则下列结论中正确的是(　　) A．y与x正相关 B．若＝，＝，则回归直线过点(，) C．若父亲身高增加1英寸，则儿子身高约增加0.516英寸 D．若父亲身高增加1英寸，则儿子身高增加量必为0.516英寸 答案：ABC 解析：∵在回归直线方程＝0.516x＋33.73中，0.516>0，∴y与x正相关，故A正确；∵回归直线必过点(，)，故B正确；回归直线方程＝0.516x＋33.73表示一种不确定的关系，即若父亲身高增加1英寸，则儿子身高约增加0.516英寸，故C正确，D错误．故选ABC. 10．已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是(　　) 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997. A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩的及格率超过0.8 D．学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 答案：AC 解析：因为数学成绩X服从正态分布N(100，100)，所以数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误；及格率P1＝1－≈0.8415，故C正确；不及格率P2≈0.1585，优秀率P3＝≈0.023，故D错误．故选AC. 11．某学校共有六个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐，已知每位同学选择到每个餐厅的概率相同，且四人选择餐厅彼此相互独立，则下列结论正确的是(　　) A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 B．四人去了同一餐厅就餐的概率为 C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为 D．四人中去第一餐厅就餐的人数X的期望为 答案：ACD 解析：四位同学每人随机选择一家餐厅就餐的方法共有64种．对于A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为＝，所以A正确；对于B，四人去了同一餐厅就餐的概率为＝，所以B错误；对于C，四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为＝，所以C正确；对于D，每位同学选择去第一餐厅就餐的概率均为，所以去第一餐厅就餐的人数X服从参数为4，的二项分布，即X～B，所以E(X)＝4×＝，所以D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知随机变量X，Y满足X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)＝________，D(Y)＝________． 答案：2　2.4 解析：∵随机变量X，Y满足X＋Y＝8，X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4，E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4. 13．将一个骰子连续抛掷4次，至多有2次点数为1的概率为________． 答案： 解析：抛掷骰子一次可视为一次试验，连续抛掷4次可看作进行了4次独立重复试验．若记事件A表示“抛掷一个骰子出现点数为1”，则P(A)＝，于是事件A发生的次数X满足X～B，则P(X＝k)＝C××，k＝0，1，2，3，4.故所求概率为P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝C××＋C××＋C××＝. 14．(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________． 答案： 解析：解法一：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3－2，5－4，7－6，1－8.若甲的总得分为2，有以下三类情况：第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3－2，5－4，1－6，7－8；第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3－2，7－4，1－6，5－8或3－2，7－4，1－8，5－6或3－2，7－6，1－4，5－8，共3种组合；第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5－2，7－4，1－6，3－8或5－2，7－4，1－8，3－6或5－4，7－2，1－6，3－8或5－4，7－2，1－8，3－6或5－2，7－6，1－4，3－8或5－2，7－6，1－8，3－4或5－4，7－6，1－2，3－8，共7种组合．综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4×3×2×1＝24种，所以甲的总得分不小于2的概率P＝＝. 解法二：设甲在四轮比赛中的得分分别为X1，X2，X3，X4，四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每张卡片的概率都均等，其中使得甲获胜的出示卡片的组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率P(Xk＝1)＝＝，所以E(Xk)＝(k＝1，2，3，4)．从而E(X)＝E(X1＋X2＋X3＋X4)＝E(Xk)＝ ＝.记pk＝P(X＝k)(k＝0，1，2，3)，如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以p0＝＝；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以p3＝＝.而X的所有可能取值是0，1，2，3，故p0＋p1＋p2＋p3＝1，p1＋2p2＋3p3＝E(X)＝.所以p1＋p2＋＝1，p1＋2p2＋＝，两式相减，得p2＋＝，故p2＋p3＝.所以甲的总得分不小于2的概率为p2＋p3＝. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(2024·辽宁辽阳高二期末)(本小题满分13分)某高校《线性代数》课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下： 单位：人 数学专业 非数学专业 总计 男生 e f 120 女生 60 g 80 总计 160 h 200 (1)求e，f，g，h的值，并估计男生中是非数学专业的概率； (2)能否有90%的把握认为选数学专业与性别有关？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由题意可知，e＝160－60＝100，f＝120－100＝20，g＝80－60＝20，h＝200－160＝40，故男生中是非数学专业的概率P＝＝. (2)由题意可知χ2＝＝≈2.083.又因为1－90%＝10%，而且P(χ2≥2.706)＝0.1，由于2.083<2.706，所以没有90%的把握认为选数学专业与性别有关． 16．(本小题满分15分)随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50，60)，2；[60，70)，7；[70，80)，10；[80，90)，x；[90，100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题： (1)求样本容量及x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望． 解：(1)由题意，得分数在[50，60)内的频数为2， 频率为0.008×10＝0.08， 所以样本容量n＝＝25， x＝25－(2＋7＋10＋2)＝4. (2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2，所以ξ的取值范围是{0，1，2}， 因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 17．(本小题满分15分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差x/℃ 10 11 13 12 8 6 就诊人数y 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求回归直线方程，再用被选取的2组数据进行检验． (1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月数据的概率； (2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据求出y关于x的回归直线方程＝x＋； (3)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问该小组所得回归直线方程是否理想？ 参考公式：＝，=-. 解：(1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件A. 从6组数据中选取2组数据，共有C＝15种情况，每种情况都是等可能出现的．其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种． 所以P(A)＝＝. (2)由数据求得＝11，＝24， 由公式求得＝，＝－＝－， 所以y关于x的回归直线方程为＝x－. (3)当x＝10时，＝，<2； 当x＝6时，＝，<2， 所以该小组所得回归直线方程是理想的． 18．(本小题满分17分)气象部门提供了某地区六月份(30天)的日最高气温的统计表如下： 日最高气温t/℃ t≤22 22<t≤28 28<t≤32 t>32 天数 6 12 Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9. 某水果商根据多年的销售经验，得到六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表： 日最高气温t/℃ t≤22 22<t≤28 28<t≤32 t>32 日销售额X/千元 2 5 6 8 (1)求Y，Z的值； (2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额X的期望和方差； (3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率． 解：(1)由已知，得P(t≤32)＝0.9， ∴P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1， ∴Z＝30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9. (2)P(t≤22)＝＝0.2， P(22<t≤28)＝＝0.4， P(28<t≤32)＝＝0.3， P(t>32)＝0.1， ∴六月份西瓜日销售额X的分布列为 X 2 5 6 8 P 0.2 0.4 0.3 0.1 ∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5， D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3. (3)∵P(t≤32)＝0.9， P(22<t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7， ∴由条件概率，得P(X≥5|t≤32)＝P(t>22|t≤32)＝＝＝. 19．(本小题满分17分)某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的．出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资． (1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行，若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； (2)已知该厂现有4名维修工人． ①记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望； ②以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应该再招聘1名维修工人？ 解：(1)∵该厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只能有2台大型机器出现故障，∴工厂每月能正常运行的概率为＋C××＋C××＝. (2)①X的取值范围为{31，44}， P(X＝31)＝＝， P(X＝44)＝1－＝. ∴X的分布列为 X 31 44 P ∴E(X)＝31×＋44×＝. ②若工厂再招聘1名维修工人，则工厂一定能正常运行，此时，工厂所获利润为5×10－1.5×5＝42.5万元， ∵>42.5， ∴该厂不应该再招聘1名维修工人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$